高中数学同步讲义（人教A版必修一）：第24讲 4.2指数函数（教师版）

第02讲4.2指数函数（4.2.1指数函数的概念+4.2.2指数函数的图象和性质）课程标准学习目标①了解指数函数，掌握指数函数的形式及条件，会根据底数区分两类函数。②掌握指数函数的图象与性质，能根据指数函数的性质进行方程、不等式的求解，比较大小，及函数的单调区间的求解、会求与指数函数相关的函数的定义域、值域。③能解决与指数函数有关的综合性问题。通过本节课的学习，要求认识、了解指数函数的形式及要求，掌握指数函数的图象与性质，并能利用指数函数的性质进行大小的比较、解指数方程与不等式、会求复合函数的定义域、值域、单调区间，能解决与指数函数有关的实际问题及综合问题.知识点01：指数函数的概念1、一般地，函数叫做指数函数，其中指数是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量，定义域是.2、学习指数函数的定义，注意一下几点（1）定义域为：（2）规定是因为：①若，则（恒等于1）没有研究价值；②若，则时，（恒等于0），而当时，无意义；③若，则中为偶数，为奇数时，无意义.④只有当或时，即，可以是任意实数.（3）函数解析式形式要求：指数函数只是一个新式定义，判断一个函数是指数函数的关键有三点：①的系数必须为1；②底数为大于0且不等于1的常数，不能是自变量；③指数处只有一个自变量，而不是含自变量的多项式.【即学即练1】（多选）（2023·全国·高一假期作业）下列函数中，是指数函数的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【详解】由指数函数形式为且，显然A、D不符合，C符合；对于B，且，故符合.故选：BC知识点02：指数函数的图象与性质1、函数的图象和性质如下表：底数图象性质定义域值域定点图象过定点单调性增函数减函数函数值的变化情况当时，当时，当时，当时，当时，当时，对称性函数与的图象关于轴对称2、指数函数的底数对图象的影响函数的图象如图所示：观察图象，我们有如下结论：2.1.底数与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”.（1）当时，指数函数的图象是“上升”的，且当时，底数的值越大，函数的图象越“陡”，说明其函数值增长的越快.（2）当时，指数函数的图象是“下降”的，且当时，底数的值越小，函数的图象越“陡”，说明其函数值减小的越快.2.2.底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是还是，底数越大，在第一象限内的函数图象越“靠上”.在同一平面直角坐标系中，底数的大小决定了图象相对位置的高低；在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”；在轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”；知识点03：指数函数的定义域与值域1、定义域：（1）指数函数的定义域为（2）的定义域与函数的定义域相同（3）的定义域与函数的定义域不一定相同.2、值域（1）指数函数的值域为（2）求形如的函数的值域，先求的值域，然后结合得性质确定的值域（3）求形如的值域，转化为先求的值域，再将的取值范围代入函数中.知识点04：指数函数的图象变换已知函数1、平移变换①②③④2、对称变换①②③3、翻折变换①（去掉轴左侧图象，保留轴右侧图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧）②（保留轴上方的图象，将轴下方的图象翻折到轴上方）题型01指数函数的判定与求值【典例1】（2023秋·四川泸州·高一统考期末）已知函数，则的值是（

）A． B． C． D．2【答案】A【详解】因为，所以，所以.故选：A【典例2】（2023·高一课时练习）函数①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧中，是指数函数的是．【答案】①⑤【详解】因为指数函数为且，故①⑤正确；由幂函数定义知，是幂函数，故②不正确；由指数函数的定义知，③④⑥⑦均不是指数函数；对于⑧，当时，，不是指数函数.故答案为：①⑤.【变式1】（2023·高一课时练习）设函数，则＝．【答案】0【详解】由已知得，，所以.故答案为：.【变式2】（2023·高一课时练习）下列函数中是指数函数的是(填序号)．①；②；③；④；⑤；⑥．【答案】③【详解】①的系数不是，不是指数函数；②的指数不是自变量，不是指数函数；③是指数函数；④的底数是不是常数，不是指数函数；⑤的指数不是自变量，不是指数函数；⑥是幂函数．故答案为：③题型02根据函数是指数函数求参数【典例1】（2023·全国·高一假期作业）如果函数和都是指数函数，则（

）A． B．1 C．9 D．8【答案】D【详解】根据题意可得，，则.故选：D【典例2】（2023·高一课时练习）函数是指数函数，则的值为．【答案】【详解】因为函数为指数函数，则，解得.故答案为：.【变式1】（2023·高一课时练习）函数是指数函数，则有.【答案】【详解】由题意可得，解得或，又且，所以.故答案为：【变式2】（2023·高一课时练习）函数是指数函数，则a的取值范围是．【答案】【详解】因为是指数函数,所以,解得:或即a的取值范围是.故答案为:题型03指数型函数图象过定点问题【典例1】（多选）（2023·全国·高一专题练习）已知函数（且）的图像过定点，则（

）．A． B．C．为R上的增函数 D．的解集为【答案】BCD【详解】由题意可得恒成立，故，A错误，因为根据题意，得，，所以，故B正确，，所以，为R上的增函数，C正确；，解得，D正确．故选：BCD【典例2】（2023·全国·高一假期作业）函数且恒过定点，．【答案】【详解】令可得，此时有.由题意可得，，所以，，所以．故答案为：．【变式1】（2023·高一课时练习）函数恒过的定点坐标为．【答案】【详解】解：令，即时，，所以，函数恒过的定点坐标为故答案为：【变式2】（2023秋·吉林辽源·高一校联考期末）函数且的图象恒过定点，则点坐标为．【答案】【详解】令，即，则，所以定点为，故答案为：题型04指数函数图象的识别【典例1】（2023春·湖南常德·高一统考期末）指数函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】B【详解】由指数函数的图象可知：.令，解得，则，对应只有B选项符合题意.故选：B【典例2】（2023·全国·高一假期作业）函数（）的图象可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】当时，，因此，且函数在上单调递增，故A、B均不符合；当时，，因此，且函数在上单调递减，故C符合，D不符合．故选：C．【变式1】（2023秋·山东临沂·高一校考期末）函数的部分图象大致是（

）A．B．C． D．【答案】B【详解】定义域为R，且，故为偶函数，关于y轴对称，AC错误；，，故B正确，D错误.故选：B.【变式2】（2023·全国·高三专题练习）函数(a>0且a≠1)的图象可能为（

）A．B．C．D．【答案】C【详解】当时，，显然当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，函数图象的渐近线为，而，故AB不符合；对于CD，因为渐近线为，故，故时，，故选项C符合，D不符合；当时，，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，函数图象的渐近线为，而，故ABD不符合；故选：C题型05画指数函数的图象【典例1】（2023·全国·高三对口高考）利用函数的图象，作出下列各函数的图象．(1)；(2)(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)图象见详解(2)图象见详解(3)图象见详解(4)图象见详解(5)图象见详解(6)图象见详解【详解】（1）把的图象关于轴对称得到的图象，如图，

（2）保留图象在轴右边部分，去掉轴左侧的，并把轴右侧部分关于轴对称得到的图象，如图，

（3）把图象向下平移一个单位得到的图象，如图，

（4）结合（3），保留上方部分，然后把下方部分关于轴翻折得到的图象，如图，

（5）把图象关于轴对称得到的图象，如图，

（6）把的图象向右平移一个单位得到的图象，如图，

【典例2】（2023秋·湖南长沙·高一校考期末）已知函数.(1)在平面直角坐标系中，画出函数的简图，并写出的单调区间和值域；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)图象见解析，的增区间为，减区间为，值域为.(2)【详解】（1）函数的简图如下：由图可知，函数的增区间为，减区间为；值域为.（2）由，及函数的单调性可知，若则实数的取值范围为.【变式1】（2022秋·江西赣州·高一统考期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．在数学的学习和研究中，常常借助图象来研究函数的性质．已知函数.

(1)在平面直角坐标系中作函数的简图，并根据图象写出该函数的单调减区间；(2)解不等式.【答案】(1)作图见解析，单调减区间为和(2)【详解】（1）简图如图所示：

由图可得该函数的单调减区间为和；（2）①当时，得，所以；②当时，，解得；综上：不等式的解集为.【变式2】（2022秋·北京顺义·高一校考期中）已知函数.(1)求的值；(2)画出函数的图象，根据图象写出函数的单调区间；(3)若，求x的取值范围.【答案】(1)(2)图象详见解析，减区间，增区间(3)【详解】（1）.（2），所以的图象如下图所示，由图可知，的减区间为，增区间为（3），由图象可知，满足的的取值范围是.题型06利用指数函数的单调性比较大小【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知，则（）A． B．C． D．【答案】A【详解】因为函数在R上单调递减，，所以，因为函数在R为增函数，所以，又在上单调递增，所以，综上，.故选：A.【典例2】（2023·全国·高三专题练习）设，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，所以，所以，，所以，所以，若，则，设在上单调递增，所以，即，不合题意.故选：A.【变式1】（2023春·北京密云·高二统考期末）已知，则下列不等式中成立的是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】A选项，根据指数函数单调递增可知，，A选项正确；BCD选项，取，B选项变成，C选项变成，D选项变成，BCD均错误.故选：A【变式2】（2023秋·河南郑州·高一郑州市第四十七高级中学校考期末）设，则的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】解：令，由指数函数的单调性可知在R上单调递减，又因为，所以，即，所以，令，由幂函数的性质可知在上单调递增，又因为，所以，所以，即，所以.故选：D.题型07利用指数函数的单调性解不等式【典例1】（2023·全国·高一假期作业）不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】解：∵，∴x2﹣8＜2x，解得﹣2＜x＜4．故选：A．【典例2】（2023·全国·高一专题练习）不等式的解集为．【答案】【详解】原式可化为，因为为减函数，所以，即，解得或，所以原不等式的解集为.故答案为：.【变式1】（2023·全国·高一假期作业）不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】解：因为，所以，解得或，所以不等式的解集为：.故选：C.【变式2】（2023春·上海嘉定·高一统考阶段练习）不等式的解集为.【答案】【详解】因为函数为上的增函数，由可得，故原不等式的解集为.故答案为：.题型08指数型复合函数的单调性【典例1】（2023·全国·高三专题练习）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，则有函数在区间上单调递减，因此，解得，所以的取值范围是.故选：D【典例2】（2023·全国·高一假期作业）函数的单调递增区间是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为在R上单调递减，由复合函数单调性可知，只需求出的单调递减区间，其中单调递减区间为，故的单调递增区间是.故选：D【典例3】（2023·全国·高一专题练习）函数的严格减区间为．【答案】/【详解】函数的定义域为R，令，函数在上单调递减，在上单调递增，而函数在R上是增函数，因此函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数的严格减区间为.故答案为：【变式1】（2023·全国·高一假期作业）函数的单调递增区间为.【答案】【详解】令，根据二次函数的性质，可得函数在单调递增，在单调递递减，又由，根据指数函数的性质，可得函数为单调递减函数，根据复数函数的单调性的判定方法，可得函数的单调递增区间为.故答案为：.【变式2】（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是．【答案】【详解】本题等价于在上单调递增，对称轴，所以，得．即实数的取值范围是．【变式3】（2023·全国·高三专题练习）函数的单调递减区间是；单调递增区间是．【答案】.试题解析：因此它的减区间为,增区间．题型09与指数函数（指数型复合函数）有关的值域【典例1】（2023秋·广东深圳·高一红岭中学校考期末）函数，的值域是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】令，则，所以又在上单调递增，所以即故选：B.【典例2】（2023秋·上海青浦·高一上海市青浦高级中学校考期末）已知函数的值域是，则实数m的取值范围是．【答案】．【详解】时，且，即，因此时，的取值范围应包含，又时，，所以．故答案为：．【变式1】（2023·高一课时练习）函数的最大值为．【答案】【详解】设，因为，所以当时，有最大值，当时，有最小值，即，所以，即的取值范围是，所以函数的最大值为，故答案为：.【变式2】（2023·全国·高三专题练习）若关于的方程有解，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】方程有解，有解，令，则可化为有正根，则在有解，又当时，所以，故选：．【变式3】（2023·高一课时练习）求下列函数的值域：（1）；

（2）.【答案】（1）；（2）.【详解】（1）指数函数在上单调递增，，∴函数的值域（2）指数函数在上单调递减，∵，∴，∴函数当时，值域.题型10可化为一元二次函数型【典例1】（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：令，可得，可得函数的对称轴为：，故函数在上单调递增，当时，，故函数的值域为，故选：B.【典例2】（2023·全国·高一专题练习）已知函数，，则其值域为．【答案】【详解】令，∵，∴，∴，又关于对称，开口向上，所以在上单调递减，在上单调递增，且，时，函数取得最小值，即，时，函数取得最大值，即，.故答案为：.【典例3】（2023秋·高一单元测试）已知函数，则函数的值域为．【答案】【详解】设，则，此时，当时，即，函数取得最小值，此时最小值为；当时，即，函数取得最大值，此时最大值为．故答案为：.【变式1】（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为．【答案】．【详解】设，则，换元得，显然当时，函数取到最小值，所以函数的值域为．故答案为：.【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数.(1)若，求在上的值域；(2)若关于的方程有解，求的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）时，令，则.，即，而的对称轴为，所以函数在上单调递增，，即.在上的值域为；（2）令，则有解，在上有解，，解得，的取值范围为.题型11与指数函数的相关的综合问题【典例1】（2023春·江苏南通·高二统考期末）已知函数，．(1)若，解关于的不等式；(2)若函数的最小值为-4，求m的值．【答案】(1)(2)-3【详解】（1）时，由得，，，因为，所以，解得，所以原不等式的解集为．（2）因为，令，因为，所以，（当且仅当时取得等号）则，，①当，即时，在上单调递增，当，即时，，所以，解得，符合题意；②当，即时，在上单调递减，在上单调递增，当，，所以，解得，不合题意，舍去．综上，的值为-3．【典例2】（2023春·甘肃张掖·高一高台县第一中学校考阶段练习）已知是定义域为R的奇函数．(1)求a的值，判断的单调性并证明；(2)若恒成立，求实数k的取值范围．【答案】(1)，函数在R上是单调递增函数，证明见解析(2)【详解】（1）由题意得，所以，当时，故为奇函数，在R上是单调递增函数，证明如下：对于，，设，则，因为，所以，，，所以，即，所以，即函数在R上是单调递增函数．（2）等价于，因为是R上的单调增函数，所以，即恒成立，所以，解得，所以k的取值范围为．【变式1】（2023秋·山西大同·高一山西省阳高县第一中学校校考期末）已知函数为上的奇函数.(1)求函数的解析式；(2)判断函数在上的单调性并加以证明；(3)解关于的不等式.【答案】(1)(2)函数在上的单调递减，证明见解析(3)解集为.【详解】（1）因为函数为上的奇函数，所以，即，此时，，所以，即函数为奇函数，所以符合题意.故.（2）函数在上的单调递减.证明如下：由（1）知，.任取，，且，则，因为，，且，所以，，，所以，即，因此函数在上的单调递减.（3）由（2）知，由，即，即，即，即，即所以，所以等式的解集为.【变式2】（2023·全国·高一专题练习）已知定义域为R的函数是奇函数.(1)求b的值；(2)若对任意的，不等式恒成立，求k的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为定义域为R的函数是奇函数，所以，解得，经检验，当时，，，函数为奇函数，所以；（2），显然是减函数，由可得，即，，.当时，函数有最小值为，；综上，.A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础1．（2023·全国·高一假期作业）给出下列函数：①；②；③；④.其中指数函数的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【详解】对于①，函数的自变量在底数位置，不在指数位置，故不是指数函数；对于②，函数的底数，故不是指数函数；对于③，函数中的指数式的系数不为，故不是指数函数；对于④，函数的底数满足，符合指数函数的定义，是指数函数.故选：A.2．（2023春·浙江杭州·高二统考学业考试）已知，则的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】，所以故选：A.3．（2023春·四川绵阳·高二期末）要得到函数的图象，只需将指数函数的图象（

）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位【答案】D【详解】因为，，所以，为了得到函数的图象，只需将指数函数的图象向右平移个单位，故选：D.4．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高一校联考开学考试）函数（，且）的图象可能是（

）.A． B．C．

D．【答案】C【详解】因为函数（，且），当时，是增函数，并且恒过定点，又因为的图象在的基础上向下平移超过1个单位长度，故D错误，C正确；当时，是减函数，并且恒过定点，又的图象在的基础上向下平移了不到1个单位长度，故A，B错误.故选：C.5．（2023春·新疆阿勒泰·高二统考期末）已知函数是奇函数，则（

）A．0 B．1 C． D．【答案】B【详解】因为为定义在上的奇函数，所以，所以，经验证，，故.故选：B.6．（2023秋·福建·高二统考学业考试）函数的图象大致是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【详解】设，则，所以为偶函数，所以A、B项错误.又当时，为增函数，所以C项错误，故D项正确.故选：D.7．（2023·高一课时练习）若函数的图象与轴有交点，则实数的取值范围是（

）A． B． C．或 D．或【答案】A【详解】函数的图象与轴有交点，有解，，，，则实数的取值范围是.故选：A．8．（2023·山东潍坊·统考二模）已知函数，则（

）A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数【答案】C【详解】函数的定义域为R，因为，所以函数为奇函数，又因为函数在R上都是减函数，所以函数在R上是减函数.故选：C.二、多选题9．（2023秋·广东河源·高一校考期末）函数y＝(a2－4a＋4)ax是指数函数，则a的值不可以是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】ACD【详解】由指数函数的定义知a2－4a＋4＝1且a≠1，解得a＝3.故选：ACD.10．（2023·全国·高三专题练习）（多选）设函数（，且），若，则（）A． B．C． D．【答案】AD【详解】由得，即，故，，，，所以AD正确.故选：AD.三、填空题11．（2023春·山东青岛·高一统考开学考试）写出一个同时具有下列性质①②的函数．①；②在R上为增函数．【答案】（答案不唯一）【详解】指数函数满足，且，时，函数单调递增，所以满足条件的一个函数.故答案为：（答案不唯一）12．（2023春·内蒙古呼和浩特·高一统考阶段练习）函数的单调递增区间是．【答案】【详解】由，即上递增，上递减，又在定义域上递增，所以上递增，上递减，故递增区间为.故答案为：四、解答题13．（2023春·宁夏银川·高二统考学业考试）已知函数的图象经过点．(1)求的解析式；(2)求函数在区间上的值域．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为函数图象过点（2，5），所以，所以，解得，因为，所以，所以，（2）因为在上为增函数，所以在上是增函数，所以，，所以函数的值域为．14．（2023·全国·高一假期作业）函数是偶函数．(1)试确定的值及