理论力学经典课件-虚位移原理

虚位移原理※

引言※

约束及其分类※

自由度和广义坐标※

以广义坐标表示的质点系平衡条件※

虚位移原理※

虚位移和理想约束※质点系在有势力作用下的平衡问题※

结论与讨论1

引言

虚位移原理是应用功的概念分析系统的平衡问题，是研究静力学平衡问题的另一途径。对于只有理想约束的物体系统，由于求知的约束反力不作功，有时应用虚位移原理求解比列平衡方程更方便。虚位移原理与达朗伯原理结合起来组成动力学普遍方程，又为求解复杂系统的动力学问题提供另一种普遍的方法。这些理论构成分析力学的根底。2§17-1约束及其分类约束——物体运动所受到的限制1.

几何约束与运动约束yxOAA0l几何约束

在质点系中，所加的约束只能限制各质点在空间的位置或质点系的位形。34COyxvCC*运动约束

在质点系中，所加的约束不仅限制各质点在空间的位置，还限制它们运动的速度。OyxAxByBxAyABvA52.

定常约束与非定常约束定常约束－约束方程中不显含时间的约束：非定常约束－约束方程中显含时间的约束：yxvOM63.

单面约束与双面约束双面约束

——约束方程可以写成等式的约束。

单面约束

——约束方程不能写成等式、但是可以写成不等式的约束。BByxOyxO7yxO单面约束还是双面约束？约束方程？yxOAAA0lA0l3.

单面约束与双面约束84.

完整约束与非完整约束

完整约束

——约束方程不包含质点速度，或者包含质点速度但约束方程是可以积分的约束。

非完整约束

——约束方程包含质点速度、且约束方程不可以积分的约束。94.

完整约束与非完整约束COyxvCC*OyxAxByBxAyAvA

约束方程不可积分，所以导弹所受的约束为非完整约束。圆轮所受约束为完整约束。B10

§17-2广义坐标与自由度

yxO

lA(x,y)yxOA(x1,y1)B(x2,y2)ab广义坐标

——确定质点系位形的独立参变量。11广义坐标

——确定质点系位形的独立参变量。用q1，q2，…表示。自由度

——在完整约束条件下，确定质点系位置的独立参变量的数目等于系统的自由度数。

对于稳定的完整约束，各质点的坐标可以写成广义坐标的函数形式N=3n—s12§17-3虚位移和理想约束1.虚位移xyOBAMF

质点系在给定瞬时，为约束所允许的无限小位移——虚位移〔1〕虚位移是假定约束不改变而设想的位移；〔2〕虚位移不是任何随便的位移，它必须为约束所允许；〔3〕虚位移是一个假想的位移，它与实位移不同；〔4〕在完整定常约束下，虚位移方向沿其速度方向。13

虚位移与实位移的区别和联系〔1〕在完整定常约束下，实位移是诸多虚位移中的一个；MM1drdre

rdr——实位移

r——虚位移实位移——质点或质点系在其真实运动中，在一定的时间间隔内发生的位移。〔2〕在完整定常约束下，虚位移方向沿其速度方向。142.虚功质点或质点系所受的力在虚位移上所作的功——虚功。

W=F·

r3.理想约束

质点或质点系的约束反力在虚位移上所作的虚功等于零，我们把这种约束系统称为理想约束。

W=M·

∑FNi·

ri

=015§17-4虚位移原理FiFNim1m2mi

riFi——主动力FNi——约束反力

ri——虚位移Fi+FNi=0Fi·

ri+FNi·

ri

=0∑Fi·

ri+∑FNi·

ri

=0∑FNi·

ri

=0

∑Fi·

ri=0对于具有理想约束的质点系，其平衡条件是：作用于质点系的主动力在任何虚位移中所作的虚功的和等于零——虚位移原理16

∑Fi·

ri=0上式称为虚位移原理的解析表达式

应用虚位移原理解题时，主要是建立虚位移间的关系，通常采用以下方法：〔1〕通过运动学关系，直接找出虚位移间的几何关系；〔2〕建立坐标系，选广义坐标，然后仿照函数求微分的方法对坐标求变分，从而找出虚位移〔坐标变分〕间的关系。17例题1已知：OA=r

,AB=l,不计各杆质量。求：平衡时F与M间的关系。BAO解：取系统为研究对象

∑Fi·

ri=0由运动学关系可知：MF18CBADM

例题2已知：菱形边长为a

,求：物体C所受到的压力。螺距为h，顶角为2

，主动力偶为M.FN

rA

rC解：

(1)取系统为研究对象

(2)建立虚位移间的关系19xyCBADM

FN解法二：取建立图示坐标系20

rCOABCDPQ

例题3图示操纵汽门的杠杆系统，已知OA/OB=1/3，求此系统平衡时主动力P和Q间的关系。

rB

rA解：

(1)取系统为研究对象由运动学关系可知：21例题4图示系统中除连接H点的两杆长度为l外,其余各杆长度均为2l,弹簧的弹性系数为k,当未加水平力P时弹簧不受力，且

=

0

，求平衡时水平力P的大小。解：

(1)建立图示坐标系(2)系统的虚功方程22(2)系统的虚功方程23例题5求图示连续梁的支座反力。PMqll2lABCD解：

(1)解除D处约束，代之以反力FD，并将其视为主动力。PMqABCDFD

sE

sD其中解得24(2)解除B处约束，代之以反力FB，并将其视为主动力。FB

sB

sCPMqABCD其中解得

sE由虚功方程，得代入虚功方程，得25PMqABCDFA

sA

sC

sE(3)解除A处约束，代之以反力FA，并将其视为主动力。由虚功方程，得其中代入虚功方程，得解得26§17-5用广义坐标表示的质点系平衡条件

qk——广义虚位移27Qk——广义力Q1

=Q2

=…=Qk=0★质点系的平衡条件是所有的广义力都等于零令28

广义力的计算方法1.按定义计算2.用一组特定的广义坐标变分来计算29

2yxOA(x1,y1)B(x2,y2)ab

1FAFFB例题6求平衡时

1

、

2与FA、

FB、

F间的关系。解法一：按定义计算，取

1

、

2

为系统的广义坐标。30

2yxOA(x1,y1)B(x2,y2)ab

1FAFFB解得31解法二：〔1〕令：1≠0，2=0yxOAB

1解得32〔2〕令：1=0，2≠0yxOAB

1解得33ACEDBM1M2M360°60°例题7已知：AC=CD=DE，M1求：平衡时M2

、M3。解：〔1〕令：1≠0，2=0ACEDB

1

1解得34ACEDBM1M2M360°60°解：〔2〕令：2≠0，1=0

3

2ACEDB60°

rB

rE由运动学关系可知：解得35§17-6质点系在有势力作用下的平衡问题1.平衡条件

某质点系由n个质点组成，内有d个完整、定常的理想约束，处于势力场中。作用在各质点上的主动力Fi都是有势力，因此，该质点系是保守系统，它的势能函数V可以表示为各质点坐标的函数，即这些主动力Fi主可以有势能函数对坐标的偏导数表示，即将上式代入虚功方程，得36上式说明，在势力场中，具有完整、定常的理想约束的质点系其平衡的充分必要条件是：该质点系势能的一阶变分等于零。中选择广义坐标，那么直角坐标表示的势能函数可改写为用广义坐标表示的势能函数37因此用广义坐标表示的平衡条件可写成如下形式：2.平衡稳定性的概念〔a〕稳定平衡〔b〕非稳定平衡〔c〕随遇平衡。383.单自由度系统平衡稳定性质的判别方法平衡位置：39例题8已知：AB=l，m,R。求：平衡位置并判别其稳定性。OABmgCxy

解：取为

其广义坐标，建立图示坐标系。40llOAmm

研究：1、应用势能驻值定理，确定跷板的可能平衡位形；跷板2、应用机械能守恒确定跷板作二维微振动的振动方程；3、确定二维微振动的固有频率与运动稳定性条件。

如图所示为玩具跷板简图。在不计质量的木钉上固结两个与木钉夹角为

的刚性臂。臂端分别安装的质量均为m的小球。两臂等长均为。钉长OA＝d

，分别与两臂所夹

角的范围。将木钉的尖端O放置在柱形支承的表面，玩者可随意让跷板旋转或摆动。跷板41OAmm

llC2mg

解：一般情形下，跷板绕点O作定点运动。本例主要研究二维运动，因此，这是一个自由度的理想约束系统。取

为广义坐标。以支点O作为零势能位置1.跷板的静平衡位置42OAmm

llC2mg

43OAmm

llC2mg

2.跷板的二维微振动方程

为了计算系统的动能，令l1为每个小球到支点O的距离，系统的总动能为系统的总势能为由系统的机械能守恒，得将上式对时间求导，并注意到：得跷板的二维微振动方程44OAmm

llC2mg

3.跷板的固有频率45

结论与讨论1.虚位移

质点系在给定瞬时，为约束所允许的无限小位移——虚位移

作用在质点上的力在虚位移上所做的功——虚功2.理想约束

质点或质点系的约束反力在虚位移上所作的虚功等于零，我们把这种约束系统称为理想约束。

∑Fi·

ri=0

具有理想约束的质点系，其平衡条件是：作用于质点系的主动力在任何虚位移中所作的虚功的和等于零——虚位移原理3.虚位移原理46

通常用虚位移原理求解机构中主动力的平衡问题。解除约束，代之以约束反力，并将此约束反力当作主动力，可和其它主动力一起应用虚位移原理求解。〔1〕通过运动学关系，直接找出虚位移间的几何关系；〔2〕建立坐标系，选广义坐标，然后仿照函数求微分的方法对坐标求变分，从而找出虚位移〔坐标变分〕间的关系。5.建立虚位移关系间的方法4.广