变分原理在畸变剪应力分析中的应用

变分原理在畸变剪应力分析中的应用

1基于控制微分方程的畸变控制方程目前，国内外的工程实践通常将倾斜箱梁的制约旋转分解为刚性旋转和变形，并进行单独分析。对于薄壁箱梁的畸变效应,有多种解析理论,主要有以下几类:第一类理论是以畸变角作为基本位移参数,采用静力法或能量法建立控制微分方程;第二类理论是以畸变挠度作为基本位移参数,采用静力法建立控制微分方程;第三类理论是基于广义坐标法原理,通过假定中面剪应变为零来建立畸变翘曲纵向位移和畸变周边切线位移的关系,进而采用虚功原理或能量原理建立控制微分方程;第四类理论是符拉索夫提出的闭口薄壁杆件考虑截面畸变的约束扭转计算方法-广义坐标法。上述理论均未考虑剪切变形的影响。针对剪切变形对箱梁畸变的影响问题,平岛政治以广义弯曲理论的畸变部分为出发点建立了考虑剪切变形的薄壁箱梁畸变理论。王全凤针对平岛政治忽略了轴向翘曲引起的剪切变形,通过假设翘曲位移及周向位移的分布函数,考虑该部分剪切变形的影响。本文采用广义坐标法,建立了畸变位移模式和几何方程,推导出畸变剪应力的计算式;基于混合变分原理,建立了一种新的畸变理论和梁段单元模型,该理论充分考虑了剪切变形的影响。基于新理论,研究了畸变剪应力对剪切变形的影响及其影响程度。对是否存在布莱特纯畸变进行澄清,并对文献的畸变中心定义的合理性进行了评论。2箱梁壁板厚度a以工程中常用的单室单轴对称薄壁箱梁为分析对象,截面尺寸如图1所示。对反对称荷载作用下的箱梁畸变进行分析,采用如下基本假设。(1)忽略箱梁壁板厚度对翘曲的影响。(2)各板中面上应变εs为零,即箱梁各壁板的沿板平面切向不可伸缩。(3)结构为线性弹性体系。坐标系如图1所示,xyz为局部坐标系,z为沿轴线切线方向的坐标,起点设在梁轴一端,x和y为横截面的形心主惯性轴,nsz为箱壁中面上的流动坐标系,s是沿箱壁周边切向的坐标,原点取在横截面上翘曲位移为零的点处,称为主零点,n与s,z构成右手坐标系。3畸变角u畸变变形和畸变位移如图2所示。箱壁中面上任一点M0的纵向位移uz,法向位移un及周向位移us分别为式中χ为畸变角,Uχ为畸变翘曲,分别为纵向、法向及周向位移沿箱壁周线的分布。式中n为箱壁任一点M1的法向坐标,如图2所示。基于基本假定(2)可知,式(3)中Ψχs,s(s)=0。由虎克定律得出畸变翘曲正应力σd和畸变横向正应力σs为畸变双力矩Bd和畸变剪力Qd为式中,畸变扇形惯性矩Iχωω和畸变框架惯矩Kd为从而可得4变剪应力的计算由微元体平衡条件得:式中τzs为中面上总剪应力,由畸变剪应力τd和布莱特纯畸变剪应力τbχ两部分组成,即τzs=τd+τbχ。由积分式(9)可得横截面周边的畸变剪力流为根据(τdt)满足闭口位移连续条件求得5应变向量基于混合变分原理,广义泛函为式中为两个独立变分参量σ(应力向量)和u(位移向量)的能量泛函,ε(u)为应变向量,V*(σ)为余能密度,F为体力向量,此处为零,T为面力向量。将式(3)代入上式整理可得余能函数为将式(8,13)代入式(17)整理可得外荷载势能为将式(16,18,19)代入式(14)整理可得上列广义泛函变分的约束条件:根据式(21,22)得出畸变控制微分方程:6变双稳定性上的畸变大角度梁段单元的广义位移向量和广义力向量为式中MD为总畸变力矩,BD为畸变双力矩,χ和Uχ分别为畸变角和畸变翘曲。梁段单元位移模式取自控制微分方程(23)的齐次解,即根据畸变力素与位移关系式(22),基于泛函式(16)可建立梁段单元的刚度方程:式中当RT≥1时,7变形剪切力对中面剪切变形的影响本节从虚功原理入手,分析畸变剪应力成分对中面剪切变形的影响。7.1首先，如下所示7.2第二种情况相应畸变控制微分方程(27)退化为7.3d2所做的虚功即本文建立的理论,取Uχ≠χ′,采用混和变分原理建立控制微分方程。第二种情况是采用虎克定律建立应力与应变的关系,进而建立内力与位移的关系,是不能计入(τd)2所做的虚功,这是由于该剪应力系统是自相平衡的,对应的畸变力矩等效为零,即∮(τd)t·Ψsχds=0。只有通过余能变分来建立内力与位移的关系时,才能计入(τd)2所做的虚功,因为余能表达式(18)中含有该剪应力系统的平方项,系数λd的引入正是源于此。因而,本文新理论不仅计入了畸变剪应力(τd)1,而且计入了(τd)2对中面剪切变形的影响。82下讨论8.1单箱室箱梁是否存在纯畸变剪应力布莱特纯畸变剪应力,顾名思义,即是类似于布莱特纯扭转那样,沿闭口截面周边均匀分布的纯畸变剪应力。文献指出闭口截面杆件畸变时存在布莱特纯畸变剪应力,下面就是对单箱室箱梁是否存在这种纯畸变剪应力进行分析。单箱室箱梁的布莱特纯畸变剪应力为单箱室箱梁只有畸变而无扭转的条件为所以,布莱特纯畸变剪应变γbχ=0,则τbχ=0,即不存在布莱特纯畸变剪应力。8.2弯点连深剖面的周向位移已有研究中,箱形截面的畸变中心有两种定义。第一种定义:当横截面只发生畸变变形时,各箱壁的周向位移共同对应的转动中心。第二种定义:横截面框架对边反弯点连线的交点。因为箱形截面发生畸变后,轮廓线上各点的周向位移主要是邻边弯曲变形引起;因而,将各边周向位移用绕对边反弯点连线交点的转动来表示。仍以单箱室单轴对称梯形箱梁作为分析对象,并取Uχ=χ′。箱形截面必须满足无弯曲的前提条件,因而两种方法的箱壁中面上任一点M0(s,z)的纵向位移分布是一致的,即对于第一种方法,箱壁中面上任一点M0(s,z)的周向位移为对于第二种方法,箱壁中面上任一点M0(s,z)的周向位移为9计算值的示例9.1变剪应力对中面剪切变形的影响以一简支直线箱梁为研究对象,如图3所示。其中a=b=4m,d/2=2m,ti=0.2m保持不变,以高宽比h/b作为参量进行系列计算,考查畸变剪应力对中面剪切变形的影响及其随高宽比h/b变化规律。图4~图6给出跨中截面的角点A的畸变正应力σd比值、畸变横向弯曲应力σs比值和距跨中1m处的顶板中点畸变剪应力τd比值,图7给出反映畸变剪应力对中面剪切变形影响程度的剪切系数λd随h/b变化规律。图中方法MT1表示采用新理论退化方程(32)进行计算,即不考虑剪应力对中面剪切变形的影响;方法MT2表示采用新理论退化方程(35)进行计算,即只考虑剪应力项(τd)1=-MdSωχ/(Iχωωt)对中面剪切变形的影响;方法MT3表示采用新理论方程(23)进行计算,即考虑全部剪应力对中面剪切变形的影响。对图4~图7中的变化曲线进行对比分析,可得出如下结论。(1)计入次生剪应力对中面剪切变形的影响,畸变正应力σd和剪应力τd减小,而畸变横向弯曲应力σs增大,且这种影响程度随箱形截面边长差异的增大而增大。对于本算例的薄壁箱梁,在一般高宽比1≤h/b≤3.5下,这种影响可忽略。(2)方法MT1与方法MT2所得结果差异很小,不像刚性扭转理论中乌曼斯基第一理论与第二理论所得结果差异很大。即取畸变角的一阶导数作为翘曲函数与另取独立的翘曲函数所得结果的差异,远比在刚性扭转分析中取扭转角的一阶导数作为翘曲函数与另取独立的翘曲函数所得结果的差异要小得多,且对于常见的箱梁,取畸变角的一阶导数作为翘曲函数所得结果的误差很小。9.2畸变中心的确定以算例1的薄壁箱梁作为研究对象,来说明两种畸变中心的差异。其中a=b=5m,d/2=2.5m,ti=0.4m。如图8~图10所示,图中的N1和N2分别表示按上文中第一种定义和第二种定义确定的畸变中心。可以看出,两种方法确定畸变中心下的切向坐标相差很大,并且这种差异随悬臂的增长还会增大。10框架内畸变剪应力成分的应用采用广义坐标法,建立了畸变位移模式和几何方程,推导出畸变剪应力的计算式;基于混合变分原理,建立了一种新的畸变理论和有限梁段模型,该理论充分考虑了全部次生剪切变形的影响。基于新理论,研究了畸变剪应力成分对剪切变形的影响及其影响程度;对于常见的箱梁,取畸变角的一阶导数作为翘曲函数所得结果