2022年广东省深圳市宝安高级中学高三数学文期末试题含解析

2022年广东省深圳市宝安高级中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图设全集U为整数集，集合A={x∈N|1≤x≤8}，B={0，1，2}则图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为（）A．3B．4C．7D．8参考答案：A略2.定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列，有仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”.现有定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f（x）=；②f（x）=；③；④f（x）=ln|x|，则其中是“保等比数列函数”的f（x）的序号为（

）(A)①②

(B)③④

(C)①③

(D)②④参考答案：C3.如果复数z＝，则（

）A．|z|＝2

B．z的实部为1

C．z的虚部为－1

D．z的共轭复数为1＋i参考答案：Cz＝，所以，z的实部为-1，z的虚部为－1，z的共轭复数为-1＋i，因此选C。4.已知球O是棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O所得的截面面积为

A.

B.

C.

D.参考答案：D略5.从4名男生和3名女生中选出3人参加学生座谈会，若这3人中既有男生又有女生，则不同的选法共有(

)

A.60种

B．32种

C.31种

D．30种参考答案：D略6.已知集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|y=ln（1﹣|x|）}，则A∩（?RB）=（）A．（1，2） B．[1，2） C．（﹣1，1） D．（1，2]参考答案：B【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合A中不等式的解集，确定出集合A，求出集合B中函数的定义域，确定出集合B，找出R中不属于B的部分，求出B的补集，找出A与B补集的公共部分即可．【解答】解：由集合A中的不等式x2﹣x﹣2＜0，解得：﹣1＜x＜2，∴A=（﹣1，2），由集合B中的函数y=ln（1﹣|x|），得到1﹣|x|＞0，即|x|＜1，解得：﹣1＜x＜1，∴B=（﹣1，1），又全集R，∴CRB=（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），则A∩（CRB）=[1，2）．故选B7.已知a，b，c，d为实数，且c>d，则“a>b”是“a+c>b+d”的

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A8.已知向量，，，那么的值为

A.

B.

C.

D.0参考答案：B9.在等差数列{an}中，若，，，则的值为（

）

A．15

B．14

C．17

D．16

参考答案：A略10.在等腰梯形中，分别是底边的中点，把四边形沿直线折起，所在的平面为，且平面，，设与所成的角分别为均不为0．若，则点的轨迹为（

）A．直线

B．圆

C．椭圆

D．抛物线参考答案：B如图，连接易知，由，可得，故定值，且此定值不为1，故点的轨迹为圆。（到两定点的比为不为1定值的点的轨迹为圆――――阿波罗尼斯圆）二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.一名工人维护甲、乙两台独立的机床，在一小时内，甲、乙需要维护的概率分别为0.9、0.8，则一小时内有机床需要维护的概率为_____参考答案：0.9812.函数是幂函数，且在x∈（0，+∞）上是减函数，则实数m=

．参考答案：2【考点】幂函数的性质．【专题】计算题．【分析】根据幂函数的定义，令幂的系数为1，列出方程求出m的值，将m的值代入f（x），判断出f（x）的单调性，选出符和题意的m的值．【解答】解：是幂函数∴m2﹣m﹣1=1解得m=2或m=﹣1当m=2时，f（x）=x﹣3在x∈（0，+∞）上是减函数，满足题意．当m=﹣1时，f（x）=x0在x∈（0，+∞）上不是减函数，不满足题意．故答案为：2．【点评】解决幂函数有关的问题，常利用幂函数的定义：形如y=xα（α为常数）的为幂函数；幂函数的单调性与指数符号的关系．是基础题．13.设，且为正实数，则的值为

.参考答案：14.设数列满足，，则

参考答案：1315.程序框图如图，若输入S=1，k=1，则输出的S为．参考答案：26【考点】EF：程序框图．【分析】输入S，k的值，进入循环体，求出满足条件的S的值即可．【解答】解：模拟程序的运行，可得：输入S=1，k=1，则k=2＜5，S=4，执行循环体，k=3＜5，S=11，执行循环体，k=4＜5，S=26，执行循环体，k=5≥5，退出循环体，输出S=26，故答案为：26．【点评】题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．16.已知关于x的函数

是关于x的一元二次方程，根的判别式为△，给出下列四个结论：

①为单调函数的充要条件；

②若x1、x2分别为的极小值点和极大值点，则；

③当a>0，△=0时，在上单调递增；

④当c=3，b=0，时，在[—1，1]上单调递减。其中正确结论的序号是

。（填写你认为正确的所有结论序号）参考答案：③④略17.已知中心在坐标原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），点F关于直线y=x的对称点在椭圆C上，则椭圆C的方程为

．参考答案：+=1【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），由题意可得c=1，设点F（1，0）关于直线y=x的对称点为（m，n），由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，以及中点坐标公式，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程．【解答】解：设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），由题意可得c=1，即a2﹣b2=1，设点F（1，0）关于直线y=x的对称点为（m，n），可得=﹣2，且n=?，解得m=，n=，即对称点为（，）．代入椭圆方程可得+=1，解得a2=，b2=，可得椭圆的方程为+=1．故答案为：+=1．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的焦点，以及点关于直线对称，由点满足椭圆方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(Ⅰ)给定数列，如果存在实常数，使得对于任意都成立，我们称数列是“族数列”．证明：若数列的前项和为是，证明数列是“族数列”，并指出它对应的实常数.(Ⅱ)若数列满足，，求数列前项的和．参考答案：略19.（本小题满分12分）如图，在三棱锥S-ABC中，SA＝AB＝AC＝BC＝SB＝SC，O为BC的中点（1）求证：SO⊥平面ABC;（2）在线段AB上是否存在一点E，使二面角B-SC-E的平面角的余弦值为？若存在，求的值，若不存在，试说明理由参考答案：（1）∵，O为BC的中点，∴，设，则，，，∴，∴，又∵，∴平面ABC．（2）以O为原点，以OA所在射线为x轴正半轴，以OB所在射线为y轴正半轴，以OS所在射线为z轴正半轴建立空间直角坐标系．则有，，，，．假设存在点E满足条件，设，则，则．设平面SCE的法向量为，由，得，故可取．易得平面SBC的一个法向量为．所以，，解得或（舍）．所以，当时，二面角的余弦值为．20.已知椭圆C：=1（a＞b＞0），O是坐标原点，F1，F2分别为其左右焦点，|F1F2|=2，M是椭圆上一点，∠F1MF2的最大值为π．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l与椭圆C交于P，Q两点，且OP⊥OQ，（i）求证：为定值；（ii）求△OPQ面积的最小值．参考答案：【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由题意即可求得a=2，b=1，即可求得椭圆方程；（Ⅱ）（i）分类讨论，当OP和OQ的斜率存在时，设OP和OQ方程，代入椭圆方程，求得P和Q点坐标，即可求得，当OP，OQ斜率一个为0，一个不存在时，则；（ii）分类讨论，由（i）可知由求得丨OP丨及丨OQ丨，根据三角形的面积公式及基本不等式的性质，即可求得△OPQ面积的最小值．当OP，OQ斜率一个为0，一个不存在时，S△OPQ=1，即可求得△OPQ面积的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，2c=|F1F2|=2，c=，当M位于上下端点时，∠F1MF2的最大，则，∠F1MO=，则a=2，b=1，∴椭圆方程为：…（Ⅱ）i）当OP，OQ斜率都存在且不为0时，设lOP：y=kx，P（x1，y1），Q（x2，y2），由，消y得，同理得，，故，当OP，OQ斜率一个为0，一个不存在时，得，综上得，得证（未讨论斜率这扣1分）

…ii）当OP，OQ斜率都存在且不为0时：由上面所求可知：，，，…当且仅当1+4k2=4+k2，则k2=1，k=±1时取等号

…当OP，OQ斜率一个为0，一个不存在时，S△OPQ=1综上S△OPQ的最小值为（未讨论斜率这扣）

…另解：由当且仅当|OP|=|OQ|时取等号

综上S△OPQ的最小值为…21.（13分）如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=3，CD=5，∠A=，cos∠ADB=．（Ⅰ）求BD的长；（Ⅱ）求证：∠ABC+∠ADC=π参考答案：【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；解三角形．【分析】（Ⅰ）由已知可求sin∠ADB的值，根据正弦定理即可解得BD的值．（Ⅱ）根据已知及余弦定理可求cos∠C=﹣，结合范围∠C∈（0，π）可求∠C，可得∠A+∠C=π，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）在△ABD中，因为cos∠ADB=，∠ADB∈（0，π），所以sin∠ADB=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣根据正弦定理，有，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣代入AB=8，∠A=．解得BD=7．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）在△BCD中，根据余弦定理cos∠C=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣代入BC=3，CD=5，得cos∠C=﹣，∠C∈（0，π）所以，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以∠A+∠C=π，而在四边形ABCD中∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=2π，所以∠ABC+∠ADC=π．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理的综合应用，考查了余弦函数的图象和性质，同角的三角函数关系式的应用，属于中档题．22.