第5讲 运用系统思维破解“天体运动中的三大模型”

第四章曲线运动万有引力与宇宙航行第5讲运用系统思维破解“天体运动中的三大模型”开始010203模型(一)环绕模型模型(二)随绕模型模型(三)互绕模型模型(一)环绕模型天体运动中的环绕模型主要以圆周运动和椭圆运动两种形式体现，以圆周运动形式稳定运行时，环绕天体所受的向心力来源于中心天体对其的万有引力，可以借助万有引力与向心力的等量关系分析圆周运动中的一些参数；而以椭圆运动形式运行时，卫星变轨比较常见，分析时注意各状态下的物理量与轨道的关系，特别是对速度与加速度的分析。类型(一)卫星在圆形轨道上稳定运动[例1]

(2022·辽宁高考)(多选)如图所示，行星绕太阳的公转可以看作匀速圆周运动。在图上容易测得地球—水星连线与地球—太阳连线夹角α，地球—金星连线与地球—太阳连线夹角β，两角最大值分别为αm、βm，则

(

)[答案]

BC[答案]

B[模型建构]1．卫星的各物理量随轨道半径变化的规律2．地球静止轨道卫星的6个“一定”3.地球静止轨道卫星与同步卫星的关系地球同步卫星位于地面上方，其离地面高度约为36000km，周期与地球自转周期相同，但轨道平面与绕行方向可以是任意的。地球静止轨道卫星是一种特殊的同步卫星。相切的椭圆轨道(如图所示)，在近日点短暂点火后“天问一号”进入霍曼转移轨道，接着“天问一号”沿着这个轨道运行直至抵达远日点，然后再次点火进入火星轨道。已知引力常量为G，太阳质量为m，地球轨道和火星轨道半径分别为r和R，地球、火星、“天问一号”运行方向都为逆时针方向。若只考虑太阳对“天问一号”的作用力，下列说法正确的是

(

)[答案]

C[模型建构]低圆轨道(Ⅰ)、变轨椭圆轨道(Ⅱ)和高圆轨道(Ⅲ)若卫星要从轨道Ⅰ变换到轨道Ⅲ，则需要在A处、B处各点火加速一次；若卫星要从轨道Ⅲ变换到轨道Ⅰ，则需要在B处、A处各制动减速一次，各种物理量的比较如下表所示：速度关系vⅡA＞vⅠ＞vⅢ＞vⅡB(向心)加速度关系aⅠ＝aⅡA＞aⅡB＝aⅢ能量关系EⅠ＜EⅡ＜EⅢ卫星变轨问题的实质是卫星所受的万有引力F万与卫星所需的向心力F向之间的供需关系：①当F万＝F向时，卫星沿着圆形轨道做匀速圆周运动；②当F万＜F向时，卫星将偏离原轨道做离心运动；③当F万＞F向时，卫星将偏离原轨道做向心运动。类型(三)环绕卫星间的追及相遇问题[例4]

(2023·东北师大附中测试)2021年7月我国成功将全球首颗民用晨昏轨道气象卫星——“风云三号05星”送入预定圆轨道，轨道周期约为1.7h，被命名为“黎明星”，使我国成为国际上唯一同时拥有晨昏、上午、下午三条轨道气象卫星组网观测能力的国家，如图所示。某时刻“黎明星”正好经过赤道上P城市正上方，则下列说法正确的是

(

)A．“黎明星”做匀速圆周运动的速度大于7.9km/sB．同步卫星的轨道半径约为“黎明星”的10倍C．该时刻后“黎明星”经过1.7h能经过P城市正上方D．该时刻后“黎明星”经过17天能经过P城市正上方[答案]

D[解析]

7.9km/s为地球卫星的最大的环绕速度，所以“黎明星”做匀速圆周运动的速度小于7.9km/s，故A错误；依题意可知“黎明星”的运行[模型建构]天体运动中的追及相遇问题绕同一中心天体，在同一轨道平面内不同高度上同向运行的卫星，因运行周期的不同，两颗卫星有时相距最近，有时又相距最远，这就是天体中的“追及相遇”问题。由最远到最近当两卫星和中心天体在同一直线上且位于中心天体的两侧时，两卫星相距最远，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA－ωB)t′＝(2n－1)π(n＝1,2,3，…)由最近到最近两卫星和中心天体在同一直线上且位于中心天体的同侧时，两卫星相距最近，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA－ωB)t＝2nπ(n＝1,2,3，…)续表模型(二)随绕模型星球表面上的物体随着星球自转而做圆周运动，对此类问题的分析主要有两点：一是要把握好物体所受的万有引力被分为两部分——重力与所需的向心力；二是所需的向心力与星球自转的周期有关，对于赤道上的物体，可利用同一直线上力的分解进行分析。[典例]

(多选)有a、b、c、d四颗地球卫星，卫星a还未发射，在赤道表面上随地球一起转动，卫星b是近地轨道卫星，卫星c是地球同步卫星，卫星d是高空探测卫星，它们均做匀速圆周运动，各卫星排列位置如图所示，则

(

)[答案]

BC[模型建构]

如图所示，a为近地卫星，轨道半径为r1；b为地球同步卫星，轨道半径为r2；c为赤道上随地球自转的物体，轨道半径为r3。比较项目近地卫星(r1、ω1、v1、a1)同步卫星(r2、ω2、v2、a2)赤道上随地球自转的物体(r3、ω3、v3、a3)向心力万有引力万有引力万有引力的一个分力续表续表[针对训练](2023·温州模拟)地球诞生早期时自转周期约是8小时，因为受到月球潮汐等因素的影响，总体来看自转在减速，现在地球自转周期是24小时。与此同时，在数年、数十年的时间内，由于地球板块的运动、地壳的收缩、海洋、大气等一些复杂因素以及人类活动的影响，地球的自转周期会发生毫秒级别的微小波动。科学研究指出，若不考虑月球的影响，在地球的总质量不变的情况下，地球上的所有物质满足m1ωr12＋m2ωr22＋…＋miωri2＝常量，其中m1、m2…mi表示地球各部分的质量，r1、r2…ri为地球各部分到地轴的距离，ω为地球自转的角速度，如图所示。根据以上信息，结合所学知识，判断下列说法正确的是

(

)A．月球潮汐等因素的影响使地球自转的角速度变大B．若地球自转变慢，地球赤道处的重力加速度会变小C．若仅考虑A处的冰川融化，质心下降，则地球自转周期变小D．若仅考虑B处板块向赤道漂移，则地球自转周期变小答案：C

模型(三)互绕模型天体运动中的互绕模型虽然仍为圆周运动模型，但由于涉及两个或多个天体，分析时要注意两点：一是互绕星体之间存在的等量关系；二是互绕星体做圆周运动所需的向心力来源，特别是对于不在同一直线上的互绕星体，必须由力的合成求解对应的向心力。1．[双星模型](多选)根据科学家们复原双中子星合并的过程，在两颗中子星合并前约100s时，它们相距约400km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈。将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星

(

)A．质量之积 B．质量之和C．速率之和 D．各自的自转角速度答案：BC2．[三星模型](多选)宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为m的星位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为R，忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，引力常量为G，则

(

)答案：ABC

3．[四星模型]宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。设四星系统中每颗星的质量均为m，半径均为R，四颗星稳定分布在边长为a的正方形的四个顶点上。已知引力常量为G。关于宇宙四星系统，下列说法错误的是

(

)答案：B

[模型建构]双星与多星系统1．双星与多星系统的条件(1)