阶段质量检测（三） 万有引力与宇宙航行

8/8阶段质量检测（三）万有引力与宇宙航行(本试卷满分：100分)一、单项选择题(本题共15小题，每小题4分，共60分。每小题只有一个选项符合题目要求)1．关于天体运动，下列说法正确的是()A．在太阳系中，各行星都围绕太阳运动B．在太阳系中，各行星都围绕地球运动C．地心说的参考系是太阳D．日心说的参考系是地球解析：选A地心说认为太阳及其他天体围绕地球运动，日心说认为太阳是宇宙的中心，而不是地球；在太阳系中，各行星都围绕太阳运动。故选A。2．对于开普勒第三定律eq\f(a3,T2)＝k，下列说法正确的是()A．k与a3成正比B．k与T2成反比C．k与行星和被环绕中心天体有关D．该定律不仅适用于行星绕太阳的运动，也适用于卫星绕行星的运动解析：选D对于开普勒第三定律eq\f(a3,T2)＝k，k只与中心天体有关，与行星无关，不同的中心天体，k值不同，故A、B、C错误；开普勒第三定律不仅适用于行星绕太阳的运动，也适用于卫星绕行星的运动，只不过k值不同，故D正确。3．若使两质点间的万有引力减小为原来的eq\f(1,4)，下列办法可采用的是()A．使两质点间距离增为原来的4倍，质量不变B．使两质点的质量都减半，间距减为原来的eq\f(1,2)C．使其中一质点的质量减为原来的eq\f(1,4)，间距不变D．使两质点的质量和间距都减为原来的eq\f(1,4)解析：选C根据万有引力定律，可知质点间的万有引力大小为F＝Geq\f(m1m2,r2)，使两质点间距离增为原来的4倍，质量不变，则万有引力减小为原来的eq\f(1,16)，故A错误；使两质点的质量都减半，间距减为原来的eq\f(1,2)，则万有引力保持不变，故B错误；使其中一质点的质量减为原来的eq\f(1,4)，间距不变，则万有引力减小为原来的eq\f(1,4)，故C正确；使两质点的质量和间距都减为原来的eq\f(1,4)，则万有引力保持不变，故D错误。4.如图所示，假设空间站与比空间站离地更高的卫星B在同一轨道平面上做匀速圆周运动，且环绕方向一致，空间站距地面高度为h1，卫星B轨道半径为h2，地球半径为R。引力常量为G，则卫星B与空间站的周期之比T1∶T2为()A.eq\r(\f(h23,R＋h13)) B.eq\r(\f(R＋h23,R＋h13))C.eq\r(\f(R＋h13,R＋h23)) D.eq\r(\f(h23,h13))解析：选A根据开普勒第三定律可知eq\f(R＋h13,T22)＝eq\f(h23,T12)，解得eq\f(T1,T2)＝eq\r(\f(h23,R＋h13))，故A正确，B、C、D错误。5．2023年3月30日，我国在太原卫星发射中心使用长征二号丁运载火箭，以“一箭四星”的方式，成功将宏图一号01组卫星发射升空，本次任务的四颗卫星在轨组成国际首个车轮式卫星编队。假设某卫星在预定轨道上绕地球做匀速圆周运动，其线速度大小为v，角速度大小为ω，引力常量为G，则地球的质量为()A.eq\f(v3,Gω)B.eq\f(v2,Gω)C.eq\f(v3,Gω2)D.eq\f(v2,Gω2)解析：选A根据Geq\f(Mm,r2)＝mω2r，v＝ωr，解得M＝eq\f(v3,Gω)，故选A。6.极地卫星的运行轨道平面通过地球的南北两极(轨道可视为圆轨道)。如图所示，若某极地卫星从北纬30°的正上方按图示方向第一次运行至南纬60°正上方，所用时间为t，已知地球半径为R(地球可看作球体)，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，由以上条件可知()A．卫星运行的角速度为eq\f(π,t)B．地球的质量为eq\f(gR,G)C．卫星距地面的高度eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4gR2t2,π2)))eq\f(1,3)－RD．卫星运行的线速度为eq\f(πR,2t)解析：选C卫星运行的角速度为ω＝eq\f(\f(π,6)＋\f(π,3),t)＝eq\f(π,2t)，A错误；根据mg＝Geq\f(Mm,R2)，可知地球的质量为M＝eq\f(gR2,G)，B错误；根据万有引力提供向心力可得Geq\f(Mm,R＋h2)＝mω2(R＋h)，解得h＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4gR2t2,π2)))eq\f(1,3)－R，C正确；卫星运行的线速度为v＝ω(R＋h)＝eq\f(πR＋h,2t)，D错误。7.两颗行星A、B均在同一平面内沿相同的环绕方向围绕中心天体运动，经过观测发现每隔最短时间t行星A与行星B相距最近一次。两行星的运动均可看作匀速圆周运动，若行星A的运行周期为TA，则行星B的运行周期为()A.eq\f(tTA,t－TA)B.eq\f(tTA,TA－t)C.eq\f(tTA,TA＋t)D.eq\f(t－TA,tTA)解析：选A半径越小，周期越小，故TB＞TA,从第一次相距最近到第二次相距最近，A比B多走一周，θA－θB＝2π＝eq\f(2π,TA)t－eq\f(2π,TB)t，解得TB＝eq\f(tTA,t－TA)，故选A。8.设想在赤道上建造“太空电梯”，航天员可通过竖直的电梯直通太空站，图中r为航天员到地心的距离，R为地球半径，曲线A为地球引力对航天员产生的加速度大小与r的关系；直线B为航天员由于地球自转而产生的向心加速度大小与r的关系。关于相对地面静止在不同高度的航天员，下列说法正确的是()A．随着r增大，航天员的线速度减小B．航天员在r＝R处的线速度等于第一宇宙速度C．图中r0作为地球同步卫星的轨道半径D．随着r增大，航天员感受到“重力”也增大解析：选C航天员的线速度v＝rω，地球自转角速度不变，随着r增大，线速度v增大，A错误；航天员在地面上并非卫星，除了受到万有引力还受到地面的支持力，故线速度远小于第一宇宙速度，B错误；当r＝r0时，引力产生的加速度正好等于航天员做圆周运动的向心加速度，即万有引力提供做圆周运动的向心力，所以航天员相当于卫星，此时航天员的角速度跟地球的自转角速度一致，可以看作是地球的同步卫星，C正确；根据重力和万有引力相等可得Geq\f(Mm,r2)＝mg′，随着r增大，其重力mg′越来越小，D错误。9．“天问一号”成功被火星捕获后进入环绕火星轨道，成为中国第一颗人造火星卫星。已知“天问一号”运行周期为2个火星日(火星日与地球日近似相等)，轨道可看作半径为3.26×107m的圆轨道，地球同步卫星轨道半径为4.23×107m，地球质量为6.0×1024kg。由上述信息可估算出火星质量约为()A．6.5×1021kg B．6.4×1023kgC．6.4×1025kg D．6.5×1027kg解析：选B“天问一号”绕火星做圆周运动过程，根据万有引力提供向心力可得eq\f(GM火m,r12)＝mr1eq\f(4π2,T12)，M火＝eq\f(4π2r13,GT12)，同步卫星绕地球做圆周运动过程，同理可得M地＝eq\f(4π2r23,GT22)，由题意可知r1＝3.26×107m，r2＝4.23×107m，M地＝6.0×1024kg，T1＝2T2，联立代入数据可解得M火≈6.9×1023kg，与B项最接近，故选B。10．从“嫦娥”探月到“天问”探火，再到“羲和”逐日，我国深空探测能力持续增强。随着我国航天事业的不断发展，设想未来某一天，我国的航天员降落在某星球上，该星球的质量约为地球的1.5倍，半径约为地球的2倍，已知地球表面的重力加速度为g。忽略地球和星球自转影响，航天员在该星球表面的重力加速度约为()A.eq\f(8,3)gB.eq\f(3,8)gC.eq\f(4,3)gD.eq\f(3,4)g解析：选B由题意可知，在地球上，万有引力提供重力，有eq\f(GM地m,R地2)＝mg，在该星球表面有eq\f(GMm,R2)＝eq\f(G×1.5M地m,2R地2)＝mg1，解得g1＝eq\f(3,8)g，故选B。11．关于万有引力定律，下列说法中正确的是()A．牛顿最早测出G值，使万有引力定律有了真正的实用价值B．牛顿通过“月—地检验”发现地面物体、月球所受地球引力都遵从同样的规律C．由F＝Geq\f(m1m2,r2)可知，距离r一定时，m1与m2的乘积越大，相互作用的两个天体间的万有引力越小D．引力常量G值大小与中心天体选择有关解析：选B最早测出G值的是卡文迪什，故A错误；牛顿通过“月—地检验”发现地面物体、月球所受地球引力都遵从同样的规律，故B正确；由公式F＝Geq\f(m1m2,r2)可知，G为常量，r一定时，m1与m2的乘积越大，F越大，故C错误；引力常量G是一个定值，它的大小与中心天体选择无关，故D错误。12.卫星的“星下点”是指卫星的瞬时位置和地球中心的连线与地球表面的交点，可用地理经、纬度来表示，对于位于“星下点”处的地面观察者来说，卫星就在天顶，如图所示，将“星下点”的轨迹画在地图上便是星下点轨迹图。已知某颗卫星的星下点轨迹图是一个点。地球自转的周期为T，地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，卫星的运动可视为匀速圆周运动，则()A．该卫星的角速度ω＝eq\f(2π,T)B．该卫星的线速度v＝eq\f(2πR,T)C．该卫星的轨道半径r＝eq\r(3,\f(gR2T2,2π2))D．该卫星可能位于北京的正上方解析：选A某颗卫星的星下点轨迹图是一个点，说明该卫星相对地球静止，是地球静止卫星，位于赤道上空，D错误；地球自转的周期为T，该卫星的角速度为ω＝eq\f(2π,T)，该卫星的线速度为v＝eq\f(2πR＋h,T)，其中h为卫星距离地面高度，A正确，B错误；由万有引力提供向心力可得Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，在地球表面的重力加速度为g＝Geq\f(M,R2)，联立解得该卫星的轨道半径为r＝eq\r(3,\f(gR2T2,4π2))，C错误。13．宇宙中存在一些离其他恒星较远的三星系统，在它们之间的万有引力作用下，绕一个共同的圆心做周期相等的圆周运动。如图所示，三颗质量均为m的星球构成三星系统Ⅰ，三颗质量均为km的星球构成三星系统Ⅱ，它们分别位于两个等边三角形的顶点上，若三星系统Ⅱ中等边三角形的边长是三星系统Ⅰ中等边三角形边长的q倍。下列说法正确的是()A．三星系统Ⅱ中一个星球受到的合力是三星系统Ⅰ中一个星球受到合力的eq\f(k2,q2)倍B．三星系统Ⅱ中一个星球的加速度是三星系统Ⅰ中一个星球加速度的eq\f(k,q)倍C．三星系统Ⅱ中一个星球的角速度是三星系统Ⅰ中一个星球角速度的eq\r(\f(k,q))倍D．三星系统Ⅱ中一个星球的线速度是三星系统Ⅰ中一个星球线速度的eq\f(k,q)倍解析：选A设三星系统Ⅰ的边长为L，则三星系统Ⅱ的边长为qL，根据万有引力提供向心力可得eq\r(3)eq\f(Gm2,L2)＝ma＝meq\f(v2,\f(\r(3)L,3))＝mω2×eq\f(\r(3)L,3)，eq\r(3)eq\f(Gk2m2,q2L2)＝kma′＝kmeq\f(v′2,\f(\r(3)qL,3))＝kmω′2×eq\f(\r(3)qL,3)，所以系统Ⅱ中一个星球受到的合力与系统Ⅰ中一个星球受到的合力的倍数关系为eq\f(\r(3)\f(Gk2m2,q2L2),\r(3)\f(Gm2,L2))＝eq\f(k2,q2)，系统Ⅱ中一个星球的加速度与系统Ⅰ中一个星球的加速度的倍数关系为eq\f(a′,a)＝eq\f(\r(3)\f(Gkm,q2L2),\r(3)\f(Gm,L2))＝eq\f(k,q2)，系统Ⅱ中一个星球的角速度与系统Ⅰ中一个星球的角速度的倍数关系为eq\f(ω′,ω)＝eq\r(\f(\f(3Gkm,q3L3),\f(3Gm,L3)))＝eq\r(\f(k,q3))，系统Ⅱ中一个星球的线速度与系统Ⅰ中一个星球的线速度的倍数关系为eq\f(v′,v)＝eq\r(\f(\r(3)\f(Gkm,q2L2)×\f(\r(3)qL,3),\r(3)\f(Gm,L2)×\f(\r(3)L,3)))＝eq\r(\f(k,q))，故选A。14.地球和火星绕太阳的运动都可以看成匀速圆周运动，如图所示，地球到太阳的距离小于火星到太阳的距离，若地球和火星绕太阳运行的线速度分别为v地和v火，周期分别为T地和T火，下列判断正确的是()A．T地＞T火 B．T地＝T火C．v地＞v火 D．v地＝v火解析：选C根据Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝meq\f(4π2,T2)r，可得v＝eq\r(\f(GM,r))，T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，因为r地＜r火，可知v地＞v火，T地＜T火，故选C。15．“亚洲一号”地球静止轨道通信卫星的质量是1.25t，下列有关它的说法正确的是()A．若将它的质量增加为2.5t，其运动轨道半径变为原来的2倍B．它的运行速度大于7.9km/sC．它可以通过北京的正上方，所以我国能利用其进行电视转播D．它的周期是24h，其轨道平面与赤道平面重合且距地面高度一定解析：选D静止卫星周期一定为24h，根据万有引力提供向心力得Geq\f(Mm,R＋h2)＝meq\f(4π2,T2)(R＋h)，解得T＝eq\r(\f(4π2R＋h3,GM))。因周期一定，则距地面高度一定，半径一样，所以各国发射的这种卫星轨道半径都一样，与质量无关，故A错误，D正确；第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，也是最大的圆周运动的环绕速度。而静止卫星的轨道半径要大于近地卫星的轨道半径，由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，解得v＝eq\r(\f(GM,r))，可知静止卫星运行的线速度一定小于第一宇宙速度，故B错误；它若在除赤道所在平面外的任意点，假设实现了相对地面静止，那它的运动轨道所在平面与受到地球的引力就不在一个平面上，这是不可能的，所以静止卫星不可能通过北京的正上空，故C错误。二、非选择题(本题共3小题，共40分)16．(12分)“中国天眼”射电望远镜FAST为我国天文观测做出了巨大贡献。脉冲星实质是高速旋转的中子星，中子星每自转一周地球就会接收到一个射电脉冲。已知某中子星的半径为R，质量为M。引力常量为G，求：(1)该中子星表面高h处重力加速度g；(2)“中国天眼”接收到该中子星的两个脉冲之间的时间间隔T的取值范围。解析：(1)设质量为m的物体在该中子星表面高h处受到的重力等于中子星对其万有引力Geq\f(Mm,R＋h2)＝mg，得g＝eq\f(GM,R＋h2)。(2)两个脉冲之间的时间间隔即为中子星不瓦解的自转周期T，Geq\f(Mm′,R2)≥m′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2R，解得T≥2πeq\r(\f(R3,GM))。答案：(1)eq\f(GM,R＋h2)(2)T≥2πeq\r(\f(R3,GM))17．(14分)“玉兔号”月球车与月球表面的第一次接触实现了中国人“奔月”的伟大梦想。不久的将来我国航天员登上月球，在月球表面做了一个平抛试验，将一物体从高h处以初速度v0水平抛出，测得水平位移为x，已知月球半径为R，自转周期为T，引力常量为G。求：(1)月球表面重力加速度；(2)月球的质量和月球的第一宇宙速度；(3)月球的平均密度。解析：(1)由平抛运动规律有h＝eq\f(1,2)gt2，x＝v0t解得g＝eq\f(2hv02,x2)。(2)在月球表面的物体受到的重力等于万有引力mg＝Geq\f(Mm,R2)，联立解得M＝eq\f(2hR2v02,Gx2)，月球的第一宇宙速度为近月卫星的运行速度，根据重力提供向心力mg＝meq\f(v12,R)，解得v1＝eq\r(gR)＝eq\f(v0,x)eq\r(2hR)。(3)月球的平均密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3hv02,2πRGx2)。答案：(1)eq\f(2hv02,x2)(2)eq\f(2hR2v02,Gx2)eq\f(v0,x)eq\r(2hR)(3)eq\f(3hv02,2πRGx2)18.(14分)2023年5