专题01不等式综合问题（练）（解析版）

第一篇热点、难点突破篇专题01不等式综合问题（练）【对点演练】一、单选题1．（2022·辽宁·朝阳市第一高级高三阶段练习）已知命题：，是假命题，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据一元二次不等式恒成立求解实数的取值范围.【详解】由题意得是真命题，即，，当时，符合题意；当时，有，且，解得.综上所述，实数的取值范围是.故选:D.2．（2022·全国·高三专题练习）不等式的解集为,则函数的图像大致为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意，可得方程的两个根为和，且，结合二次方程根与系数的关系得到、、的关系，再结合二次函数的性质判断即可．【详解】根据题意，的解集为，则方程的两个根为和，且.则有，变形可得，故函数是开口向下的二次函数，且与轴的交点坐标为和.对照四个选项，只有C符合.故选：C．3．（2022·重庆市云阳县高阳高三阶段练习（理））关于的不等式恒成立的一个充分不必要条件是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据二次不等式恒成立得，再根据充分不必要条件的概念求解即可.【详解】解：当时，，该不等式成立；当，即时，该不等式成立；综上，得当时，关于的不等式恒成立，所以，关于的不等式恒成立的一个充分不必要条件是．故选：D．4．（2022·宁夏·银川高三阶段练习（理））《忠经·广至理章第十二》中有言“不私，而天下自公”，在实际生活中，新时代的青年不仅要有自己“不私”的觉悟，也要有识破“诈公”的智慧.某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，顾客要购买黄金，售货员先将的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（

）A．大于 B．小于 C．等于 D．以上都有可能【答案】A【分析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．【详解】由于天平两臂不相等，故可设天平左臂长为，右臂长为（不妨设，第一次称出的黄金重为，第二次称出的黄金重为，由杠杆平衡定理可得，，，则，，，故顾客实际所得黄金大于．故选：．5．（2022·湖北·高三阶段练习）已知随机变量，且，则的最小值为（

）A．9 B．8 C． D．6【答案】B【分析】由正态曲线的对称轴得出，再由基本不等式得出最小值.【详解】由随机变量，则正态分布的曲线的对称轴为，又因为，所以，所以.当时，，当且仅当，即时等号成立，故最小值为.故选：B二、多选题6．（2020·山东·青岛高三期中）设，，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】结合已知条件，可得到，对于选项A：对两边同时平方，并利用不等式性质即可判断；对于B：利用不等式性质即可判断；对于CD：结合均值不等式即可判断.【详解】由，，则，，对于A：由两边平方并整理得，，故A错误；对于B：，故B正确；对于C：由选项B知，，又，故C正确；对于D：因为，又，，故D正确.故选：BCD.7．（2022·江苏江苏·高三阶段练习）已知，则（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】由题可得，进而可得可判断A，根据特值可判断B，根据基本不等式可判断C，利用二次函数的性质可判断D.【详解】由，可得，因为，所以，所以，即，故A正确；取，，而，故B错误；因为，当且仅当时等号成立，所以，故C正确；由，可得，，当时等号成立，故D正确.故选：ACD.8．（2022·河北·开滦第一高三阶段练习）若对任意恒成立，其中，是整数，则的可能取值为（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】对分类讨论，当时，由可得，由一次函数的图象知不存在；当时，由，利用数形结合的思想可得出的整数解.【详解】当时，由可得对任意恒成立，即对任意恒成立，此时不存在；当时，由对任意恒成立，可设，，作出的图象如下，由题意可知，再由，是整数可得或或所以的可能取值为或或故选：BCD三、填空题9．（2022·广西南宁·模拟预测（文））若直线平分圆的周长，则ab的最大值为________【答案】【分析】因为直线平分圆，则直线过圆心，再利用基本不等式求出ab的最大值.【详解】由题意得，直线过圆心，所以，所以，（当且仅当，即，取“=”），又，所以ab的最大值为.故答案为：.10．（2022·河南安阳·高三阶段练习（文））已知点P（m，n）是函数图象上的点，当时，2m＋n的最小值为______．【答案】【分析】根据基本不等式即可求解最小值.【详解】P（m，n）是函数图象上的点，所以，因为，所以，所以，当且仅当时取等号，故的最小值为.故答案为：【冲刺提升】一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）已知m，n，s，t为正数，，，其中m，n是常数，且的最小值是，点是曲线的一条弦AB的中点，则弦AB所在直线方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由已知得，化简后利用基本不等式可求出其最小值，再结合其最小值为和可求出，从而可得点的坐标，再利用点差法可求出直线AB的斜率，从而可求出直线方程.【详解】因为m，n，s，t为正数，，所以，当且仅当时取等号，所以，又，又为正数，所以解得，即，设弦两端点分别为，则，两式相减得，因为，所以直线的斜率为，所以直线方程为，即.经检验直线与椭圆有两个交点，所以直线方程为，故选：D2．（2022·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设正四棱锥的高为，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围.【详解】∵球的体积为，所以球的半径,[方法一]：导数法设正四棱锥的底面边长为，高为，则，,所以，所以正四棱锥的体积，所以，当时，，当时，，所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，又时，，时，,所以正四棱锥的体积的最小值为，所以该正四棱锥体积的取值范围是.故选：C.[方法二]：基本不等式法由方法一故所以当且仅当取到，当时，得，则当时，球心在正四棱锥高线上，此时，，正四棱锥体积，故该正四棱锥体积的取值范围是二、多选题17．（2020·海南·高考真题）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根据，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.【详解】对于A，，当且仅当时，等号成立，故A正确；对于B，，所以，故B正确；对于C，，当且仅当时，等号成立，故C不正确；对于D，因为，所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；故选：ABD【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.3．（2022·黑龙江·哈尔滨市第高三阶段练习）已知等差数列的前项和为，若，，则（

）A． B．若，则的最小值为C．取到最大值时， D．设，则数列的最小项为【答案】AD【分析】求得等差数列的通项公式判断选项A；求得的最小值判断选项B；求得取到最大值时n的值判断选项C；求得数列的最小项判断选项D.【详解】由，可得，则等差数列的通项公式为，则选项A判断正确；若，则则（当且仅当时等号成立）又，则的最小值为不为.则选项B判断错误；等差数列中，则等差数列的前项和取到最大值时，或.则选项C判断错误；设，则，则则则数列的最小项为.则选项D判断正确故选：AD4．（2022·广东·广州大学附属高三阶段练习）已知的左，右焦点分别为，，长轴长为4，点在椭圆C外，点Q在椭圆C上，则下列说法中正确的有（

）A．椭圆C的离心率的取值范围是B．已知，当椭圆C的离心率为时，的最大值为3C．存在点Q使得D．的最小值为1【答案】ACD【分析】易得，再根据点在椭圆C外，可得，从而可求得的范围，再根据离心率公式即可判断A；根据离心率求出椭圆方程，设点，根据两点的距离公式结合椭圆的有界性即可判断B；当点Q位于椭圆的上下顶点时取得最大值，结合余弦定理判断是否大于等于即可判断C；根据结合基本不等式即可判断D.【详解】解：根据题意可知，则椭圆方程为，因为点在椭圆C外，所以，所以，所以，则离心率，故A正确；对于B，当椭圆C的离心率为时，，所以，所以椭圆方程为，设点，则，当时，，故B错误；对于C，当点Q位于椭圆的上下顶点时取得最大值，此时，，即当点Q位于椭圆的上下顶点时为钝角，所以存在点Q使得为直角，所以存在点Q使得，故C正确；对于D，，则，当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为1，故D正确.故选：ACD.三、填空题5．（2022·重庆市云阳县高阳高三阶段练习（理））已知且，则的最小值为___________【答案】【分析】由题知，进而令，将的最小值转化为的最小值，再根据基本不等式求解即可.【详解】解：由得，所以，整理得，令，则，所以，当且仅当时取等号，此时.故答案为：6．（2022·黑龙江·铁人高三阶段练习）已知，，不等式对于恒成立，且方程有实根，则的最小值为______.【答案】【分析】根据题意结合一元二次不等式在R上恒成立可得，消b整理得，注意到，结合基本不等式求最值.【详解】由题意可得：不等式对于恒成立，则方程有实根，则∴，即，则∵，则当且仅当时等号成立∴，则故答案为：.7．（2021·天津·高考真题）若，则的最小值为____________．【答案】【分析】两次利用基本不等式即可求出.【详解】，，当且仅当且，即时等号成立，所以的最小值为.故答案为：.8．（2019·天津·高考真题（理））设，则的最小值为______.【答案】【分析】把分子展开化为，再利用基本不等式求最值．【详解】，当且仅当，即时成立，故所求的最小值为．9．（2022·河北·唐山市第十一高三阶段练习）已知函数，若对任意恒有，则的最大值为___________.【答案】【分析】根据分段函数的性质，结合对任意恒有，求得实数的取值范围，在根据对数函数与指数函数的单调性得函数的单调性，从而可求解的最大值.【详解】解：由已知函数，则时，，当且仅当时，取到最小值；时，若对任意恒有，则此时单调递减，则对称轴即，所以；结合可知对任意恒有，则有，所以.又，其中在时是增函数，在时是减函数，故在时是增函数，故.故答案为：.10．（2023·全国·高三专题练习）已知P是曲线上的一动点，曲线C在P点处的切线的倾斜角为，若，则实数a的取值范围是___________【答案】【分析】根据导数的几何意义，求导表示出切线斜率，根据倾斜角与斜率的变化关系，将问题等价转化为含参不等式恒成立，利用参变分离以及基本不等式，可得答案.【详解】因为，所以，因为曲线在M处的切线的倾斜角，所以对于任意的恒成立，即对任意恒成立，即，又，当且仅当，即时，等号成立，故，所以a的取值范围是．故答案为：.四、解答题11．（2022·安徽·高三阶段练习）若正数满足.(1)求的最大值；(2)求的最小值.【答案】(1)(2)最小值.【分析】（1）由基本不等式和定，积最大求解.（2）根据已知条件，通过变形构造出能用基本不等式的表达式，然后利用基本不等式求解.（1）因为，又，所以，当且仅当时等号成立，所以当，时，.即的最大值为.（2）.当且仅当时等号成立，即当，时取最小值.故的最小值为：.12．（2020·山东·青岛三十高三期中）在①a＝2，②a＝b＝2，③b＝c＝2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，求△ABC的面积的值（或最大值）．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，三边a，b，c与面积S满足