信息与计算科学-概率方法在其他数学问题中的应用论文

概率方法在其他数学问题中的应用摘要概率不仅是一种观察世界的方法，还是解析几何，高等代数和数学分析的核心学科。如今，随着人们对概率的不断研究，逐渐发现了概率在科学研究中的重要性。通过查阅资料和对概率方法的研究，我发现有许多其他数学学科的问题可以通过概率方法来解决。这些问题主要存在于级数、排列组合、算法、积分中以及数学金融中。而本文就是围绕这几方面重点讲述概率方法在其他数学问题中的应用。关键词概率方法级数算法积分数学金融TheapplicationofprobabilitymethodinothermathematicalproblemsAbstractProbabilityisnotonlyawaytoobservetheworld,butalsoacoresubjectofanalyticgeometry,advancedalgebraandmathematicalanalysis.Nowadays,withthecontinuousresearchonprobability,theimportanceofprobabilityinscientificresearchhasbeengraduallydiscovered.Bylookingupthedataandstudyingtheprobabilitymethod,Ifoundthattherearemanyothermathematicalproblemsthatcanbesolvedbytheprobabilitymethod.Theseproblemsmainlyexistinseries,permutationandcombination,algorithm,integralandmathematicalfinance.Itisaroundtheseaspectsthatthispaperwillfocusontheapplicationofprobabilisticmethodsinothermathematicalproblems.KeywordsprobabilisticmethodseriesalgorithmintegralMathematicalfinance目录引言…………………11概率方法在级数中的应用……………………21.1用概率方法解决级数问题……………21.2级数中概率方法小结…………………42概率方法在排列组合中的应用………………42.1用概率方法解决排列组合问题………42.2排列组合中概率方法小结……………53概率方法在算法中的应用……………………53.1马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）算法…………………53.2组合优化………………54概率方法在积分中的应用……………………64.1概率积分法基本原理…………………64.2概率积分法在开采沉陷预计时的应用………………74.3概率积分法的修正……………………75概率论在数学金融中的应用…………………9结论………………11参考文献…………………………12致谢………………13概率方法在级数中的应用1.1用概率方法解决级数问题解由题意可假设模型：假设一个摸球模型。存在两个大小，形状，质量等都一样的小球。其中一个为黑球，一个为白球。现开始从袋子中摸球，且摸两次。每摸完一次球后将球放回袋中。若两次摸到球的都是白球则判定游戏获胜；否则认为游戏失败。此时再向袋中加入一只黑球，然后再从袋中摸两次球。如果两次摸球摸到的都是白球则判定游戏获胜，结束游戏。若两次不全为白球则向袋中加入与之前同样的黑球一个，如此进行下去，求成功的概率。则有，,，,。由概率的完全可加性知：因此证明级数收敛且级数和为。求证：。证明由题意可假设模型:令E是是一个随机试验,且只有两个基本事件和。重复试验En次,在第次试验中,出现的概率为,不出现的概率为。令表示n次独立试验中，首次出现在第n次试验的概率，则有，，则有。以此1.2级数中概率方法小结由上面两个例子可得，复杂的级数问题可以通选取一定的概率模型，将抽象的级数问题具体化。将级数问题转化为概率模型的计算，从而让求复杂解级数问题变得简单。概率方法在排列组合中的应用2.1用概率方法解决排列组合问题例1解假设从装有编号为的五个小球的袋中一把列看作随机试验。令A={取出数字的排列组成自然数(即0未排在首位)由于0、1、2、3、4各数字首位的机会均等故因此例2（增一原则）证明：建立随机模型：假设在一个不透明的袋中有相同的小球个，其中有是红球个，白球个。从袋中随机地取出个球，令={取出的r个球中有红球}，={取出的r个球中没有红球}。易知，基本事件总数为，，，，从而。2.2排列组合中概率方法小结用传统方法证明排列组合有许多繁琐的过程。如果选用概率方法，这些繁琐的问题就很容易解决得到解决。建立适当的概率模型，在遇到一些繁琐的排列组合问题时。通过对排列和组合恒等式的分析，简化了排列组合的一些复杂问题。概率方法在算法中的应用3.1马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）算法马尔可夫链蒙特卡算法是一种用来解决从数学上指定的可能对象的概率分布中实际问题对随机对象采样的通用算法。这个问题出现在很多数学科学中在统计物理学和贝叶斯统计出现的频率尤其得多。举一个在图论中一个非常容易陈述的例子。甲着色图的是中的一个的分配ķ颜色的每个顶点ģ，受约束由边缘连接的两个顶点必须具有不同的颜色。我们如何获得均匀的随机这种着色？一个人的第一个想法-在受约束的情况下随机将颜色顺序分配给顶点-不起作用。而是从任意颜色开始。然后模拟（蒙特卡洛）随机过程（马尔可夫链），在每一步中，我们选择G的一个随机顶点，如果满足约束，则将其更改为随机选择的颜色，否则保持颜色不变。在技术条件下（尤其是，k大于G的最大顶点度的两倍就足够了），经过许多步骤，每种可能着色的可能性几乎都相等，甚至可以对所需步骤数（混合时间）进行理论分析。估算有限（但较大）状态马尔可夫链的混合时间的基本数学问题出现在不同的设置中。上面的方案是算法中用于图形计数k个颜色的数量的关键要素。已经针对更重要的问题设计了类似的MCMC方案，例如近似大矩阵的永久性和近似高维空间中凸体的体积。该领域的证明使用多种技术：较大的偏差和耦合；谱隙估计和离散傅里叶分析；涉及规范路径，流程和最佳割集的组合方法；通过几何思想发现等长不等式与拉普拉斯算子存在相关性。3.2组合优化算法理论中的经典领域之一就包括组合优化，而（旅行商问题：通过一组要点找到最短路径）是该领域的范式问题。在设计用于此类问题的通用算法时，通常谨慎的做法是在选择连续步骤时包括一些随机化，以避免陷入非最佳局部最小值。这种启发式随机算法的理论分析仍然是一个具有挑战性的问题。在不同的方向上，存在几个关于平面中n个随机点上的最佳TSP路径的难题。首先，中心极限定理是否成立，即最佳行程的长度是否具有n的正态分布趋于无穷大？第二，可以证明关于最优行程的几何结构的任何东西吗？解决德国15,000个城市的旅行商问题。作为简单的闭合曲线，它具有一个内部（蓝色）和一个外部（白色）。后一个主题属于算法的概率分析领域，其中将概率模型放在输入数据上。另一个分配问题这个领域中也是十分有趣的：假定需要完成个作业，n台机器和的成本矩阵（在机器j上执行作业i的成本），找到将不同作业分配给不同机器的最低成本。在确定性设置中，这是线性编程看，的简单特殊情况。通过假设成本与指数均值1分布独立，来建立概率模型。关于（随机）最小成本我们能说什么？推测是在15年前，使用统计物理学的非严格复制方法，收敛于，但直到最近才发现了严格的证明。精确公式的相关猜想。4.概率方法在积分中的应用4.1概率积分法基本原理概率积分法的主要应用存在于地质学的采地表移动中。在计算机实现过程中,可以将工作面剖分成为工作面平均采深)的矩形网格进行积分。概率积分在运动和变形预测公式中有所应用，因此引用了概率积分法。波兰科学家将机会理论引入地层运动研究。概率积分法是由中国科学家刘宝晨和廖国哈发展起来的。经过我国科学家的的研究，它已成为目前我国的主要预测方法之一。4.2概率积分法在开采沉陷预计时的应用有两类误差存在于使用概率积分法预测退化补贴中，一类是模型误差，另一类是则参数误差。而第一类模型误差、第二类模型误差和第三类模型误差就是模型误差中所包含的。不同的模型使用不同的概率方法时与应对实际情况有很大的不同。在开采条件极差的情况下，岩石结构与地表间又一定的作用，而概率积分法则理想得认为覆岩层为均质颗粒，因此在作出相应概率积分模型时有很大的偏差。第二模型误差则时由于特定地质构造引起的。即使考虑了这种误差，但由于概率积分法本身的基本理论存在缺陷，在应用于实际问题中仍存在一些问题。而第三类模型误差则是由模型本身的理论误差引起的。主影响角正切、下沉系数、转折点偏移、水平运动系数、扩散角影响等等都是概率积分法预测参数中所包括。在获取概率积分法的参数时通常采用两种方法：一、从实测地表移动数据中提取预测参数；二、在没有实际测量数据可供参考的情况下，可以通过相邻工程中推测出大概值。参数概率积分法参数反演包含三个部分。一部分是水平移动系数，另一部分是主要影响角正切，最后一部分为下沉系数。在面对实际问题时这些参数并不是独立存在的。因此，在演算得出参数时可能与开采沉陷规律不一致。与此同时，各个矿区在具体地质采矿条件方面也存在着差异，这就使得使用相邻矿区的预计参数进行预算时误差较大。这种由于在获取参数不准确而产生的误差被称为参数误差。4.3概率积分法的修正为了修正这些误差，我国的许多科研人员人员进行了深入的研究，针对模型误差许多科学家提出了不同的修正方案，从而降低了由于参数错误产生的误差。诸多学者提出了许多对于模型误差的修正方法，内容过多这里不再一一赘述。接下来重点介绍目前国内使用最广泛的在预计参数求取时误差的修正方法。首先说明一下，参数误差是由参数选取误差和参数反演误差这两方面构成的。存在误差的原因在于各个矿区的生产环境和地质问题不同，采用概率积分法对邻近矿区的参数进行预测；另一方面，数据处理方法的使用存在不可避免的误差。由于参数不是孤立存在的，这些参数之间存在一定相关性和在数据处理方法上的误差，实际值与反性能参数之间总是存在一定的差异。截止至今得出的修正方法有两种：（1）建立采动岩体运动观测站是修正参数选取误差的重要途径，观测站收集并转换矿区预测参数。（2）有学者提出了用人工神经网络来选择降解参数，这是基于分析可降解性预测参数与地质降解因子关系的基础上发现的。通过最终的结果表明，用神经网络方法选取概率积分法参数的误差小于百分之五。而栾元忠降质系数和主要影响角度上运用神经网络，对其进行建模处理，实现了换档运动参数的类比。张青松等学者利用Grobset理论对岩石运动数据进行处理，提高了神经网络参数选择方法的效率和精度。研究结果表明，各种地质退化因子对土壤还原的支持程度，提高了开采厚度、深度、退化程度、退化长度、岩性及与煤的关系。在建模时选用改进的神经网络对补贴参数进行预测。通过研究最终结果表明，在神经网络的选取上选择了可能性积分法的预测参数误差在百分之六以内。另一边柴华斌、邹友峰则建议在选择采用补贴预测参数时采用相似第二准则和模式识别理论。他们通过研究发现：退化系数和主要影响角度主要与岩体的整体变形过程和退化深度和厚度较低，拐点偏移量与退化深度的比值和水平运动系数也与岩体的广泛变形模量有关，但退化深度和退化厚度对其也有一定的影响。余宁峰和杨华超的建议是将神经网络与粒子群优化算法结合，通过改进的混合算法使阈值和神经网络的权值变得更加精确。神经不仅具有处理确定性的能力还具有处理不确定性动态非线性信息的能力，这些能力之所以能存在的原因是因为神经网络具有强容错性、非线性和自适应性等等特点。目前的参数反演方法有很多，例如：空间拟合法、曲线拟合法、特征点法、模向量法和正交试验设计法等等。这些方法有许多的差异，从资源利用率、参数稳定性、和主要误差等方面比较他们的区别之处。通过对比这些方法可得：在参数的精度和稳定性来方面，正交试验法、曲线拟合法和模型向量法的表现都是十分优秀的，但在算机实现方面正交试验法难以实现。因此，相较于正交试验法曲线拟合法和模型向量法是目前最常用的参数拟合方法。由于曲线拟合和模矢量法都是迭代法，而这些方法产生的初值都存在误差。初值不正确会导致参数计算过程发散或陷入局部极小值，因此无法确定正确的参数值。吴侃建议为避免参数故障陷入局部极小值在参数计算中引入稳健估计理论中，并且他认为概率积分过程的参数应当与补贴参数相同。通过稳健参数计算技术得到，与传统方法相比稳健参数计算技术具有较好的稳健性和明显的抗粗差的能力。5.概率方法在数学金融中的应用将概率应用于金融已经彻底改变了一个行业。在过去的20年中，数万亿美元的衍生品证券市场的建立促进了全球资本的流动，从而提高了国际贸易和生产率。如果没有提供可靠的衍生证券定价（例如股票期权）并指导其相关风险管理的数学模型，这些市场就不可能存在。数学上的成功的基本主题是精确计算金融衍生产品的价格，这些价格使公司能够通过购买能够保护其免受不太可能但可能造成灾难性事件影响的金融工具来解雇风险。同样重要的是，对于器械出售者应遵循的食谱描述，以保护自己免受出售中承担的风险。完整的市场是理论上原则上解释如何做到这一点的市场，而在这样的市场中，理论通常为实施此配方提供明确的指导。换句话说，在完整的市场中，已经创建了一种新型的保险，并且通过现有的概率论使得这成为可能。这种“风险保险”引发了上述革命。在完整的市场中，已经创建了一种新型的保险，并且通过现有的概率论使得这成为可能。这种“风险保险”引发了上述革命。在完整的市场中，已经创建了一种新型的保险，并且通过现有的概率论使得这成为可能。由数学金融引起的问题的理论需求一直刺激了概率论的新研究，并且对该主题的兴趣激增。金融带来的新数学挑战包括如何正确地衡量和控制风险（鉴于行业标准中的缺陷，风险价值或简称VaR的缺陷变得越来越明显），如何建模和对冲违约，如何合并市场摩擦，更笼统地说，是如何应对不完整的市场。在市场不完整的情况下，当前的理论几乎完全崩溃了，并且人们正致力于开发一种理论来处理这些情况。就VaR而言，目前使用的方法不稳定且易于操作，并且需要更合适的方法来可靠地衡量风险。当无法完全消除风险时，如何控制投资组合以最大程度地降低其风险尤其令人关注。这表明了一种预测，其中有风险的随机过程被投影到可以控制风险的随机过程的空间上。许多风险度量是规范，但它们与内部产品无关，因此通常的预测思想不适用。需要新的想法。随机数值分析是与数学金融有关的另一个领域。早期的数学金融根据不同的模型产生了明确的公式，而公式对于从业者来说是很重要的。但是随着对更复杂模型的需求的增长，公式化解决方案不再可用，并且答案是通过数值计算的。这引起了人们对随机数值分析及其伴随的仿真问题的兴趣，未来研究的领域之一是设计一种有效的方法来仿真随机过程以及对模型产生的常数进行数值估计。纽约证券交易所每日收益（价格比率的对数）注意尾巴粗大，上下波动之间不对称。许多金融机构相对于其资本而言拥有大量现金流量，它们对极端事件敏感，例如，随机变量分布尾部的性质。极值理论包括对随机变量序列归一化最大值的极限的可能分布的表征，它取代了这种情况下的通常的中心极限定理。当涉及极端事件时，与联合正常随机变量一起使用的相关性不足以衡量依存关系。基于相关性的模型常常低估了联合极端事件的可能性，而金融业的巨大损失表明，这不仅仅是一个学术上的优势。更一般地，对分布和依赖性的理解为主题自规范化过程提供了新的动力。这些过程是通过对它们的随机性的经验观察到的度量来标准化的，类似于金融数据的波动性。这种规范化允许人们在处理数据时存在依赖性。自我归一化领域的一个关键例子是学生的t统计量，该t统计量用于检验假设并基于独立数据构建置信区间。自归一化过程的一般理论自然而然地出现在统计数据的有效估计中。它经常消除了对独立性和瞬间假设的需要。当估计过程的方差时，自归一化过程也会出现在极限问题中。但是，对于较小时间范围的属性的研究仍处于早期阶段。概率和统计在人类活动的每个领域都扮演着至关重要的角色。特别是，它们是在经济和金融领域广泛使用的定量工具。现代概率和统计知识对于经济和金融理论的发展以及通过对现实世界数据进行可靠分析来检验其有效性至关重要。例如，概率和统计数据可以帮助制定有效的货币和财政政策，并为股票，债券，货币和衍生证券等金融资产开发定价模型。在最近的2008年全球金融危机之后，开发稳健的方法进行这种经验分析的重要性变得尤为重要，这场危机使经济和金融理论成为人们关注的焦点。结论通过上文的例子与论述，我们可以得出结论。通过使用概率方法巧妙解决一些复杂问题的关键在于：第一、要理解概率论的知识有一定的了解。第二，求取其他数学问题是要进行仔细的分析。第三、面对不同的问题时，往往要选用不同的方法。第四、解决问题时要充分利用概率中的相关性质与定理。正如理解空间关系推动了几何学和理解运动推动了分析一样，概率是由理解我们的物理和社会宇宙中到处可见的不确定性的愿望所驱动的。概率不仅是一门数学学科也是一种独特的数学思维方式。将基于数论独立性的概率论证的直觉与传统方法进行比较，或者比较观察到的对谐波函数的直观理解，并认为谐波函数是给定边界条件集下狄利克雷问题的唯一解。在概率的发展演化过程中，概率生成许多与其他数学问题相关的工具和技术。组合学和算法分析问题的主要方法就是使用概率方法。概率表示法提供了对各种偏微分方程的新见解，从Navier-Stokes方程的解的存在性和平滑