基于均匀设计的三维打印粉末配方研究

基于均匀设计的三维打印粉末配方研究

3d打印技术是利用精装机的形状，将溶液分配到预定义的粉末层，并将部分粉末连接到粉末层形成截面轮廓。一层粉末成形完成后,再铺上一层粉末,进行下一层粉末的粘接,如此循环直至工件完成,再经过后处理得到成形制件。三维打印成形是目前快速成形行业中最有生命力的技术,它具有设备简单、材料便宜、材料类型广泛、工作过程中无污染、成形速度快等优点,该技术无需激光系统,价格低廉,运行费用很低且可靠性高。三维打印成形的粉末材料类型很广,可以是陶瓷、金属、塑料、石膏或复合材料。石膏粉末具有成形速度快,成形精度和强度好,价格低廉,无毒无污染,适合模型验证等优点,因此系统选择高强石膏粉末为基材,并加入一定量的添加剂。在三维打印成形中,粉末材料的成分和比例对成形的精度、强度以及可靠性有着重要的影响,需要对粉末的配方进行试验研究和优化设计。均匀设计法是中国著名的数学家方开泰教授和王元院士于1978年应用数论而创立的一种新的试验设计法,已在国防、科技、工业、农业等领域有了成效显著的应用。采用均匀理论进行混料的试验设计可以有效地减少试验次数,此外由于粉末中各成分的含量存在一定的限制,因此本文将采用均匀设计理论进行带限制的粉末成分的配方设计。通过对试验数据的多元非线性回归分析,建立粉末成分配方对制件性能的回归方程,建立粉末配方的多目标优化模型,利用MATLAB软件求解出粉末的最优配方,并通过试验进行验证。13d蒙太奇粉末的均匀设计和回归分析1.1多因素试验法均匀设计是一种科学的试验设计方法,它是针对正交设计在多因素、多水平时需要大量试验次数的弊端而发展起来的,属于近30年发展起来的伪蒙特卡罗方法或数论方法的范畴。它能有效地处理多水平、多因素试验,是大幅度减少试验次数的一种优良的试验设计方法。均匀设计的思想在于考虑如何将设计点均匀地散布在试验范围内,从而能使用较少的试验点获得最多的信息。由于三维打印成形粉末材料由多种成分组成,其中各个成分的比例对制件的性能有着重要的影响,确定粉末中各个成分的含量是一个典型的混料设计问题。选择U*11(114)均匀设计表来安排试验,试验次数为11次。此外,由于粉末中的各成分的含量存在一定的限制,需要采用带限制的均匀混料设计来产生这11组合适的配方。1.2粉末材料的均匀设计三维打印快速成形试验使用的材料是以高强石膏为主要成分的复合粉末和与之相匹配的水基粘接溶液。粉末的粒度为200目,其颗粒的平均直径为75μm,能够满足当前精度要求,且不易出现团聚,其中高强石膏粉末的初凝时间小于6min,终凝时间小于30min,绝干抗压强度大于20MPa。水基溶液中蒸馏水的含量大于95%,喷头停滞30min后重新启动无明显堵塞现象。通过大量试验确定,在粉末中需要添加一定量的聚乙烯醇作为粘接剂,少量硬石膏(无水硫酸钙)作为速凝剂,此外,加入少量的白碳黑以提高粉末的流动性,继而提高粉末的铺展特性。其中聚乙烯醇型号为17-88P,易分散于冷水,平均聚合度为1700~1800。白碳黑为AEROSIL公司的气相法二氧化硅,其型号为R972,疏水型,平均粒径为16nm。在对粉末进行带限制的混料均匀设计时,按照粉末中质量百分比的顺序设定变量:石膏:x1;聚乙烯醇:x2;硬石膏:x3;白碳黑:x4。根据混料变量取上、下限的原则以及各种成分对成形制件作用的要求,对4个变量取以下变化区间70≤x1≤100,0≤x2≤25,0≤x3≤5,0≤x4≤1。按照均匀设计表和带限制的混料均匀设计计算步骤得到相应的粉末配方的试验方案。取制件的CAD模型尺寸为10mm×10mm×10mm,一次试验同时成形9个制件。采用自行开发的三维打印成形设备进行了按表1的11组不同粉末材料配方的成形试验。三维打印成形的工作过程为:铺粉装置在工作平面上铺平一层粉末,随着辊子的转动和平动将粉末压实、铺平,然后喷头按先X轴后Y轴方向扫描的顺序成形当前层面轮廓,一层粉末成形完成后,工作平台下降一层,再循环进行上述动作。在试验时,将打印喷头离粉末平面的距离固定,设为1mm,选取层厚为0.1mm;喷射扫描模式为中速,即X方向的扫描速度和Y方向的扫描间距分别为0.6m/s和0.4mm;辊子转速为225r/min。成形完成后,对制件的重量,X、Y、Z这3个方向的尺寸进行测量,并计算出各制件的密度和各个方向尺寸的变形百分比。根据观察和三维尺寸的测量,对制件的表面质量进行综合评价,表面质量和细节分辨率最高的值取1,依次类推。试验结果见表1。1.3回归分析方法的确定由于均匀设计无正交性,所以不能像正交设计那样采用方差分析。粉末材料的配方与制件性能之间是一个多元非线性问题,包含因素的主效应以及因素之间的交互效应。因此,必须采用多元非线性回归分析才能实现对均匀设计试验数据的有效处理。经过理论分析和计算比较,二次多项式加上倒数项和对数项的非线形回归模型可以较好地满足回归和优化的要求,即对于m个因素,回归模型为Y=α0+m∑i=1αiXi+m∑i=1αiiX2i+m∑i＜jαijXiXj+m∑i=1β1Xi+m∑i=1γilnXi+ε(1)Y=α0+∑i=1mαiXi+∑i=1mαiiX2i+∑i＜jmαijXiXj+∑i=1mβ1Xi+∑i=1mγilnXi+ε(1)式中:α0,…,αij,…,αmm,β1,…,βm,γ1,…,γm为回归系数,i,j=1,…,m,ε为随机误差。在确定回归模型之后,必须选择合适的回归分析方法。回归分析一般有强迫引入法、强迫剔除法、前进法、后退法和逐步回归法。根据混料中可能存在多项有交互效应因素的特点,本文选择后退法,其分析过程为:首先让所有的变量进入回归模型,然后逐一删除。在删除过程中,和因变量有最小偏相关系数的变量首先被删除,如此操作直到回归模型中再没有满足删除条件的变量为止。由于粉末存在x1+x2+x3+x4=100的约束,可只分析其中3种成分的含量。在试验中发现硬石膏含量的影响最不突出,因此这里选择石膏,聚乙烯醇和白碳黑的含量作为回归分析的因素。本文采用功能全面的SPSS(statisticalpackageforsocialscience)统计软件包对试验数据进行分析,建立回归方程。在回归方程的显著性检验(F检验)中,选择置信度为95%。采用向后消去法,选用式(1)的回归模型,得到如下回归方程式y1=-317.248+0.147x21+0.436x22+7.855x2x4+37.781/x2-29.891lnx4(2)y1=−317.248+0.147x21+0.436x22+7.855x2x4+37.781/x2−29.891lnx4(2)y2=-65.99+0.009x2121+0.037x2222+5.46x2424(3)y3=2.199-0.004x2222-0.047x2x4+2.927/x2(4)y4=2.57-0.106x2x4+5.402/x2(5)y5=4.623-0.019x2222(6)式中:y1,y2,y3,y4,y5分别表示制件密度,表面评价以及X、Y、Z向尺寸变形量对粉末中各成分含量的函数,x1,x2,x3,x4分别表示粉末中石膏、聚乙烯醇、硬石膏、白碳黑的含量。硬石膏含量x3没有作为变量出现在上述函数中。2粉末组优化几何模型2.1确定制件密度和约束函数回归方程式的建立,不仅为了寻求粉末中各种成分含量与制件性能的关系,而且要通过回归方程预测未知粉末配方的制件性能,并求解最优配方。三维打印快速成形粉末的最优配方是根据实际需要,首先要求制件表面质量好,轮廓清晰,同时保证X、Y、Z向上的尺寸变形量尽可能小,在精度满足要求的基础上还要求制件的强度尽可能高,由于成形制件的强度直接与密度相关,密度越高强度越好,这里可以通过考察制件密度来反映制件强度。为了节约成本,粉末中添加剂的含量应控制在一定范围内。三维打印成形制件的要求有些是相互矛盾的,如密度和表面质量,密度和尺寸变形量等,可以调整的范围较窄。此外针对不同的应用,有着不同的性能设计要求,目标和约束的选择也是灵活可变的。本设计中以制件表面质量最好和3个方向上的尺寸变形量最小作为目标函数,而将对密度的要求转化成约束函数进行处理。三维打印成形粉末配方的优化设计显然是一个多目标优化问题,可以采用评价函数方法来求解。评价函数方法的基本思想是:根据问题的特点和决策者的意图,构造一个能把n个子目标函数转化为一个数值目标函数的参数,即评价函数,然后对评价函数进行最优化。利用评价函数中的线性加权求和法将多目标最优化问题转化为单目标最优化问题,即minF(X)=α1f1(X)+⋯+αnfn(X)(7)minF(X)=α1f1(X)+⋯+αnfn(X)(7)式中:F(X)为多目标评价函数;f1(X),…,fn(X)为子目标函数;α1,…,αn为权系数。权系数的大小表征各目标的相对重要程度,凭经验来确定其大小是非常困难的,而且还缺少依据。可以采用辅助参数法,即根据各目标函数在可行域上的极小值,并引入一个辅助参数c,通过解线性方程组来确定权系数。其具体步骤如下(1)当约束a型,当x.1.2式fj(X*j)=minx∈Dfj(X),j=1,⋯,n(8)式中:D为约束条件;X*j为fj(X)的最优解。若X*1=X*2,…,=X*n,则求得问题的绝对最优解,计算结束。否则转到(2)。(2)子目标函数的建立{n∑i=1αifi(X*j)=cn∑i=1αi=1i,j=1,⋯,n(9)令A=[f1(X*1)⋯f1(X*n)⋮⋱⋮fn(X*1)⋯fn(X*n)],Ι=[1,⋯,1]∈Rn,可解得权向量为α=[α1,⋯,αn]=ΙA-1ΙA-1ΙΤ(10)在本设计中子目标函数分别为表面评价最好和X、Y、Z这3个方向上尺寸变形量最小,为了便于处理,将3个方向上尺寸变形量的平方和的开方作为子目标函数,即子目标函数分别为:f1(x)=y2‚f2(x)=√y23+y24+y25。目标函数为minF(X)=α1f1(X)+α2f2(X)(11)式中:α1,α2为待求的权系数。2.2约束函数的转化约束函数包括等式和不等式约束,粉末配方的等式约束为:x1+x2+x3+x4=100。将对制件密度的要求转化为约束函数,根据实际需求,制件的密度的不等式约束为:y1≥900kg/m3。此外,根据试验和优化计算等多方面因素,粉末成分含量的约束为:69≤x1≤99.5,0.25≤x2≤25,0≤x3≤5,0.25≤x4≤1。3优化结果与实验结果分析由上节粉末配方优化问题的数学模型可知这是一个同时带有等式和不等约束的非线性多目标优化问题。该问题可以借助MATLAB软件优化工具箱中的解有约束非线性问题的工具函数fmincon来辅助求解。即先求解出各个子目标函数在约束条件下的最优解,然后按照公式(10)计算权系数α1,α2,再按照公式(11)编写目标函数的m文件,输入设计变量的初始值x0,利用fmincon求解在约束条件下目标函数FX的最优化解,其调用格式为[x,fval]=fmincon(@fx,x0,,,,,,,@gx)(12)式中:x0,x分别是设计变量的初始值及优化值;@fx和@gx是以字符串形式分别调用目标函数和约束函数的m文件;fval为优化目标函数值。输入的初始数据为x0=[80,17.5,2,0.5],经过计算得到α1=0.5424,α2=0.4576,由权系数得到目标函数,再根据式(12)计算得到最优化结果X=[83.4361,15.7826,0.2783,0.5030],经过圆整,所得到的最优配方为X*=[83.4,15.8,0.3,0.5]。为了检验所得到的最优配方,选用83.4%的石膏,15.8%的聚乙烯醇,0.3%的硬石膏和0.5%的白碳黑粉末充分混合,过200目筛,采用三维打印成形设备按照前述工艺参数进行成形试验。成形完成后,对制件的重量,X、Y、Z向的尺寸进行测量,计算出制件的密度,对制件的表面质量进行综合评价,试验结果如表2所示。由表2可看出优化计算结果和试验值接近,误差范围小于10%,误差的偏差方向一致。这一方面说明回归方程和优化结果比较准确,在试验所涵盖的配方范围内,回归方程是有效的,可作为配方选择的依据;另一方面也说明试验因批次