1.1平面直角坐标系与坐标法

直角坐标系1

.

直线上点的坐标在直线上规定了原点、正方向、单位长度

就构成了数轴。数轴

上的

点

可以

用

唯一的

一

个

实

数

表示2

.

平面直角坐标系上的

有序实数对(x,y表示点第一象限注意：坐标轴上的点不属于任何象限。纵轴第二象限-4

-3

-2原点第三象限-1-1-2-3-4第四象限1

2

3

4

5横轴53X3.空间直角坐标系：以单位正方体

OABC-D'A'B'C'的顶点O为原点，分别以射线OA,OC,OD

'的方向为正方向，以线

段OA,OC,OD

的

长

为

单

位长度，建立三条数轴：x轴，y轴，z轴，这时我们建立了一个空间直角坐标系

O-xy

a点O

叫做坐标原点，x轴、

y轴、z轴叫做坐标轴，

这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，

分别

称为xoy平面、yoz

平面、和

zox平面.4

、

空

间

中

点

的

坐

标对

于

空

间

任

意

一

点M,要

求

它

的

坐

标方

法

一

：

过M

点分别做三个平面分别垂直于×,y,z轴

，

平

面

与

三

个

坐

标

轴

的

交

点

分

别

为P、Q、

R,

在

其相应轴上的坐标依次为x,y,z,

那

么(x,y,z)就叫做点M

的

空间直角坐标，

简称为坐标，记作M(x,y,z),三

个

数值叫做

M

点的横坐标、纵坐标、竖坐标。4、

空

间

中

点

的

坐

标方

法

二

：

过

M

点

作xOy

面的垂线，垂足为

P

点。点

P

在

坐

标

系xOy

中的坐标×、

y

依次是M

点的横坐标、

纵坐标。再过M

点

作Z轴的垂线，垂足

在E

轴上的坐

标

Z就是M

点的坚坐标。M

点

坐

标

为

(x,y,z)三

、

空

间

点

的

坐

标

：设点P

、Q和R在x

轴、y轴和z轴上的坐标分别是x,y和z,这样空间一点M

的坐标可以用有序实

数组(x,y,z)

来表示，(x,y,z)

叫做点M在此

空间直角坐标系中的坐标，记作M(x,y,z)

.其中x叫做点M的横坐标，y

叫做点M的纵坐标，z叫

做

点M

的

竖

坐

标.QM’ZRyX例1:在长方体OABC-D'A'B'C

'中，OA|=3,|OC|=4,OD'|=2,写

出

所

有

点

的

坐

标Z2

|D'(0,0,2)

c(0,4,2)(3,0,2)3r

A(3,0.O)B'(3,4,2)4

yC(0,4,0)o(0,0,0)B(3,4,0)满足某种条件的点的集合或轨迹.(x,y)

f(x,y)=0借

助

坐

标

系

，

用

坐

标

表

示

点

，

用

方

程

表

示

曲

线

，

通

过

研

究

方

程

的

性

质

间

接

地

来

研究曲线的性质，这一研究几何问题的

方法称为坐标法.根据已知条件，求出表示平面曲线的

方程曲线坐标法解析几何两

大基本问题5、

用坐标法研究几何图形的知识形成了一门学科——解析几何.(实质就是“以数论形”)通

过

方

程

，

研

究

平

面

曲

线

的

性

质即：

曲线←—>条

件

方

程要

求

：

曲

线

上

的

点

方

程

的

解把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，

就可以用曲线上点的坐标(x,y)所

满

足

的

方

程

f(x,y)=0来表示曲线

.曲线与方程的关系：O分析例1.设A,B

两点的坐标是(-1,

-1),(3,7),

求线段AB

的垂直平分线的方程.解：设M(x,y)是线段AB的垂直平分线上任意一点，由已知得，M点应该满足条件

IMAl=IMBI由两点间的距离公式，代入M,A,B

的坐标得，√(x+1)²+(y+1)²=√(x-3)²+(y-7)²化简，整理得，x+2y-7=0我们还需要证明这就是线段AB的垂直平分线的方程.证明：(1)由求方程的过程知道，垂直平分线上每一点的坐标都是方程的解.(2)设点M₁的坐标(x₁,y₁)

是方程的解，则

x₁+2y₁-7=0点M₁到A,B的距离分别是=√5(y²-6y,+13)|M₁B|=√(x₁-3)²+(y₁-7)²=√5(y²-6y,+13)所以

|M₁A|=|M₁B由(1),(2)可知，方程是线段AB的垂直平分线的方程.|M₁A|=√(x₁+1)²+(y₁+1)²例2.已知平面上两个定点A,B,IABI=2a,(a>0),

平面上动点M到A,B两点的距离之比为2:1,求动点M的轨迹方程.解：以线段AB所在直线为X

轴，线段AB的中点为原点，建立如图直角坐标系.则

A(-a,O),B(a,O),设动点M的坐标为(x,y),由已知M点应该满足条件：把M,A,B

的坐标代入等式，得化简，整理得：3x²+3y²-10ax+3a²=0课堂小结

求

曲

线

方

程

的一般

步

骤：1.

设

(

建

系

设

点

)

:

建

立

适

当

的

坐

标

系

，

用

M(x,y)

表示曲线上任意一点M;2.

写

(写等量关系)

写出满足条件的点M

的集合：{M|P(M)};3.代

(列方程):

将M

点坐标

(x,y)

代入几何条

件，

列出方程

f(x,y)=0;4.化

(化

简

方

程)

:化方程为最简形式；5.

证(以方程的解为坐标的点都是曲线上的点):验证化简过的方程所表示的曲线是否是已知点的轨迹。上述五个步骤可简记为：建系设点；写出条件；代入坐标；化简方程；证明结论.例

3

、

点M

与

两

条

互

相

垂

直

的

直

线

的

距

离

的

积是

常

数

k(k>0),求

点M

轨

迹

方

程

.解：

以已知的两条垂直直线为坐标系，

建立直角坐标系.

设点M(x,y)是满足题设条件的轨迹上的任意一点，则P={MIIMRI

IMQl=k

},

其中Q,R分别是点M到x

轴

，y轴的垂线的垂足k

lxl

lyl=k

即

x课堂小结建立坐标系的

一

般规律：1.两条垂直的直线以该二直线为坐标轴.2.对称图形以对称图形的对称轴为坐标轴.3.已知长度的线段以线段所在直线为对称轴，端点或中点为原点.课堂小结关于化简方程在

求

轨

迹

方

程的问

题

中

，

如

果

化

简

方

程过

程

是同

解

变

形

.

则由

此

所

得

的

最

简

方

程

就

是所求曲线的方程，

可以省略“证明”;如

果

化

简

过

程

不

是同

解

变

形，

所

求

得

的

方

程

就

不

一

定

是

所

求曲

线的

方

程

.

此

时

，应该通过限制x,y

的取值范围来去掉增根，使得化简前后的方程同解.例4:已知△ABC的三边a,b,c

满足b²+c²=5a²,BE,CFCF的位置关系.解：

建立直角坐标系.由已知，A(0,0),B(c,O),

,0)设

点C(x,y),

则

点E的坐标为从而，

2

2由

b²+c²=5a²,可

得

到

：|AC|2+|AB|²=5|BC|2即：

x²+y²+c²=5[(x-c)²+y²],整理得：2y²=(2x-c)(2c-x)所

以

：kpEkcr=-1因此，

BE与CF互相垂直.分别为边AC,AB的中线，建立适当的坐标系探究BE与此时各点得坐标又是如何表示?此时各点得坐标又是如何表示?还可以怎样建立坐标系?建系一般规律：1.有两条垂直的直线，以该二直线为坐标轴.2.有对称图形，以对称轴为坐标轴.3.有定长线段，以线段所在直线为坐标轴，端点或中点为原点.β艮动点满足的限制条件(等量关系)设设出动点坐标为(x,y)归

纳：求曲线方程的一般步骤评检验所

得方程

是否符

合题意把

坐

标

代

化

简

得

入等式

到

方

程建

立

直

角

坐标系建弋课堂练习11.

到F(2,O

)和Y轴的距离相等的动

点

的

轨

迹

方

程是：

_简解：设动点为(x,y),

则由√(x-2)²+y²=1xl平方，

化简得：

y²=4(x-1)课堂练习12.三角形ABC中，若B(-2,0),C(2,0),

中

线AD的长为3,则A

点的

轨

迹

方

程

是

：

则

D(0,0),

所

以简

解

：设

A(x,y),即

x²+y²=9(y≠0)课堂练习2·1.已知定点A(0,-1),动点P

在曲线y=2x²+1

上移动，则线段AP的中点的轨迹方程是：y=4x2·

2.已知三角形三顶点坐标为A(-3,0),B(3,0

)

,C(0,2),

则三角形的AB边中线的方程是：3.已知M(1,0),N(-1,O),若

kpy·kpx=-1

则动点p

的轨迹方程为：x²+y²=1(x≠±1)·

x=0(O≤y≤2)课堂练习31、

已

知

平

面

上

两

个

定

点A

、B之

间

的

距

离为

2a,

点

M

到

A、B

两

点

的

距

离

之

比

为

2

:

1

,

求

动

点M

的