9.2 双因素方差分析

概率论

与数理统计理学院数学系“悟道诗---严加安”随机非随意，概率破玄机；无序隐有序，统计解迷离．第九章方差分析第二节双因素方差分析二、单因素方差分析的数学模型四、小结一、单因素方差分析的基本原理三、统计分析如果在例9.1.1中,不只考虑家庭因素对成年孩子身高的影响,还考虑地域因素的影响,这就是一个双因素方差分析.一、双因素方差分析的基本原理如果和对的影响是相互独立的，此时的双因素方差分析称为无交互作用的双因素方差分析；

如果除了和对试验结果的单独影响外，因素

和因素的搭配还会对产生一种新的影响，这时的双因素方差分析称为有交互作用的双因素方差分析．假设试验指标同时受到因素和的影响，对于无交互作用的双因素方差分析一、单因素方差分析的基本原理样本观测值—总均值

=因素的效应+因素的效应+随机误差一、双因素方差分析的基本原理无交互作用的双因素方差分析就是将样本数据的总离差平方和分解为三部分：系统因素所造成的离差平方和，系统因素所造成的离差平方和，以及随机因素所造成的离差平方和，然后根据这三个平方和构造检验统计量，推导统计量所服从的分布，最后确定检验的拒绝域．对于有交互作用的双因素方差分析一、双因素方差分析的基本原理样本观测值—总均值=

的效应+的效应+的交互作用+随机误差一、双因素方差分析的基本原理有交互作用的双因素方差分析就是将样本数据的总离差平方和分解为四部分：系统因素所造成的离差平方和，系统因素所造成的离差平方和，

的交互作用所造成的离差平方和，以及随机因素所造成的离差平方和，然后根据这四个平方和构造检验统计量，推导统计量所服从的分布，最后确定检验的拒绝域．二、双因素方差分析的数学模型设因素有个不同的水平，因素有

个不同的水平,每种水平组合

下的试验结果看作是取自正态总体的一个样本，各水平组合与总体分布如下二、单因素方差分析的数学模型二、单因素方差分析的数学模型令则表示因素的第个水平的效应，表示因素的第个水平的效应，它们满足二、单因素方差分析的数学模型1.无交互作用的双因素方差分析模型若，即每种水平组合下的总体均值可看作是总平均与各因素水平效应

的简单迭加，此时不考虑的交互作用．为简单起见，假设每种水平组合下只做一次独立试验（无重复试验），结果记为，试验误差为，则无交互作用的双因素方差分析模型为二、单因素方差分析的数学模型1.无交互作用的双因素方差分析模型二、单因素方差分析的数学模型

2.有交互作用的双因素方差分析模型若，记

其中表示和对试验结果的某种联合影响，称为和的交互作用的效应，简称交互效应，它们满足为简单起见，假设在每种水平组合下均做次试验（等重复试验），并假设所有的试验是相互独立的，所得试验结果记为每次试验误差记为，则有交互作用的双因素方差分析模型为二、单因素方差分析的数学模型

2.有交互作用的双因素方差分析模型为研究交互作用的影响是否显著，在两因素的各种水平组合下需要做重复试验．二、单因素方差分析的数学模型

2.有交互作用的双因素方差分析模型(9.15)二、单因素方差分析的数学模型

2.有交互作用的双因素方差分析模型注9.2.1对于双因素方差分析，若不考虑交互作用，在因素A,B的每种水平组合下只需做一次试验，即可进行后续的统计分析，当然也可以做重复试验．若考虑交互作用，在各水平组合下需要做重复试验，才可进行后续的统计分析．三、统计分析1．无交互作用的双因素方差分析检验因素对试验指标的影响是否显著，等价于检验假设

原假设成立表示因素对试验指标无显著影响．类似地，检验因素对试验指标的影响是否显著，等价于检验假设

原假设成立表示因素对试验指标无显著影响.(1)平方和分解三、统计分析1．无交互作用的双因素方差分析假设每种水平组合下只做一次独立试验，试验结果如下(1)平方和分解三、统计分析1．无交互作用的双因素方差分析其中(1)平方和分解三、统计分析1．无交互作用的双因素方差分析由式(9.14)可知

用作为的估计，作为的估计，作为的估计，则有(1)平方和分解三、统计分析1．无交互作用的双因素方差分析记为样本数据的总离差平方和，即

将分解如下：(1)平方和分解三、统计分析1．无交互作用的双因素方差分析可以证明，在上述平方和分解式中，所有交叉乘积的和项均为0．为因素所造成的离差平方和;为因素所造成的离差平方和;为随机因素所造成的离差平方和.(1)平方和分解三、统计分析1．无交互作用的双因素方差分析定理9.2.1在以上记号下，对于模型(9.14)，有以下结论成立：·，且、和相互独立；·成立时，；·成立时，；·和都成立时，．(2)检验的统计量和拒绝域三、统计分析1．无交互作用的双因素方差分析构造检验统计量其中(2)检验的统计量和拒绝域三、统计分析1．无交互作用的双因素方差分析由定理9.2.1，在原假设和分别成立时，有对于给定的显著性水平，和对应的拒绝域分别为(3)无交互作用的双因素方差分析表三、统计分析1．无交互作用的双因素方差分析三、统计分析1．无交互作用的双因素方差分析当时，应拒绝原假设

，认为因素对试验指标有显著影响．(3)无交互作用的双因素方差分析表当时，应拒绝原假设

，认为因素对试验指标有显著影响．表中临界值可以分别替换为检验的值，其定义为

对于给定的显著性水平，当时，应拒绝原假设；当时，应拒绝原假设．三、统计分析1．无交互作用的双因素方差分析例9.2.1某饮料生产企业研制出一种新型饮料．饮料的颜色共有四种，分别为橘黄色、粉色、绿色和无色透明．随机从五家超市收集了前一时期该饮料的销售量数据，见下表假设在超市和颜色的各种搭配下，销售量总体服从同方差的正态分布．试分析超市和饮料的颜色对饮料的销售量是否有显著影响．（取显著性水平）颜色B超市A橘黄色粉色绿色无色126.531.227.930.8228.728.325.129.6325.130.828.532.4429.127.924.231.7527.229.626.532.8三、统计分析1．无交互作用的双因素方差分析解:计算各行、各列的样本均值及总均值得于是、、和的自由度分别为4、3、12和19，从而可得各均方分别为三、统计分析1．无交互作用的双因素方差分析计算得于是可得双因素方差分析表三、统计分析1．无交互作用的双因素方差分析由方差分析表可知，

,故认为超市对饮料的销售量无显著影响，而饮料的颜色对饮料的销售量有显著影响．三、统计分析2.有交互作用的双因素方差分析对于有交互作用的双因素方差分析，除了要检验无交互作用的双因素方差分析中的假设外，还要检验假设原假设成立表示因素和的交互作用对试验指标无显著影响．三、统计分析2.有交互作用的双因素方差分析(1)平方和分解假设在每种水平组合下均做次试验，并假设所有的试验是相互独立的，试验结果如下三、统计分析2.有交互作用的双因素方差分析(1)平方和分解其中三、统计分析2.有交互作用的双因素方差分析(1)平方和分解由其中三、统计分析2.有交互作用的双因素方差分析(1)平方和分解用作为的估计，作为的估计，作为的估计，作为的估计，则有记为样本数据的总离差平方和，即三、统计分析2.有交互作用的双因素方差分析(1)平方和分解可以证明，上式中所有交叉乘积的和项均为0．三、统计分析2.有交互作用的双因素方差分析(1)平方和分解其中为因素所造成的离差平方和，为因素所造成的离差平方和，为因素的交互作用所造成的离差平方和，为随机因素所造成的离差平方和．三、统计分析2.有交互作用的双因素方差分析(1)平方和分解定理9.2.2在以上记号下，对于模型(9.15)，有以下结论成立．·，且、、和相互独立；·成立时，；·、和都成立时，．·成立时，；·成立时，；(2)检验的统计量和拒绝域三、统计分析2.有交互作用的双因素方差分析构造检验统计量其中(2)检验的统计量和拒绝域三、统计分析2.有交互作用的双因素方差分析由定理9.2.2，在原假设、和分别成立时，有对于给定的显著性水平，、和对应的拒绝域分别为(3)有交互作用的双因素方差分析表三、统计分析2.有交互作用的双因素方差分析三、统计分析2.有交互作用的双因素方差分析当时，应拒绝原假设，认为因素对试验指标有显著影响．(3)无交互作用的双因素方差分析表当时，应拒绝原假设，认为因素对试验指标有显著影响．当时，应拒绝原假设，认为因素的交互作用对试验指标有显著影响．三、统计分析2.有交互作用的双因素方差分析(3)无交互作用的双因素方差分析表表中临界值可以分别替换为检验的值，其定义为

对于给定的显著性水平，当时，应拒绝原假设；当时，应拒绝原假设；当

时，应拒绝原假设．三、统计分析2．有交互作用的双因素方差分析例9.2.2考察合成纤维中对纤维弹性有影响的两个因素：收缩率和总拉伸倍数，它们各取4种水平，在各水平组合下均做2次试验，试验结果如表中所列假设在各水平组合下，纤维弹性总体服从同方差的正态分布．试分析收缩率、总拉伸倍数及其交互作用分别对纤维弹性有无显著影响.(取显著性水平）

总拉伸倍数B收缩率AB