固体物理胡安课后答案

伊犁师范学院物理科学与技术学院2011届物理专业毕业生论文PAGEPAGE44第一章晶体的结构及其对称性1.1石墨层中的碳原子排列成如图所示的六角网状结构，试问它是简单还是复式格子。为什么？作出这一结构所对应的两维点阵和初基元胞。解：石墨层中原子排成的六角网状结构是复式格子。因为如图点A和点B的格点在晶格结构中所处的地位不同，并不完全等价，平移A→B,平移后晶格结构不能完全复原所以是复式格子。1.2在正交直角坐标系中，若矢量，QUOTERl=l1i+l2j+l3k，，为单位向量。QUOTELii=1,2,3（a）当为全奇或全偶时；（b）当之和为偶数时。解：QUOTERl=l1a1+当为全奇或全偶时为面心立方结构点阵，当QUOTEl1+l2+l31.3在上题中若QUOTEl1+l2+l3=奇数位上有负离子，QUOTEl1+l2+解：是离子晶体，属于氯化钠结构。1.4（a）分别证明，面心立方（fcc）和体心立方（bcc）点阵的惯用初基元胞三基矢间夹角相等，对fcc为60○°，对bcc为109（b）在金刚石结构中，作任意原子与其四个最近邻原子的连线。证明任意两条线之间夹角θ均为解:（1）对于面心立方QUOTEa1=a2(j+k)（2）对于体心立方（3）对于金刚石晶胞<1.5证明：在六角晶系中密勒指数为（h,k,l）的晶面族间距为QUOTEd=43h2+hk+k2证明:元胞基矢的体积QUOTEb=-acos60°i+cos30°QUOTE=-12ai+3倒格子基矢倒格矢：晶面间距QUOTEa*2=43(2aπ)2QUOTEb*2=43QUOTEa*．b*=23(2πa)2QUOTEb*1.6证明：底心正交的倒点阵仍为底心正交的。证明：简单六角点阵的第一布里渊区是一个六角正棱柱体底心正交点阵的惯用晶胞如图：QUOTEa1=ax初级晶胞体积:QUOTErc=abc2倒易点阵的基矢：QUOTEb1=2πrQUOTEb2=2πrca3×a1=4πb这组基矢确定的面是正交底心点阵1.7证明：正点阵是其本身的倒易点阵的倒格子。证明：倒易点阵初级元胞的体积:是初基元胞的体积QUOTErc=b1．QUOTEb1=2πrca2×a3QUOTEb2=2πrc而QUOTErc=a1．由于而QUOTEQUOTEQUOTE或:现在证明：又令又：QUOTEb1．b2×bQUOTEc1=2π3rca1rc2π3=a1QUOTEc3=2πb1.8从二维平面点阵作图说明点阵不可能有七重旋转对称轴。解：QUOTEm=0,θ=π2,3π2m=1,θ=1.9试解释为什么：（a）四角（四方）晶系中没有底心四角和面心四角点阵。（b）立方晶系中没有底心立方点阵。（c）六角晶中只有简单六角点阵。解：（a）因为四方晶系加底心，会失去4次轴。（b）因为立方晶系加底心，将失去四条3次轴。（c）六角晶系加底心会失去6次轴。1.10证明：在氯化钠型离子晶体中晶面族（h,k,l）的衍射强度为QUOTEIhkl∝fA+f其中QUOTEfA、QUOTEfB分别为正负离子的散射因子。如何用此结果说明KCL晶体中h,k,l均为奇数的衍射消失？证明：Nacl初基原胞中有QUOTENa+和QUOTECl-两种离子。A、B分别代表Na+和Cl-因此几何结构因子：射强度：QUOTEI∝F(h1h2h3)2,对于QUOTEh1+h2+h31.11试讨论金刚石结构晶体的消光法则。解：金刚石结构中，金刚石单胞有8个碳原子，坐标为：几何结构因子QUOTEFhkl=fje2iπ(∝衍射强度不为零：（1）nhnknl都为基数。（2）nhnknl都为偶数（包括零）,且QUOTE12（nh+nk+nl）也为偶数。如不满足以上条件，则这些面的衍射消失，例如金刚石不可能找到（3，2，1）或（2，2，1）的一级衍射斑，也不可能有（4，4，2）这样的二级衍射斑点。1.12证明：在倒易空间中，当k落于一倒格矢kn垂直平分面上时，发生布拉格反射。证明：当波矢满足QUOTEk+kn2=k2时有QUOTEkn．∴令QUOTEK'=k+kn∴QUOTEK'刚好是QUOTEkn中垂直面的反射波。又∵,由图知：QUOTEkn2=ksinθ=(其中QUOTEkn'=mkn)1.13试证明：具有四面体对称性的晶体，其介电常数为一标量介电常量：证明：由QUOTEε=ε11ε12ε13各物理量在新旧坐标中：(由于对称操作QUOTED'=εE')QUOTEAx是绕X(a)轴转动QUOTE90°是一个对称的操作QUOTEAy是绕Y(b)轴转动QUOTE90°也是一个对称操作将Ax代入再将Ax和ε代入1.14若AB3的立方结构如图所示，设A原子的散射因子为fA，B原子的散射因子为fB（a）求其几何结构因子（b）找出（h,k,l）晶面族的X光衍射强度分别在什么情况下有(c)设，问衍射面指数中哪些反射消失？试举出五种最简单的。解：AB3结构中，单胞中含有3个B原子，1QUOTEFhkl=fje-2πi(h取QUOTEA(0,0,0)QUOTEB(12,12,0)QUOTE(12,0,12)QUOTE(0,12∴QUOTEFhkl=fA+当h+k与h+l，k+l均为偶数时QUOTEFhkl=fA+3当h+k，h+l，k+l其中两个为奇数，一个为偶数时当QUOTEfA=fB（1，1，0）（1，0，1）衍射面指数的消光。1.15在某立方晶系的铜KαX射线粉末相中，观察到的衍射角（a）试确定对应于这些衍射角的晶面的衍射面指数；（b）问该立方晶体是简立方、面立方还是体心立方？解：QUOTEdhkl=ah2+k2+l2又QUOTE2d∝QUOTE3:4:8:∴hkl=(1,1,1)(2,0,0)(2,2,0)……∴该立方晶体是面心立方.第二章晶体的结合2.1导出NaCl型离子晶体中排斥势指数的下列关系式：(SI单位)其中k为体变模量，设已知NaC晶体的，求NaCl的n=?解：NaCl晶体排斥势指数的关系，设晶体有N个元胞。则晶体的内能：其中：，对于NaCl结构，（为元胞的体积）∴∴在为平衡位置处：由∴（如取SI）对于NaCl、CsCl、ZnS结构1.747、1.762、1.638∴可求2.2带±e电荷的两种离子相间排成一维晶格，设N为元胞数，B/R0n为排斥势，（a）马德隆常数QUOTEα=2ln2；（b）结合能QUOTEU(R)=2Ne2ln24πε0（c）当压缩晶格时，R→R0(1-δ),且δ≪1，则需做功12Cδ解：（a）一维原子链，正负离子的距离为a，相距为rij(R为邻近间距总离子间的相互作用势能)为离子晶格的马德隆常数令∴(b)利用平衡条件∴∴(c)由于外力做的功等于晶体内能的增量，外力做功的主项将代入：晶体被压缩单位长度的过程中，外力做功的主项：设时外力为Fe，外力与晶体(格)的形变成正比.，，α为比例函数.此即为离子链被压缩QUOTE2NR0δe的过程中外力做功。QUOTEWe=C2δe2NR0δ2.3量子固体在量子固体中，起主导作用的排斥能是原子的零点能，考虑晶态He4（a）试求每个粒子的零点振动能；（b）推导维持该线不发生膨胀所需力的表达式；（c）在平衡时，动能所引致的膨胀倾向被范德瓦尔斯相互作用所平衡，非常粗略的给出最近邻间的范德瓦尔斯能为U(L)=-1.6L-6解：(a)根据量子力学，限制在L线段内的自由He4原子的波函数有形式又的波函数为基态波函数，所以基态波函数QUOTEψ0=AeiπLx，每个原子的零点动能也就是基态平均动能.(b)因零点动能会引起线段的膨胀，为了保持长度为L的线段结构，必须增加力有范德瓦尔斯相互作用时，体系总能量U（L）是范德瓦尔斯能：(c)平衡时：QUOTE(dvdL)L0=0=ℏ24mL03+1.6×6L07×第三章晶格动力学和晶体的热学性质3.1在同类原子组成的一位点阵中，若假设每个原子所受的作用力左右不同，其力常数如下图所示相间变化，且QUOTEβ1>β2.试证明：在这样的系统中，格波仍存在着声频支和光频支，其格波频率为QUOTEω2=β1+解：用QUOTEvs和QUOTErs分别表示第S个初基原胞中两个原子相对平衡位置的位移.QUOTE∴QUOTEMvs=-β1vs-rs令QUOTEvs=vei(ska-ωt)QUOTErs=rei(ska-ωt)QUOTE∴Mω2-β1QUOTE[Mω2-β1QUOTEω2=β1+3.2具有两维立方点阵的某简单晶格，设原子的质量为M，晶格常数为a，最近邻原子间相互作用的恢复力常数为c，假定原子垂直于点阵平面作横振动，试证明：此二维系统的格波色散关系为解：只考虑最近邻作用第（l，m）个原子受四个原子的作用.QUOTEl+1,m:cvl+1,m-vl,m,QUOTEl-1,m:c(vQUOTEl,m+1:cvl,m+1-vl,m,QUOTEl,m-1:c(v∴运动方程：QUOTEmd2vlmd设QUOTEvlm=v0exp⁡[i∴QUOTEω2=-c(eik3.3求：（a）一维单原子点阵振动的声子谱密度QUOTEρ(ω)，并作图；（b）一维双原子点阵振动的声子谱密度QUOTEρ(ω)，并作图.解：一维单原子链：QUOTEω=2βMsin(12qa)（有个3n色散关系）一维单原子链QUOTEρω=L2π∙2一维双原子链:QUOTEω±2=βm+MmMQUOTE∴ρω=L2π∙2{1/dω+dq+1/dω-dq}QUOTEρω=V4π2A式中A,N为晶体的原胞数.解：第支QUOTEα支格波的模式密度QUOTE其中QUOTEα为第QUOTEα支格波的等频面.又因为在q=0附近QUOTEωq=ω0-∴等频面是一个球面.又QUOTE∇qω=-A2q=2Aq∴QUOTEvc2π3sα3.5使用德拜近似讨论同类原子所组成的下列系统的低温比热容为（a）在一维系统中；（b）在二维系统中；解：对于一维简单格子，按德拜模型：QUOTEω=qvdω范围内包含QUOTEdL=2dqL2π=dqLπQUOTE0ω0D(ω)dω=N=LaQUOTE∴ω0=πavQUOTECr=0ω0在高温时：QUOTEx→0QUOTE∴exx2(ex-1)2≈1∴QUOTECr=LakB低温时QUOTE®D/T→∞QUOTEexx2(ex-1)2QUOTE0∞exxdx(ex-1)2=n=1∞n对于二维简单格子：QUOTEρω=S(2π)2QUOTEω=vq，所以格波等频（能）线为圆.QUOTEρω=S(2π)2∙二维介质有两支格波,一支声学波,一支光学波.QUOTEDω=ρω=Sωπvp2QUOTEE=0ωmρωℏωdωQUOTE0ωmρωdω=2N=0ωQUOTECr=Sπvp2QUOTE=Sπvp2(kBTℏ)2当温度较高时：QUOTEex≈1+xQUOTECr=SkBπv当温度较低时：QUOTE0∞exx3∴QUOTECr=AT2QUOTEA=6Ϛ(3)SkB3πvp23.6设某特殊二维系统声子频率QUOTEωk=Aq32（a）平均振动能量正比于QUOTET73；（b）声子比热容及熵正比于.解：3.7题中∝对于二维系统∴∝同理熵：S∝∴∝3.7设d维简单晶格中，频率ω与成正比，试证明（a）简正模（声子谱）密度QUOTEρω=Bωdμ-1（b）比热容QUOTECr=CTdμ.B、C为常数.解：QUOTEω=quQUOTEdωdqQUOTEρ(ω)∝SddSddω/dqQUOTESd为d维空间等频球面.∴QUOTEρ(ω)∝qd-1qu-1∝qd-u∴QUOTEρ(ω)∝ω令当时这时故在低温时3.8求在一维单原子链中，QUOTEω>ωM（截止频率）格波的阻尼系数QUOTEα与QUOTEω的关系.解：单原子链：QUOTEun=Aei[qna-ω(q)t]q∈1BzQUOTEωq=2βMsin12qaω当时QUOTEsin12qa>1，q必定为复数，令QUOTEωωm=sin1QUOTE12q1a=h±12πQUOTEq1=将带入QUOTEq1=πa+i2aQUOTEα=2arcshωωm为指数衰减因子.3.9Grüneisen常量.（a）证明频率为ω的声子模的自由能为；（b）如果Δ是体积的相对变化，则晶体的自由能可以写为其中B为体积的弹性模量，假定与体积关系为QUOTEdωqωq=-γΔ，QUOTEγ为Grüneisen常量，如果认为γ与模q无关，证明，当时，F对Δ为极小，并证明利用热能密度，可将它写为；（c）根据Debye证明：.其中(kB为波尔兹曼常量).解：考虑频率为ω的声子模，配分函数为自由能：QUOTElnz=kBTln晶体的自由能为：若晶体体积改变为QUOTEδr则QUOTEFr+δr,T=Er+δr+k为体弹性模量.∴QUOTEF∆,T=12B其中QUOTEγk=-rωk∂ωk假定与k无关∴QUOTEB=-ℏ2kcoth⁡(ℏωk∴QUOTE∆B=γk12ℏω平均热能：假定与T无关由物态方程QUOTEP=-(∂E∂r)T利用Deby近似，将第二项化为：令,,上式化为：∴平均热能：QUOTEP=-dEdr+γU(T)r取时为正值（Grüneisen常量）3.10科恩（Kohn）反常.假定作用在l平面上总的力为方程其中晶面间的力常量为QUOTECp=Asink0式中A和为常数QUOTEk0为常数，p取遍所有整数.在金属中可能有这种形式.利用此式和晶格振动方程证明其色散关系为QUOTEω2q=2Mp>0Cp(1-cosqpa).计算的表达式.证明当时，为无穷大，并讨论QUOTEω2(q)解：若力常数为代入QUOTEmus=pCp令：QUOTEus=Aei(qna-ωt)得：QUOTE∂ω2∂k2=当时右边发散即：说明声子色散关系或曲线在处斜率出现了垂直的正切变化，也就是声子色散关系在曲线QUOTEk0处有曲折（kink）此即Kohn反常3.11软声子模.设有等质量而电荷交替变号的一维离子链，第l个离子的电荷为QUOTEe=e∙(-1)l.原子间的势为两种贡献之和：（1）最近邻离子间的短程弹性相互作用，力常量为C1e=β，以及（2）所有离子间的库伦相互作用.证明库伦相互作用对原子的力常量的贡献为QUOTEC1e=2(-1)le2l3a由晶格振动方程推导下列一般的声子色散关系：证明：色散关系可写为式中，而证明在布里渊区边界处，若QUOTEσ>0.475或时，则是负的（不稳定模），这里是Riemann-Zeta函数.进而证明，如果QUOTEσ>2ln2-1=0.721，则对于小的qa声速为虚数.所以若QUOTE0.475<σ<0.721，对于在QUOTE(0-π）区间内的某个qa，变为零，因而晶格不稳定.注意，声子谱不是双原子晶格型的，因为任一离子与其近邻的相互作用与其他离子相同.解：软声子模设离子链沿水平方向，第n个离子右端的第n+p个离子与第n个离子间的库伦力QUOTEfn+p,n=-(-1)n+p(-1)ne2[pa+un+p-un]2QUOTEfn+p,n≈-(-1)pe2第n个离子左端的第n-p个离子与第n个离子间的库伦力QUOTEfn-p,n=(-1)n-p(-1)nQUOTEfn-p,n≈(-1)pe2QUOTEfn±p,n≈2-1pe∴库伦力时常数贡献QUOTE2-1pe2p第n个离子的运动方程：QUOTEun+p=Aein+pqa-ωt]QUOTEun=AeQUOTE∴ω2=βm2-eiqa-e-iqaQUOTE=4βm[sin2qa2+e2βa3p=1∞-1p1-cosqpap-3]QUOTEωω0=sin2qa有QUOTEω2ω0=1-2σ1+133+153+173+…QUOTEω2ω02=1-7ϛ(3)4σ时（软模）第四章能带论4.1一维周期场中电子的波函数ψk（a）（b）（c）f是某确定的函数，试求电子在这些态的波矢.解：由QUOTEψ(r+Rn)=在一维周期场：QUOTEΨkx+a=icos[3π∴QUOTEeika=-1QUOTEk=±πa,±3πa,±5πQUOTEeika=-1∴QUOTEk=±πa,±3πa,±5πQUOTEΨkx+a=l=-∞∞f(x+a-la)lQUOTEΨkx+a=l'QUOTEeika=1∴QUOTEk=0,±2πa,±4πa,±6πa…在布里渊区内QUOTEk=04.2试证明，在δ函数组成的以为周期势场QUOTE=i=-∞+∞δ(x-la)中，单电子能量由下列Kronig—Penney关系决定：QUOTEcoska=maAℏ2sinαaαa+cosαa，QUOTEα2=2mEℏ2；并用结果说明每一能带曲线均满足当证明：在I区域中：QUOTE(-b<x<a)QUOTEψx=Aeikx其中QUOTEk=2mEℏ，QUOTEk'=2m(E-r0)/h在QUOTEx=0处波函数连续且QUOTEψ，连续得：QUOTEA+B=C+DQUOTEkk'(A-B)=C-DQUOTED=12[1-kk'在区域=2\*ROMANIIQUOTEψ(X)=eika+bψ(x-a-b)QUOTE(a<X<2a+b,-b<x-a-b<a)按Flogue定理在区域=1\*ROMANI和=2\*ROMANII的交界处QUOTE（x=a)，QUOTEψ及QUOTEψ'必须连续得：QUOTEAeika+Be-ika=eika+bψ-b代入C，D得：方程有解条件为行列式为零化简得：QUOTEcoskacosk'b-(∴只有当QUOTEcoskacosk'b-k2对于QUOTEE<r0只需把QUOTEk'→ik又QUOTEcosikb=chkbQUOTEsinikb=ishkb当QUOTEb→0QUOTEr0→∞令QUOTEb0r0=γ(常数)QUOTEr(x)=γn=-∞∞δ(x+ηa)QUOTEγ=br0=Ωℏ2即：QUOTEmr0ℏ2=QUOTEγ为常数QUOTEb→0QUOTE（r0→∞）QUOTEchkb→0QUOTEshkb→kb而QUOTEk2≪2mr04.3电子在周期场中的势能且QUOTE=4b，ω是常数.试画出此势能曲线，并求此势能的平均值.4.4用近自由电子模型处理上题，求此晶体第一及第二禁带宽度.解：自由电子模型，某带宽度QUOTErn=1a-QUOTEEg1=2r1QUOTE=214b-a2QUOTE=214b-bbmQUOTEVr=Vx，y=-4UcosQUOTEVr按倒格矢展开的傅里叶系数QUOTEV(kh)；对近自由电子而言，在哪些布里渊区界线上有Bragg反射？并写出相应的能隙.解：由得QUOTE2V1=2U∴能隙为QUOTE2V1=2U此即布里渊区顶角处能隙.所求倒格基矢最近邻次近邻电子波函数QUOTEkh=b1+b2QUOTEψ0kxQUOTE<k'γ'k>=vn(k=k')QUOTE<k以Ij表示单位矢量，QUOTEb1b2表示倒格矢,QUOTEG=G1b1+GQUOTEg1,g1为整数.晶体势能其中QUOTEUx,y=-4Ucos(2πa而其他势能缚氏系数QUOTEUG1,0=UG这样基本方程:QUOTE(λk-ε)Ck+GUGQUOTE+UG1,1Ck-G1,1=0求布里渊区角顶QUOTE(πa,πa)QUOTEφ=Ckeikr+C(k-G)ei(k-G)r当QUOTEk=-12G(1,1)时依次有QUOTEk-G1,1=-12G(1,1)QUOTEk-G(1,1)=12G(1,1)而其它的QUOTEk-G(1,1)>因为QUOTEλ12G1,1=由行列式：QUOTE(λ-ε)2-U2=0QUOTEε=λ±U=ℏ2π24.8平面正六角形晶格（如图）六角形两个对边的间距是a，基矢为QUOTEa1=12ai+32aj试画出此晶体的第一、二、三布里渊区.解：取单位矢量垂直QUOTEa1,a2a3=kQUOTEΩ=a1∙aQUOTEb1=2πa2QUOTEb2=2πa3QUOTEb3=2πa1在QUOTEb1、b2、平面内选一倒格点为原点，原点最近邻倒格矢有6个正六边形为第一布里渊区.4.9用紧束缚方法导出体心立方晶体s态电子的能带:QUOTEE(k)=Es-试画出沿方向QUOTE(ky=kz=0),和QUOTEv(kx的曲线.解:紧束缚s态电子能带QUOTEEs=Esat-用紧束缚方法，只计其最近邻格点作用时QUOTEEs(k)=Esat-取参考点的坐标QUOTE(±a2,±a2,±QUOTEEs(k)=Esat-Cs-Jsnei在第一布里渊区边界：QUOTEkx=ky=QUOTEEs=E0-8JQUOTEkx=ky=kz=0最小值为QUOTE∴kx=QUOTEmxx*=ℏ2∂在边界QUOTE(±2πa,0,0)是能带顶QUOTEmxx*=myy*其它交叉项的倒数也会为零。4.10用紧束缚方法导出面心立方晶体s态电子能带：QUOTEEk=Es-并求能带底部的有效质量.解：由QUOTEEsk=Esat-C以为坐标原点有12个最近邻：QUOTE(0,±a2,±a2能带底即最小值QUOTEmxx*=ℏ2∂2E4.11设一维晶体晶格常数为a，系统的哈密顿量QUOTEH=-ℏ22md2QUOTEVx=-lAδ(x-la)，若已知孤立原子的势和波函数为试用紧束缚近似求s态电子的能带公式；（b）能带宽度；（c）带底有效质量.解：由QUOTEvx=-n=1NAδ(x-na)QUOTEδ(x-na)为δ，孤立原子中s态电子的波函数QUOTEφsatx-na=αQUOTEEsk=Esat-CQUOTECs=-Naφsat*取等号格点，则QUOTECs=-Naφ上式积分只取了右边的最近邻，取左边最近邻也相同.又QUOTEneikRnQUOTEEk=φsatQUOTEk=πa时能最大QUOTEEπa=Esat+2AαQUOTEk=2πa时能最小QUOTEE2πa=Esat-2Aα带宽QUOTEEπa-E2πa带顶有效质量QUOTEmxx*=ℏ2∂2E∂kx2|kx4.12试由紧束缚近似证明晶格常数为a的简单一维晶体中，第l格位上s电子的概率幅Cl(t)式中QUOTEA=Es-J0，QUOTEB=J1，是孤立原子s轨道的能量，是晶场劈裂，是最近邻交叠积分.假定一维中晶链中原子总数为N，试求：电子的能量与波矢关系QUOTEEk=？能带宽度和带顶空穴及带底电子的有效质量；设QUOTEA=0，求能带电子的态密度QUOTEρE=?假定原子有一个价电子，试求QUOTET=0时的费米子能QUOTEEF0.解：设第n个格点上电子的几率振幅为：QUOTECn=C0ei(kna-Eℏt)第QUOTEn-1和第QUOTEn+1个格点上QUOTECn-1=C0ei[k(n-1)a-Eℏ将以上三式代入QUOTEiℏe=ACn-BCn-1QUOTEiℏ(-iEℏ)=A-Be-ika-Beika,QUOTEE=A-2BcoskaQUOTEk=0是电子能带底，在能带底电子能量的有效质量QUOTEm*=ℏ2∂2QUOTEk=±πa为能带顶QUOTEm*=ℏ2∂2E∂带顶空穴有效质量QUOTEmℏ*=ℏ22B能量区间波矢数为：QUOTEna2π∙2dkQUOTEdz=2na2π∙2dk=2Naπ∙1dEdk∙dEQUOTEA=0时能态密度：QUOTENE=dzdEA=0=2Nπ14设晶体有NQUOTEN个电子，在绝对零度时都分布在费米能及以下，采用QUOTEN=0时的能态密度QUOTE=11-x2dx=sin-1xQUOTEEF0=2B4.13某晶体中电子的等能面是椭球面QUOTEE(k)=ℏ22(kx2m1+ky解：由：QUOTEE=ℏ22(kxQUOTEk122m1EQUOTEx2a2+y2QUOTEτ=43π2ℏ22m1m2m3QUOTEdz=2rc(2π)3dτ=电子能态密度：QUOTENE=dzdE=QUOTEEk=ℏ2k1QUOTE∇kE(k)=磁感应强度QUOTEB=B(k1α+k2应用：带入运动方程：QUOTEdkdt=-qβ[k1mQUOTEdk1dt=-qBk2m2γ-k3m3βQUOTEdk2dt令QUOTEk1=k10eiωtk即：QUOTEiωk10+qBγQUOTEiωk20+qBγQUOTEiωk30+qBβm由系数行列式为零QUOTEiωqBγm2-qBγmQUOTEω=0无意义QUOTEω=qB(1m2m3α4.14一维金属的peierls失稳（详见基泰尔《固体物理导论》10.7式）考虑一维金属电子气费米波矢为，满足自由电子能谱如果一维晶格由电子气相互作用产生的周期形变为，其弹性能可表示为该形变同时使电子处在一个周期势场中试计算：（a）在该周期势作用下电子在附近的能谱；（b）对系统的电子能量和形变能求导，求出系统的最低能量所对应的型变；（c）在时，形变的表达式为；解：考虑一个一维金属，在绝对零度下其中电子充满所有导带轨道直到波矢，peierls提出这样一个线性金属在波矢为的周期性静态点阵下是不稳定的，这个形变在费米面上产生能隙，使能隙下面的能