极限思想在教学中的渐进理解

在数学的发展过程中，极限的概念有着举足轻重的地位。这决定了在数学教学中，极限的教学必须要深入浅出。极限是高中数学与大学数学的衔接部分。透彻理解极限，对于大学微积分的学习也起到了至关重要的作用。因此，极限的学习与教学显得尤为重要。一、极限思想发展与演变极限的思想早在古代就已萌生。古希腊数学家阿基米德“穷解法”求抛物弓形的面积，构造了一系列三角形，使它们的面积和不断接近抛物弓形的面积。中国古代数学家刘徽（公元3世纪）“割圆术”利用圆内接正n边形边数n无限增大，则正多边形面积无限接近于圆的面积。这些都是极限最初的形式。十九世纪法国数学家柯西从定性的角度比较完整地说明了极限概念及其理论。之后，德国数学家维尔斯特拉斯给出了极限的定量定义。了解极限思想的发展史，可以使学生在理解极限时更有兴趣，也更有数学根据。只有这样才能使极限更好地融入学生的心理。二、极限概念和高等数学中微积分学的关系数学是一门基础学科，它的基础性与应用广泛性是任何学科所无法比拟的。一切的自然科学，各个经济生活领域都有数学留下的足迹，因此可以说数学是学科界的“学科先驱”。运用数学思想，数学方法思考和解决问题，不仅可以培养人们科学的世界观，而且可以使人们在解决任何实际问题时具备严谨的科学态度。如果把整个高等数学看作一个人体，那么极限是高等数学中微积分的主动脉。导数与微分可以看到定义的新运算，这种运算类似小学所学的加减法和乘除法中互为逆运算一样。导数和微分也应该有逆运算，可以说“不定积分”与“定积分”是导数的两种不同的逆运算。导数、微分、不定积分、定积分这四个概念虽然各不相同，但它们存在着极其密切的关系，即它们的概念中都贯穿了极限概念。三、极限思想的教学演变在新课程改革（人教A版2007与人教A版2017数学课本）中都将微积分放在了高中数学课程的重要位置上，并且在内容上都体现出了极限思想这一数学思想，说明了极限思想在高中数学教学中的重要性。本文从极限的概念出发，阐述极限教学中学生的学与教师的教的难点与重点并结合高中数学与大学数学的理解差异，比较两者教学差异，让学生能更好地理解极限的思想。四、学生学习现状分析在2007年新课程改革中，之前很多传统上在高校数学课堂中讲解的内容也成为了高中数学的重点。比如：极限，导数，定积分等。实际上，由于高考指挥棒中，要求学生必须会应用这些知识。但是，是否能够真正理解，这有待考究？由于高中应试教育背景下，学生对于应用导数来解决单调性，极值，最值，零点，不等式等问题比较熟练。但是学生对于极限，导数等的概念的理解却深浅不一。实际上，这样的教学会使学生产生很多误区。学生对于初等数学与高等数学在思维方法，研究内容的侧重点的差异认识不够。尽管学生们对于极限部分有一定的基础，但是这种基础能起到什么样的作用？这些都是有待对学生的了解和分析。倘若学生思维认识不到位，问题可能就会想不明白。如果没有清晰和明确的认知，就不会去直观地理解，更别说用数学精确语言去描述极限概念了。种种问题与困惑交织在一起，使得学生对极限的学习比较迷茫。感觉自己好像学过，但是好像又没有学过。学习中表现出来的是：一方面，感觉已经懂了，不屑于听；另一方面，接触高等数学中极限定义之后发现自己又一无所知，颠覆了之前对于极限的所有认识，感觉像天书一样难以理解。在高等数学的教学实践中，往往会发现学生有上述两种表现。因此，需要引导学生端正学习态度，走出认识和学习误区就显得尤其重要了。五、揭示本质属性，加深理解对高等数学中微积分的极限概念的理解，从数列极限，函数极限（x→+∞,x→x0）的顺序进行教学，并要对三种极限在概念方面进行差异的比较。1.数列极限。（1）直观描述——定性定义。如果数列{an}的项数n无限增大时，其一般项{an}无限接近于某个确定的常数a，则称a为数列{an}的极限，或称数列{an}收敛于a，记作数列{an}的极限为a的几何解释：数列{an}中的项对应数轴上无数个点，点an与a接近的程度可以用它们之间的距离|an-a|来衡量an无限接近于a，就意味着距离|an-a|可以任意小.（2）精确定义——定量定义。若对任给的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N，使得当n＞N时有|an-a|＜ε，则称数列{an}收敛于a，记作ε-N定义：N+，当n＞N时，有|an-a|＜ε.关于ε-N定义，从以下理解：①ε的任意性。尽管ε有其任意性，但一经给出，就被暂时确定下来了，以便依靠它来求出N。又ε是任意小的正数，因此定义中ε的可以用等来代替。②N的相应性。一般说，定义中的正整数N是一个与ε密切相关的项数，与N相对应的项是an。因此，常把N写作N（ε），来强调N是依赖于ε的。但是，这种依赖关系，也不意味着N是由ε所唯一决定的。这里重要的是N的存在性，而不在于它的值的大小。从几何意义上看，“当n＞N时，有|an-a|＜ε.”表示点an与a之间的距离可以为任意小的正数ε，它可以是0.1、0.01、0.001或更小。但不管多么小，数列{an}与a的距离|an-a|，当n→∞时，总比ε还小，因而an与a可以任意接近。也就是说，在U（a；ε）之外，数列{an}中的项至多只有N个（有限个）。通过直观定义与精确定义，可以使得学生们对于数列极限概念的理解更加深刻。初等数学研究的是固定的，静态下量与量之间的数量关系。然而，高等数学研究的是量与量在运动变化过程中的数量关系，这是初等数学与高等数学的根本差异。因此，学生们由高中到大学的过渡，需要一个过程与时间。如果学生们有清楚与明确地认识到量与量之间的“运动”。在以后的高等数学的学习中，可能相对会容易些。这就要求学生们应该从思维认识上要突破从有限过渡到无限，学会并习惯使用数学语言描述问题，使得学生的思维变得更加严密。基于以上学生们可能在初入大学时存在的问题，在教学中有哪些应对措施呢？一方面通过有趣的例子提高学生认识，另一方面还是要帮助学生理清极限概念出现的内在逻辑过程，把握极限概念本质，引导学生能用以上的精确定义来描述极限。找N可能出现两种情况：①如果n＞N（ε），则即为所求。②如果|xn-a|＜ε较繁琐时，可适当放大。如何放大？可以放大为如下形式：|xn-a|＜g（n）。只要有，放大就是适当的！由此可见，极限的证明步骤几乎是模板化的格式。以下就是证明的格式模板：证：对∀ε＞0，要使|xn-a|＜ε.……这里是解|xn-a|＜ε的过程，得结果n＞某个数（关于ε的表达式）；或当|xn-a|＜ε比较繁琐不易解得，则在这里将|xn-a|作适当的放大，使|xn-a|＜g（n），然后从g（n）＜ε中解得n＞某个数。取N=某个数（关于ε的表达式）或N=max{[某个数（关于ε的表达式）]，N0}，则当n＞N时，有|xn-a|＜ε成立，归纳出数列极限的一般证明方法，这样学生可能未必能够理解。但是，学生可以先模仿，在做题过程中可以边做边理解。最起码学生能够去做，可以有法可循。这样可以慢慢培养学生的兴趣。先做，再慢慢理解。数学也是一个理解和消化的过程。这样从定性理解，到定量计算。全方位的去理解，可以使得学生能够更好地接受。“好的开始，是成功的一半”，数列极限的充分理解可以帮助学生更好地理解函数极限。2.函数的极限。（1）当x→+∞时，函数f（x）的极限。①直观描述—定性定义。当x→+∞时，函数f（x）的极限：此种情况与数列类似，不同之处在于n→+∞是整序变量（n只取1、2、3、……）等离散的正整数点变到+∞。而x→+∞时，函数f（x）的极限，自变量x可以沿x轴的正方向，负方向连续地无限增大，正因为如此，此处的N不一定要求必是正整数，仅要求N是正数即可。如（图1）当无限增大时的变化趋势。自然引出：当x→+∞时，y→0；图1当x→-∞时，y→0.定性定义：设函数f（x）在x＞M（M＞0）处有定义，当x无限增大（x→+∞）时，对于f（x）的函数值无限接近于确定数值A，则称A为函数f（x）在x→+∞时的极限，②精确定义—定量定义。定量定义ε—M：设函数f（x）为定义在[a，+∞）上的函数，A为定数。若对任给的ε＞0，存在正数M（≥a），使得当x＞M时有|f（x）-A|＜ε，则称函数f（x）当x→+∞时以A为极限，当x→+∞时函数f（x）以A为极限意味着：A的任意小邻域内必含有f（x）在+∞的某个邻域内的全部函数值。定义的几何意义如图2：对任给的ε＞0，在坐标平面上平行于x轴的两条直线y=A+ε与y=A-ε，围成以直线y=A为中心线、宽为2ε的带状区域。图2例1证明证：任给ε＞0，取则当x＞M时有以下就是证明的格式模板：证：对∀ε＞0，要使|f（x）-A|＜ε.……这里是解|f（x）-A|＜ε的过程，得结果M＞某个数（关于ε的表达式）；或当|f（x）-A|＜ε比较繁琐不易解得，则在这里将|f（x）-A|作适当的放大，使|f（x）-A|＜g（x），然后从g（x）＜ε中解得x＞某个数。取x=某个数（关于ε的表达式），则当x＞M时，有|f（x）-A|＜ε成立，高中数学中给出的是函数定性的定义，只是有助于理解极限定义就可以。而在大学数学中尤其是微积分中，不仅要求理解定性定义，定量定义也可以说是微积分的“顶梁柱”。只有更加深入地理解极限ε—M，才能更好地理解导数，微分，级数等更深入的微积分数学。（2）当x→x0时，函数f（x）的极限。对函数极限而言，自变量的变化过程有很多方式。在这里仅以x→x0为例。①直观描述—定性定义。设函数f（x）在点x0的某个空心邻域内有定义，A为定数。如果当自变量x→x0时对应的函数值f（x）无限接近于A，则称A为函数f（x）当x→x0时的极限，记作：②精确定义一定量定义。定量定义ε-δ：定义：设函数f（x）在点x0的某个空心邻域U°（x0；δ′）内有定义，A为定数。若对任给的ε＞0，存在正数δ（＜δ′），使得当0＜|x-x0|＜δ时有|f（x）-A|＜ε，则称函数f（x）当x趋于x0时以A为极限，记作或（fx）→A。在理解定义中，学生们的疑问有两个方面：第一方面：定义中“函数f（x）在点x0的某个空心邻域有定义”强调的是函数f（x）在点x0的附近有定义即可，而在点x0是否有定义并不影响考察函数在该点的极限。例2分别求f（x）=x+2与f（x）=时的极限。通过此例，使得学生们能够更加深入地理解“空心邻域”的意义。第二方面：x→x0函数值f（x）无限接近于A，表示无论x是从x0左侧趋向于x0，还是从x0右侧趋向于x0，f（x），都无限接近于同一个数值A。3.综合分析函数极限的两种。函数极限中的ε—M（图3）定义中，是寻找M，使得当|x|＞M时，使得f（x）的值都落在区域D1与D2内。与函数极限的ε-δ（图4）定义中，是寻找δ