高斯小学奥数四年级上册含答案第21讲-等积变形

第二^一讲等积变形乎讦四谄形翠堀幻戒号帚B.乎讦四谄形翠堀幻戒号帚B.C\⑪个三角形，革均匀生怅，1草场的苹可使⑷头牛吃I氏，R草场的草可供祀％牛吃一天「【草场前龜可供⑷（）其牛唏一天,I）堂埸堰？三角形和平行四边形的关系非常紧密. 回想它们的面积公式，如果我们把一个平行四边形沿对角线分成两块，那么每个三角形的面积正好是平行四边形的一半，如图：除了上面这种情形外，下图中的阴影三角形由于和平行四边形底、 高都相同，所以面积也是平行四边形的一半.（注意：长方形也是平行四边形）底底例题1如图，已知平行四边形ABCD的面积是100平方厘米，E是其中的任意一点，那么图中阴影部分面积是多少平方厘米？「分析」例题1如图，已知平行四边形ABCD的面积是100平方厘米，E是其中的任意一点，那么图中阴影部分面积是多少平方厘米？「分析」辅助线把整个图形分成了左右两个平行四边形，两个阴影三角形与它们分别有什么关系呢？AB C练习1如图，E是平行四边形ABCD中的任意一点，已知厶AED与厶EBC的面积和是40平方厘米，那么图中阴影部分的面积是多少？A DB C下图中，两条平行线间有四个三角形：三角形 OAB、三角形PAB、三角形MAB和三角形NAB，它们的底相同，都是AB;高相等，都是两条平行线间的距离，所以这四个三角形的面积是相等的•进一步，我们可以在直线 ON上任取若干个点，这些点分别与 A、B两点形成若干个同底等高的三角形，这些三角形的面积是相等的.A B底我们把这种“底相同，高相等”的情况简称为“同底等高” •“同底等高”是我们最早碰到的三角形等积变形的情形，而“等高”最常见的情况就是平行线间的距离相等.如果两个三角形同底等高，那么它们的面积相等.利用平行线间的距离相等，构造同底等高的三角形，是很常见的三角形等积变形.

例题2如图，平行四边形ABCD的底边AD长20厘米,高CH为9厘米；E是底边BC上任意的一点，那么两个阴影三角形的面积之和是多少平方厘米？「分析」能否通过等积变形，把两个三角形变成一个三角形呢？练习2如图，平行四边形ABCD的面积是100平方厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？AFHBE C例题3AFHBE C如图所示，ABFE和CDEF都是长方形，AB的长是4厘米,BC的长是3厘米.那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米？「分析」能否通过等积变形，把上层与下层的三角形分别变成一个三角形呢？练习3A D在利用同底等高三角形计算面积的题目中,而寻找同底.等高.、面积相等的三角形.最重要的一步就是去寻找其中的平行线， 进如图，ABCD和CDEF都是平行四边形，四边形ABFE面积为60平方厘米.请问：阴影部分面积是多少平方厘米？

A D在利用同底等高三角形计算面积的题目中,而寻找同底.等高.、面积相等的三角形.最重要的一步就是去寻找其中的平行线， 进例题4如图，梯形ABCD中，E是对角线AC上的一点,已知DE和AB平行，那么与△ADC面积相等的三角形一共有哪几个？「分析」要找同底等高面积相等的三角形，首先必须找到平行线哦！练习4如图，梯形ABCD中，共有几个三角形？其中面积相等的三角形共有哪几对？ADO画辅助线是解决几何问题最常用、最重要的方法之一，一条好的辅助线，往往能把无从下手的复杂题目变得非常简单.一般我们习惯把辅助线画成虚线.ADO在上一讲中，我们已经接触过了一些需要画辅助线解决的题目，在利用同底等高三角形计算面积的题目中，我们往往需要自己画出平行线.去构造、寻找同底等高的三角形进而进行面积转化.例题58厘米.求阴影部分的面积.如图，大正方形的边长是 10厘米，小正方形的边长是8厘米.求阴影部分的面积.「分析」图中的三角形底、高都是未知并且不可求的，能否通过等积变形，寻找与它们同底等高、面积相等的三角形呢？记得先找平行线哦!

如右图，梯形ABCD中，对角线相交于0点，由于AD与BC平行，那么就有△ABC与厶DBC同底等高、面积相等，△ABD与厶ACD同底等高、面积相等.那么这个图中还有没有其他面积相等的三角形呢？我们观察一下，△ABC与厶BCD都包含有厶OBC，而△ABC与厶BCD面积相等，那么就有△ABO与厶CDO面积相等.我们把梯形中出现的这第三对三角形面积相等称作“梯形的两翼相等” ，因为△ABO与△CDO恰好如同两片翅膀一般，有的时候我们也称其为“蝴蝶模型”“蝴蝶模型”在几何中应用非常广泛，尤其是在高年级学习比例之后， 而且，应用蝴蝶模型，往往能够使得一些过去非常头疼的题目变得异常简单.例题6如图所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为70,AB=8,AD=15，四边形EFGO的面积是多少？「分析」能否应用“蝴蝶模型”，使得三块分离的三角形合并呢？课堂内外蝴蝶定理蝴蝶定理(Butterflytheorem)，是古典欧式平面几何中最精彩的结果之一.这个命题最早出现在 1815年，而“蝴蝶定理”这个名称最早出现在《美国数学月刊》1944年2月号，1985年，在河南省《数学教师》创刊号上，杜锡录同志以《平面几何中的名题及妙解》为题，载文向国内介绍蝴蝶定理，从此蝴蝶定理在神州大地到处传开.这个定理最基本的叙述为：设 M为圆内弦PQ的中点，过M作弦AB和CD，设AD和BC分别相交PQ于点X和Y，贝UM是XY的中点.从图中可以看出题目的图形像一只蝴蝶，该定理名字实际上，在椭圆中，依然存在蝴蝶定理，把上图“压由此而得.实际上，在椭圆中，依然存在蝴蝶定理，把上图“压扁”即可.

这个定理的证法多的不胜枚举，至今仍然被数学热爱者研究，在高考等考试中时有出现各种变形，有人曾戏称“翩翩蝴蝶舞椭圆，飞落高考数学花”.混沌论中的“蝴蝶定理”：数学的一门分支是混沌论•混沌理论其实是人们对一系列残酷运动的名词描述：初始条件十分微小的变化经过不断放大，对其未来状态会造成极其巨大的差别.混沌理论最为人知的表述就是“蝴蝶效应”：一只南美洲亚马逊河流域热带雨林中的蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可以在两周后引起美国德克萨斯州的一场龙卷风.西方流传的一首民谣形象的代表了“蝴蝶效应”：丢失一个钉子，坏了一只蹄铁；坏了一只蹄铁，折了一匹战马；折了一匹战马，伤了一位骑士；伤了一位骑士，输了一场战斗；输了一场战斗，亡了一个帝国.作业如图所示，梯形ABCE是由正方形ABCD和等腰直角三角形CDE构成的，已知等腰直角三角形的斜边是10厘米，那么△BCE的面积是多少平方厘米？2.如图，长方形ABCD2.如图，长方形ABCD的面积为6,平行四边形BECF的面积为多少？如图所示，一个长方形被分成4个不同的三角形，红色三角形的面积是9平方厘米，黄色三角形的面积是21平方厘米，绿色三角形的面积是面积是多少平方厘米？10平方厘米，那么蓝色三角形的如图所示，一个长方形被分成4个不同的三角形，红色三角形的面积是9平方厘米，黄色三角形的面积是21平方厘米，绿色三角形的面积是面积是多少平方厘米？10平方厘米，那么蓝色三角形的和为多少?5.如图，直角梯形ABCD中，CD30，BD40，CBD和CD垂直•那么三角形ABC的面积是多少？C第二^一讲等积变形第二^一讲等积变形例题1答案：50平方厘米详解：根据图中的辅助线，左边阴影面积为左边平行四边形的一半，右边阴影面积为右边平行四边形的一半，所以阴影总面积等于大平行四边形的一半，为 50平方厘米.例题2答案：90平方厘米详解：平行四边形面积是180平方厘米•狗牙模型，通过同底等高可以将 F拉到A点，把两个三角形合并成一个大三角形，即平行四边形的一半，面积为 90平方厘米.例题3答案：6平方厘米详解：双层犬牙模型，可以把ABFE中的阴影面积转化成一个大的三角形，是 ABFE面积的一半；CDEF中的阴影面积转化成一个大的三角形，是 CDEF面积的一半.所以阴影部分的面积是长方形ABCD面积的一半，即6平方厘米.例题4答案：△KBD和△ABE详解：观察图中哪些线段平行，AD平行于BC，AB平行于DE•根据AD平行于BC，可以知道△KDC的面积等于△ABD;根据AB平行于DE，可以知道厶ABD的面积等于△ABE.所以与△ADC面积相等的三角形有△ABD和△KBE.例题5答案：50平方厘米；32平方厘米详解:如图，连小正方形对角线，两个正方形对角线平行，所以阴影三角形与大正方形左半个等腰直角三角形同底(共同的底为大正方形对角线)等高、面积相等，等于大正方形面积的一半，为50平方厘米.如图，连大正方形对角线，两个正方形对角线平行，所以阴影三角形与小正方形右半个等腰直角三角形同底(共同的底为小正方形对角线)等高、面积相等，等于小正方形面积的一半，为 32平方厘米.第二十一讲等积变形例题1答案：50平方厘米详解：根据图中的辅助线，左边阴影面积为左边平行四边形的一半，右边阴影面积为右边平行四边形的一半，所以阴影总面积等于大平行四边形的一半，为50平方厘米.例题2答案：90平方厘米详解：平行四边形面积是180平方厘米.狗牙模型，通过同底等高可以将F拉到A点，把两个三角形合并成一个大三角形，即平行四边形的一半，面积为 90平方厘米.例题3答案：6平方厘米详解：双层犬牙模型，可以把ABFE中的阴影面积转化成一个大的三角形，是ABFE面积的一半；CDEF中的阴影面积转化成一个大的三角形，是CDEF面积的一半.所以阴影部分的面积是长方形ABCD面积的一半，即6平方厘米.例题4答案：△KBD和AABE详解：观察图中哪些线段平行，AD平行于BC，AB平行于DE•根据AD平行于BC，可以知道△KDC的面积等于△ABD;根据AB平行于DE，可以知道厶ABD的面积等于△ABE.所以与△ADC面积相等的三角形有△ABD和AABE.例题5答案：50平方厘米；32平方厘米详解：（1） 如图，连小正方形对角线，两个正方形对角线平行，所以阴影三角形与大正方形左半个等腰直角三角形同底（共同的底为大正方形对角线）等高、面积相等，等于大正方形面积的一半，为50平方厘米．（2） 如图，连大正方形对角线，两个正方形对角线平行，所以阴影三角形与小正方形右半个等腰直角三角形同底（共同的底为小正方形对角线）等高、面积相等，等于小正方形面积的一半，为32平方厘米．第二十一讲等积变形1.例题1答案：50平方厘米详解：根据图中的辅助线，左边阴影面积为左边平行四边形的一半，右边阴影面积为右边平行四边形的一半，所以阴影总面积等于大平行四边形的一半，为 50平方厘米．例题2答案：90平方厘米详解：平行四边形面积是180平方厘米．狗牙模型，通过同底等高可以将F拉到A点，把两个三角形合并成一个大三角形，即平行四边形的一半，面积为90平方厘米．例题3答案：6平方厘米详解：双层犬牙模型，可以把ABFE中的阴影面积转化成一个大的三角形，是ABFE面积的一半；CDEF中的阴影面积转化成一个大的三角形，是CDEF面积的一半．所以阴影部分的面积是长方形ABCD面积的一半，即6平方厘米．例题4答案：△KBD和AABE详解：观察图中哪些线段平行，AD平行于BC，AB平行于DE．根据AD平行于BC，可以知道△\DC的面积等于△ABD;根据AB平行于DE，可以知道厶ABD的面积等于△ABE