专题03轴对称突破核心考点【知识梳理解题方法专题过关】（原卷版）

专题03轴对称突破核心考点【聚焦考点+题型导航】考点一轴对称图形的识别考点二轴对称图形的性质考点三画轴对称及设计轴对称图形考点四坐标与图形变换——轴对称考点五线段的垂直平分线性质与判定考点六等腰三角形的定义与性质考点七利用等腰三角形定义与性质的多解题考点八等腰（等边）三角形中全等综合问题【知识梳理+解题方法】一、轴对称轴对称概念：有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．二、轴对称图形轴对称图形概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴.（对称轴必须是直线）轴对称图形的性质（重点）：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．轴对称图形上对应线段相等、对应角相等.画一图形关于某条直线的轴对称图形步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点.用坐标表示轴对称1、点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，-y）；2、点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（-x，y）；三、线段的垂直平分线概念：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）性质：线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．四、等腰三角形（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性质①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.五、等边三角形（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.（3）等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.【专题过关+能力提升】考点一轴对称图形的识别例题：（2022·全国·八年级专题练习）下面在线学习平台的图标中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【变式训练】1．（2021·重庆市巴渝八年级期中）下列图形中是轴对称图形是（）A． B． C． D．2．（2022·广东·高州市第一附属实验七年级阶段练习）下列交通安全图标不是轴对称图形的是（

）A．B．C．D．3．（2022·江西·崇仁县第二七年级阶段练习）繁体字具有数千年的历史，不仅在中国，在中国周边国家中，繁体字仍旧具有非常大的影响力．简繁互补是中国文字的演变规律．下面是成语“喜闻乐见”的繁体字，其中可以看作是轴对称图形的是（）A． B． C． D．考点二轴对称图形的性质例题：（2021·山西临汾·八年级期中）如图，与关于直线对称，其中，，则的度数为（

）A． B． C． D．【变式训练】1．（2022·江苏·靖江市实验七年级期中）如图a是长方形纸带，∠DEF=28°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（）A．94° B．96° C．102° D．128°2．（2022·广东·茂名市电白区第三七年级阶段练习）如图，与关于直线l对称，若，，则______，______．3．（2022·浙江·八年级专题练习）如图，在△ABC中，点P为AB和BC垂直平分线的交点，点Q与点P关于AC对称，连接PC，PQ，CQ．若△PCQ中有一个角是50°，则∠B=__度．考点三画轴对称及设计轴对称图形例题：（2022·安徽·定远县第六九年级阶段练习）如图，是4×4正方形网格，其中已有4个小方格涂成了黑色．现在要从其余白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个黑色部分图形构成轴对称图形，这样的白色小方格有____种选择．【变式训练】1．（2022·河南省实验八年级开学考试）如图是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了阴影．现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成阴影，使整个涂成阴影的图形成为轴对称图形，请在图中补全图形，并画出它们各自的对称轴．（要求画出3种不同方法）2．（2022·全国·八年级专题练习）下列正方形网格图中，部分方格涂上了阴影，请按照不同要求作图．(1)如图①，整个图形是轴对称图形，画出它的对称轴．(2)如图②，将某一个方格涂上阴影，使整个图形有两条对称轴．(3)如图③，将某一个方格涂上阴影，使整个图形有四条对称轴．3．（2022·四川达州·七年级期末）如图，正方形网格中每个小方格的边长为1，且点A，B，C均为格点．(1)作图（保留作图痕迹，不写作法）：①作出关于直线l的对称图形；②在直线l上找一点D，使最小；(2)求出的面积．考点四坐标与图形变换——轴对称例题：（2022·广东·梅州市学艺九年级开学考试）在平面直角坐标系中，点P（2，-3）关于x轴对称的点的坐标是（

）A．（2，3） B．（2，-3） C．（-2，3） D．（-2，-3）【变式训练】1．（2022·广东·阳春市东风八年级期中）如图，在△ABC中，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（0，4），点C的坐标为（4，3），如果要使△ABD与△ABC全等，那么点D的坐标是（）A．（﹣4，3）B．（﹣4，2）C．（4，2）或（﹣4，3）D．（4，2）或（﹣4，2）或（﹣4，3）2．（2021·四川·西昌市川兴八年级阶段练习）已知A(a，-2)与B(，b)关于x轴对称，则a=___，b=____．3．（2022·甘肃·金昌市龙门七年级期中）若，则点关于x轴的对称点的坐标为___．4．（2023·广东·新丰县大席八年级期中）如图，在下列带有坐标系的网格中，△ABC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．(1)请画出△ABC关于y轴对称的图形（其中分别是A、B、C的对应点，不写画法）；(2)直接写出三点的坐标；(3)平面内任一点P（x，y）关于直线x轴对称点的坐标为．5．（2021·四川·西昌市川兴八年级阶段练习）已知：如图，已知△ABC，(1)分别画出与△ABC关于轴、轴对称的图形△和△；(2)写出△和△各顶点坐标；(3)求△ABC的面积．6．（2022·新疆·乌鲁木齐市第十三八年级期末）如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A（1，1），B（4，2），C（3，4）．(1)请画出△ABC关于x轴对称的图形△；(2)求△ABC的面积；(3)在x轴上求一点P，使△PAB周长最小，请画出△PAB，并通过画图求出P点的坐标．7．（2020·辽宁·沈阳市第六十九八年级阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，点A（0，1）、B（2，0）、C（4，3）(1)在平面直角坐标系中划出△ABC，则△ABC的面积是；(2)若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为；(3)已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为4，求点P的坐标．考点五线段的垂直平分线性质与判定例题：（2022·湖南湘潭·八年级期末）如图，是的角平分线，若，则点的距离是（

）A． B． C．1 D．2【变式训练】1．（2021·山东烟台·七年级期中）如图，已知在四边形中，，平分，，，，则四边形的面积是（

）A．40 B．42 C．46 D．482．（2022·全国·八年级专题练习）如图所示，AD是△ABC的中线，DF⊥AC，DE⊥AB，垂足分别为F，E，BE＝CF.求证：AD平分∠BAC.3．（2022·湖南·郴州市第四八年级期末）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF．(1)求证：△BDE≌△CDF(2)求证：AD平分∠BAC；(3)直接写出AB＋AC与AE之间的等量关系．考点六等腰三角形的定义与性质例题：（2021·河北·唐山市第九八年级阶段练习）若等腰三角形的一条边长为5，另一条边长为10，则此三角形第三条边长为________．【变式训练】1．（山西省临汾市2021-2022学年八年级上学期段考数学试卷（二））如图，∠ABC的平分线BF，与△ABC的外角∠ACG的平分线相交于点F，过点F作DFBC交AB于点D，交AC于点E，若BD＝8cm，DE＝2.5cm，则CE的长为______．2．（2022·辽宁大连·八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点E在BC上，BD⊥AE于点D，F为BC中点．(1)在图中找出与∠ABD相等的角，并证明；(2)求证：DF平分∠BDE．3．（2021·四川·东坡区实验八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC=∠ACB，D是AC边上的一点，连接BD并延长到点E，连接AE、CE，AF平分∠BAC交BD于点F．(1)若∠BAC＝70°，∠FBC＝25°，求∠AFD；(2)已知CE⊥BC，AD＝CD，求证：BF＝AE．考点七利用等腰三角形定义与性质的多解题例题：（2022·河南·驻马店市第十八年级阶段练习）已知等腰三角形的两边长分别为6和5，则这个等腰三角形的周长为_____．【变式训练】1．已知等腰三角形的一个内角是72°，那么这个等腰三角形的顶角是______度．2．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为56°，则这个等腰三角形底角度数是_______．3．有一张三角形纸片ABC，∠A＝80°，点D是AC边上一点，沿BD方向剪开三角形纸片后，发现所得两张纸片均为等腰三角形，则∠C的度数可以是__________．4．（1）等腰三角形一腰上的中线把周长分为和两部分，求该三角形各边的长．（2）已知一个等腰三角形的三边长分别为，求这个等腰三角形的周长．5．（2022·福建·莆田市城厢区南门八年级阶段练习）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若点P从点A出发，以每秒4cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．(1)若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；(2)在运动过程中，求当t为何值时，△BCP为等腰三角形．考点八等腰三角形中全等综合问题例题：（2021·重庆市璧山中八年级期中）（1）如图1，△ABC与△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，猜想并证明：线段AE、BD的数量关系和位置关系．（2）在（1）的条件下，若点A，E，D在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，请判断∠ADB的度数及线段CM，AD，BD之间的数量关系，并说明理由．【变式训练】1．（2021·辽宁·盘锦市第一完全八年级期中）在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC．(1)如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由．(2)如图2，当点E为AB上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由．(3)在等边三角形ABC中，若点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED=EC，若△ABC的边长为1，AE=2，请直接写出CD的长．2．（2022·辽宁沈阳·七年级期末）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，点D是直线BC上一点，过点A作∠DAE=90°（使点D，A，E按顺时针的顺序排列），且AE=AD，连接CE，过点A作AF⊥CE交直线CE于点F．(1)如图，当点D在线段BC上时；求证：CE=BD；(2)当点D在直线BC上时，直接写出线段BD、CD、EF之间的数量关系．3．（2022·福建·莆田哲理八年级期末）如图1，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D