高等应用数学 课件 初东丽 第4章 常微分方程

4.1微分方程的概念目录微分方程的发展简史微分方程的概念【知识目标】

理解概念：微分方程、一阶线性微分方程、二阶常系数线性微分方程；

掌握题型：可分离变量的微分方程、一阶线性微分方程、二阶常系数线性齐次微分方程、简单二阶常系数线性非齐次微分方程的求解。【能力目标】

通过学习常微分方程，掌握几种常微分方程的求解过程，培养计算能力和分析问题、解决问题的能力。教学目标4.1.1微分方程的发展简史微分方程差不多是和微积分同时产生的，也像微积分一样，常微分方程最早出现在数学家彼此的通讯中，英国数学家奈普尔（Napier）创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解；英国数学家牛顿在创立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解；牛顿和莱布尼茨指出微分和积分运算的互逆性时，事实上就解决了最简单的微分方程的求解问题；伯努利在1690年就用微积分来求常微分方程的分析解，应是先驱者了。牛顿在研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运行规律，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置，这些神奇的结论和精确的预言使数学家们更加深信微分方程在认识自然改造自然方面无比巨大的力量。如y

xy2

0,y

2y

y=3x2

1，xdy

ydx

0等都是微分方程。说明：微分方程中可以不显含自变量和未知函数，但必须显含未知函数的导数或微分．定义4.1

表示未知函数与其导数或微分之间的关系的方程称为微分方程．4.1.2微分方程的概念定义4.2（1）未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程；未知函数是多元函数的微分方程，叫做偏微分方程.（本章我们只研究常微分方程）（2）微分方程中未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶；二阶及二阶以上的微分方程称为高阶微分方程。4.1.2微分方程的概念微分方程的解中含有任意常数，且独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解或一般解。定义4.3如果某个函数代入微分方程，能使该方程成为恒等式，则称这个函数为该微分方程的解。4.1.2微分方程的概念由于通解中含有任意常数，它还不完全确定，要完全确定地反映客观事物的规律，必须根据具体问题给定的条件，在通解中确定任意常数的值，得到微分方程不含任意常数的解，这种不含任意常数的解称为微分方程的特解。

4.1.2微分方程的概念

4.1.2微分方程的概念练习与作业练习与作业感谢观看4.2

一阶微分方程目录可分离变量的一阶微分方程一阶线性微分方程齐次型微分方程微分方程的应用【知识目标】

理解概念：可分离变量的一阶微分方程、齐次型微分方程、一阶线性微分方程；

掌握题型：可分离变量的一阶微分方程、齐次型微分方程、一阶线性微分方程的求解方法、微分方程的应用。【能力目标】

通过求解可分离变量的一阶微分方程、齐次型微分方程、一阶线性微分方程，提高数学计算能力，培养严谨的学风和灵活的思维方式。教学目标4.2.1可分离变量的一阶微分方程

4.2.1可分离变量的一阶微分方程

4.2.1可分离变量的一阶微分方程

4.2.1可分离变量的一阶微分方程

4.2.1可分离变量的一阶微分方程4.2.2齐次型微分方程

4.2.2齐次型微分方程4.2.3一阶线性微分方程

4.2.3一阶线性微分方程4.2.3一阶线性微分方程4.2.3一阶线性微分方程4.2.3一阶线性微分方程

4.2.3一阶线性微分方程求解一阶线性非齐次微分方程时，也可直接利用通解公式（4.7），但它不容易被记住，所以如果记不住公式（4.7），就可通过常数变易法来求解.

建立微分方程解决实际问题时，首先要把语言叙述的事物间的关系，通过建立坐标系、选择自变量和因变量、明确该问题中未知函数导数的实际意义、应用有关学科的基本知识，转化为含有未知函数的导数的等量关系，即微分方程．如果实际问题中，还有一些特定的条件或具有初始状态，这是确定特解的定解条件，这在建立微分方程时是不可缺少的一步，下面通过例题加以说明．4.2.4微分方程的应用

4.2.4微分方程的应用

4.2.4微分方程的应用练习练习与作业练习练习与作业感谢观看*4.3二阶线性微分方程解的结构目录二阶常系数线性微分方程二阶线性非齐次微分方程解的结构二阶线性齐次微分方程解的结构【知识目标】

理解概念：二阶线性齐次微分方程，二阶线性非齐次微分方程的解的结构；

掌握题型：二阶微分方程的解的验证.【能力目标】

通过学习二阶线性微分方程的解的结构，培养逻辑思维能力和数学计算能力.教学目标4.3.1二阶常系数线性微分方程4.3.2二阶线性齐次微分方程解的结构4.3.2二阶线性齐次微分方程解的结构4.3.2二阶线性齐次微分方程解的结构4.3.3二阶线性非齐次微分方程解的结构练习与作业感谢观看4.4二阶常系数线性微分方程目录二阶常系数线性齐次微分方程的通解二阶常系数线性非齐次微分方程的通解【知识目标】

理解概念：二阶常系数线性齐次微分方程的通解与特解，二阶常系数线性非齐次微分方程的通解与特解；

掌握题型：掌握二阶常系数线性齐次与非齐次微分方程的通解和特解的求解技巧和求解方法。【能力目标】

通过求解二阶常系数线性齐次与非齐次微分方程，培养逻辑思维能力和数学计算能力。教学目标4.4.1二阶常系数线性齐次微分方程的通解4.4.1二阶常系数线性齐次微分方程的通解

4.4.1二阶常系数线性齐次微分方程的通解

4.4.1二阶常系数线性齐次微分方程的通解4.4.2二阶常系数线性非齐次