高等应用数学 课件 初东丽 第1章 函数、极限与连续

1.1初等函数及性质目录函数的概念基本初等函数函数的性质复合函数初等函数【知识目标】

理解概念：函数、基本初等函数、复合函数、初等函数、分段函数

掌握题型：列函数式、求函数的定义域、分析函数的性质、写复合函数复合步骤【能力目标】

提高将实际问题化为数学问题的化归能力（建立数学模型的能力），提高运用数学知识解决实际问题的能力（解数学模型的能力）。教学目标函数的概念思考日常生活中可以找到哪些变量？存在什么关系？成本问题乘车费用问题设某企业生产某种产品的固定成本为10万元，又生产每一件产品需要增加成本0.8万元，求总成本y与产量x的关系。某城市的出租车费用不超过3公里为10元。超过3公里每公里按1.4元收取费用，列出乘车距离x与费用y之间的关系式。函数的概念一、函数的概念说明：定义设x、y是两个变量，D是给定的一个数集，如果对于D中的每一个x值，按照某种对应法则，变量y都有唯一确定的值与之对应，那么，称变量y是变量x的函数，记作y=f(x)。x称为自变量，y称为函数。自变量x的取值范围D称为函数y=f(x)的定义域；因变量y的取值范围M称为函数y=f(x)的值域。1.函数的定义函数的概念2.函数的实质函数实际上是从定义域D到值域M的一个映射函数的概念3.函数的要素定义域D对应关系f函数

注意：只有定义域与对应法则都相同的两个函数才是相同的函数函数的概念题型一例1.1判断下列函数是否为相同函数

函数的概念题型二例1.2求函数的定义域

（1）分式函数的分母不等于零（2）偶次根式函数的被开方式大于等于零（3）对数函数的真数式大于零类型：函数的概念分段函数

定义有时一个函数要使用两个或两个以上的式子表示,自变量的变化范围不同,相应的对应法则也不同,这样的函数称为分段函数。函数的性质二、函数的性质单调性奇偶性周期性有界性函数的性质1.单调性

xyoxyo

函数的性质

2.奇偶性

yxoa-a13-ayxoa函数的性质3.周期性14

（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.函数的性质4.有界性15

基本初等函数三、基本初等函数基本初等函数

说明：基本初等函数

基本初等函数

基本初等函数4.三角函数—正弦函数基本初等函数4.三角函数—余弦函数基本初等函数4.三角函数—正切函数基本初等函数5.反三角函数反三角函数是对应三角函数在第一个单调区间上的反函数。练习练习26数据1数据212243648数据1数据21225310417

数据1数据21429316425

观察与思考？三、复合函数27

三、复合函数28

内外层函数均为简单函数，一般为基本初等函数。复合条件：内函数的值域与外函数的定义域有交集。三、复合函数

复合函数可以推广到三个及以上的有限次复合。29注：三、复合函数30

内外层函数均为简单函数，一般为基本初等函数。复合条件：内函数的值域与外函数的定义域有交集。三、复合函数31

例：外层

内层

三、复合函数32

例：

外层

中层

内层

三、复合函数33拆分复合函数的关键：1.能正确的看出它是由哪些基本初等函数或者基本初等函数与常数进行四则运算所得到的函数复合而成；2.拆分复合函数的复合过程时，一般由外向内，逐层分解；3.每层写出的复合过程只能是基本初等函数或者基本初等函数与常数进行四则运算所得到的函数；4.拆分过程中的“不到位”或“过度拆分”都会导致拆分错误。三、复合函数34由基本初等函数与常数，经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤所构成的、并且用一个式子表示的函数，称为初等函数。

四、初等函数练习练习练习38作业：谢谢大家1.2极限的概念目录数列的极限无穷小量与无穷大量函数的极限【知识目标】

理解概念：数列的极限、函数的极限、无穷小量、无穷大量等

掌握题型：观察法求数列的极限，定义法判别极限的存在性，求极限的类型及方法【能力目标】

通过学习极限的概念，提高观察问题、分析问题、概括问题和问题化归能力。教学目标引：庄子的极限思想一尺之棰，日取其半，万世不竭。

一、数列的极限

例一、数列的极限例一、数列的极限例一、数列的极限例

12345列表画图

结论一、数列的极限练习

x12345…y1…

x-1-2-3-4-5…y-1…当x的绝对值越来越大时，对应的函数值会趋近于0.二、函数的极限

注：

二、函数的极限思考：

结论：

二、函数的极限例二、函数的极限：

二、函数的极限二、函数的极限二、函数的极限二、函数的极限例二、函数的极限练习61作业观察下列变量的变化情况，说出它们的极限62000上述变量在不同的变化过程中，都有一个共同的特点，它们的极限均为零。三、无穷小量与无穷大量1.无穷小量63注意：（1）无穷小是一个变量,常数中只有零是无穷小量;除此之外,任何常数,无论多小都不是无穷小量。（2）说一个函数是无穷小，必须指明自变量的变化趋势。

三、无穷小量与无穷大量例三、无穷小量与无穷大量在自变量的同一变化过程中，无穷小量具有以下的性质：

思考？65三、无穷小量与无穷大量2.无穷小的性质性质1：有限个无穷小量的和、差、积仍为无穷小量；性质2：有界函数与无穷小量的乘积仍为无穷小量。下列自变量的变化过程中，说出函数值的变化情况66左侧变量，在不同的变化过程中都有一个共同的特点，即：它们的绝对值越来越大。三、无穷小量与无穷大量3.无穷大量67

注意：（1）无穷大量也是变量，任何一个绝对值很大的常数都不是无穷大；（2）说一个函数是无穷大，必须指明自变量的变化过程。三、无穷小量与无穷大量684.无穷大的性质

在自变量的同一变化过程中，无穷大量具有以下的性质：

有限个无穷大量的积仍为无穷大量

∞

∞

∞三、无穷小量与无穷大量694.无穷大与无穷小的关系

三、无穷小量与无穷大量70

0………趋近于0的速度是否相同？思考？练习72作业谢谢大家1.3极限的运算目录极限的四则运算法则第二重要极限第一重要极限无穷小阶的比较无穷小等价替换原理【知识目标】

理解概念：极限的四则运算法则、等价无穷小、第一重要极限、第二重要极限等

掌握题型：无穷小阶的比较，求各种类型的极限。【能力目标】

通过判别极限类型，探求求极限方法与技巧，提高观察能力、概括能力、变形能力及分析问题、解决问题的能力。教学目标77思考？

可否使用极限的四则运算法则进行求解？

78一、极限的四则运算法则

推论注：上述法则对于x→∞也是成立的。

定义

因为分子、分母的极限都存在，且分母的极限不为0，因此可以直接带入法则求极限。79

一、极限的四则运算法则80

解

一、极限的四则运算法则81思考？

一、极限的四则运算法则

82

解

一、极限的四则运算法则83

解

一、极限的四则运算法则84

解

一、极限的四则运算法则85

解

一、极限的四则运算法则86解

一、极限的四则运算法则87

解

思考？

一、极限的四则运算法则88

一、极限的四则运算法则89

解例1.21：求极限

一、极限的四则运算法则90总结：求极限的类型及方法1、极限的四则运算法则（法则型）2、未定型的极限类型（非法则型）练习92二、第一重要极限

xoy图1-1293二、第一重要极限

94二、第一重要极限

95三、第二重要极限

96三、第二重要极限

97三、第二重要极限

98三、第二重要极限

99三、第二重要极限

练习101定义（1）若，

（3）若，则称与是等价无穷小，记作～。则称是比高阶的无穷小,记作；（2）若

,则称

与是同阶无穷小；

四、无穷小阶的比较102

四、无穷小阶的比较103

四、无穷小阶的比较104经常用到的等价无穷小

四、无穷小阶的比较五、无穷小的等价替换原理105应用：106五、无穷小的等价替换原理

107五、无穷小的等价替换原理

108

五、无穷小的等价替换原理109

五、无穷小的等价替换原理110

练习112作业谢谢大家1.4连续性及应用目录函数的连续性函数的间断点及类型函数的连续区间闭区间上连续函数的性质教学目标知识与技能·理解函数在一点处连续的两个定义；·掌握函数在一点处连续所具备的三个条件；·会判定函数在一点处是否连续。过程与方法·运用多媒体教学工具,将抽象的数学知识直观化、形象化,使学生领会数形结合的数学方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力.情感态度价值观·在揭示函数连续性本质的同时，让学生感悟数学的魅力，感受数学与现实生活的联系。它源于生活、高于生活、概括生活、是对生活中的数量关系和空间形式的提炼，具有高度的抽象性。116生活中的连续性

在自然界中有许多现象，如气温的变化、植物的生长、河水的流动等都是连续地变化着的。这种现象在函数关系上的反映，就是函数的连续性。117以下为淄博市3月24日气温变化曲线图，观察温度与时间变化的关系？118一、函数的连续性

119函数在点处连续

定义1一、函数的连续性120

函数在一点处连续的三个条件

1.函数在点及其近旁有定义；

2.存在；

3.极限值等于函数值一、函数的连续性121例1.31

122一、函数的连续性2、左右连续123二、函数的连续区间1、开区间上的连续函数定义若函数f(x)在开区间（a,b）内每一点都连续，则称f(x)在开区间（a,b）内连续，或称函数f(x)为区间(a,b)内的连续函数，区间（a,b）称为函数的连续区间。思考：如何定义闭区间[a,b]或半开半闭区间[a,b）或（a,b]上的连续函数呢？124二、函数的连续区间2、闭区间上的连续函数125思考首先观察下列函数在点的连续性126三、函数间断点及类型1.间断点及其形成原因127例1.32求下列函数间断点

128例1.32求下列函数间断点1292.间断点类型

第一类间断点（左右极限均存在的间断点）

第二类间断点：（左右极限至少一个不存在的间断点）若一个单侧极限为∞的间断点，则成为无穷性间断点。

130求函数

的间断点，并判定其类型.例1.33练习作业

习题1-4132闭区间上

连续函数的性质观察与思考

什么情况下可以判断函数的最大值、最小值？最值存在定理设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则有：函数f(x)在闭区间[a,b]上必有最大值和最小值。例：函数y=3x+1在[0,1]