（人教版）九年级数学上册举一反三 确定二次函数解析式的方法

PAGE1专题22.6确定二次函数解析式的方法【八大题型】【人教版】【题型1已知一点、两点或三点坐标确定二次函数解析式】 1【题型2利用顶点式确定二次函数解析式】 2【题型3利用交点式确定二次函数解析式】 2【题型4利用平移确定二次函数解析式】 3【题型5利用对称变换或旋转变换确定二次函数解析式】 4【题型6根据图象信息确定二次函数解析式】 4【题型7根据几何图形的性质确定二次函数解析式】 6【题型8根据数量关系确定二次函数解析式】 8【题型1已知一点、两点或三点坐标确定二次函数解析式】【例1】（2023·陕西西安·西安市庆安初级中学校联考模拟预测）二次函数y=ax2+bx+ca≠0中的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：x…−2−1013…y…−16−9−4−1−1…下列选项中，正确的是（

）A．这个函数的最大值为−1B．这个函数图象的对称轴为直线x=3C．这个函数的图象与x轴有两个不同的交点D．若点P−32,【变式1-1】（2023春·浙江杭州·九年级统考期末）若二次函数y=ax2a≠0A．−2,−3 B．2,3 C．2,−3 D．−2,3【变式1-2】（2023·上海·九年级假期作业）已知抛物线y=ax2+bx+ca≠0经过点A（A．2 B．3 C．4 D．t【变式1-3】（2023春·广东广州·九年级校考期中）已知抛物线y=13x2+bx+c过点C(1)求抛物线的函数表达式；(2)求抛物线的顶点B的坐标．【题型2利用顶点式确定二次函数解析式】【例2】（2023春·广东广州·九年级统考开学考试）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于O、A两点，顶点坐标B2,−2，直线l:y=mx+n与抛物线交于点

(1)分别求出抛物线的解析式和直线l的解析式；(2)根据图象，直接写出ax【变式2-1】（2023春·广东广州·九年级广州市第十三中学校考期中）已知抛物线经过点1,−1，并且当x=3时，y有最大值为5，求抛物线的函数关系式．【变式2-2】（2023春·九年级课时练习）已知二次函数的图像关于直线y=3对称，最大值是0，在y轴上的截距是－1，这个二次函数解析式为．【变式2-3】（2023·青海海东·统考二模）抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为−3,0，点C的坐标为0,−3，对称轴为直线x=(1)求该抛物线的表达式；(2)若点P在抛物线上，且S△POC=4(3)设点Q是线段AC上的动点，作QD∥y轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．【题型3利用交点式确定二次函数解析式】【例3】（2023·上海·九年级假期作业）已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是−4,0，2,0，将该抛物线向右平移3个单位长度与y轴的交点坐标为0,−5，则a+b+cA．5 B．−5 C．4 D．−9【变式3-1】（2023春·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C分别为坐标轴上的三个点，且OA＝1，OB＝3，OC＝4，则经过A，B，C三点的抛物线的表达式为．【变式3-2】（2023春·安徽合肥·九年级合肥市第四十五中学校考期中）二次函数图象经过（﹣1，0），（3，0），（1，﹣8）三点，求此函数的解析式．【变式3-3】（2023·山东菏泽·统考三模）在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点为A(−3,0)，B(1,0)两点，与y轴交于点C(0,−3)，顶点为D，其对称轴与x(1)求二次函数的解析式；(2)点P为第三象限内抛物线上一点，△APC的面积记为S，求S的最大值及此时点P的坐标．【题型4利用平移确定二次函数解析式】【例4】（2023·浙江·九年级假期作业）已知二次函数y=ax2−4ax+5aa≠0的图象先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得新抛物线的顶点恰好落在原抛物线图象上，则A．−34 B．−12 C．【变式4-1】（2023春·陕西榆林·九年级统考期末）已知抛物线：y=a(x−1)2−4【变式4-2】（2023春·山东济南·九年级统考开学考试）把抛物线y=ax2+bx+c先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得的抛物线解析式为y=x−22【变式4-3】（2023春·黑龙江大庆·九年级统考期末）如图，抛物线y1=−x

(1)抛物线y2(2)阴影部分的面积S=__________；(3)若再将抛物线y2绕原点O旋转180°得到抛物线y3，求抛物线【题型5利用对称变换或旋转变换确定二次函数解析式】【例5】（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）在同一平面直角坐标系中，若抛物线y=−ax2+3x−c与y=2x2−3x−c+a关于A．0 B．−4 C．4 D．−1【变式5-1】（2023·陕西·九年级专题练习）将抛物线y＝x2﹣2x﹣3沿x轴折叠得到的新抛物线的解析式为（）A．y＝﹣x2+2x+3 B．y＝﹣x2﹣2x﹣3 C．y＝x2+2x﹣3 D．y＝x2﹣2x+3【变式5-2】（2023春·山东威海·九年级校考期末）将抛物线y=2xA．y=−2x2−12x+16C．y=−2x2+12x−19【变式5-3】（2023春·陕西安康·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，将抛物线C1:y=x2+2x+3绕着它与y轴的交点旋转180°，得到抛物线CA．抛物线C2的开口向下 B．抛物线C2C．抛物线C2的顶点坐标为1,4 D．抛物线C2与【题型6根据图象信息确定二次函数解析式】【例6】（2023春·福建龙岩·九年级校考阶段练习）二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1．(1)求这个二次函数的解析式；(2)求该图象的顶点坐标；(3)观察图象，当y＞0时，求自变量x的取值范围．【变式6-1】（2023春·广东河源·九年级校考开学考试）若二次函数y=ax2+bx+a2−2（

A．−2 B．±2 C．−2 【变式6-2】（2023春·广东广州·九年级广州市第八十九中学校考期中）如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x−5经过点B

(1)求抛物线的解析式；(2)过点A的直线交直线BC于点M．当AM⊥x轴时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；【变式6-3】（2023春·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2）．若抛物线y=−32(x−ℎ)2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，A、B也关于抛物线对称轴对称，且【题型7根据几何图形的性质确定二次函数解析式】【例7】（2023·山东东营·统考中考真题）如图，抛物线过点O0,0，E10,0，矩形ABCD的边AB在线段OE上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上，设Bt,0，当t=2

(1)求抛物线的函数表达式；(2)当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？(3)保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形ABCD的面积时，求抛物线平移的距离．【变式7-1】（2023·安徽·校联考模拟预测）如图①，一块金属板的两边为线段OA，OB，OB⊥OA，另一边曲线ACB为抛物线的一部分，在这块金属板中截取四边形OACB，其中C点在曲线ACB上，且BC∥OA．以OA边所在直线为x轴，OB边所在直线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位代表1m．已知：OA=8

(1)求曲线ACB所在抛物线的函数表达式；(2)如图②，点P为线段AC上任意一点，设P点的横坐标为m，△OAP的面积为S，求S随m的变化情况【变式7-2】（2023·山东东营·统考中考真题）如图，抛物线过点O0,0，E10,0，矩形ABCD的边AB在线段OE上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上，设Bt,0，当t=2

(1)求抛物线的函数表达式；(2)当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？(3)保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形ABCD的面积时，求抛物线平移的距离．【变式7-3】（2023春·广东惠州·九年级惠州一中校考阶段练习）如图，抛物线y=ax2−2ax−3a与x轴交于A，B两点，点A，B分别位于原点的左、右两侧，与y轴交于点C，D为抛物线的顶点，已知△ABC(1)求抛物线的解析式．(2)P为抛物线对称轴上的点，当PA−PC取最大值时，求点P的坐标．(3)在（2）的条件下，E为抛物线上的动点，若S△BDE:S【题型8根据数量关系确定二次函数解析式】【例8】（2023·广东珠海·校考三模）如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为−1,0，且OA=OC=4OB，抛物线y=ax2+bx+ca≠0图像经过A，

(1)求A，C两点的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P的坐标及PD的最大值．【变式8-1】（2023春·福建福州·九年级统考期中）在平面直角坐标系xOy中，对称轴为直线x=1的抛物线y=ax2+2x+c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点B，C(1)求抛物线的解析式；(2)设抛物线y=ax2+2x+c与x轴的另一个交点为A，点P在抛物线y=ax2+2x+c上，直线PA交y轴于点E，过点C作①若△PCD的面积是△ACE面积的2倍，求点P的坐标；②连接BC交直线x=1于点H，当点P在抛物线对称轴右侧图象上，且在直线CD的上方时，记△ACE，△PCH，△PCD的面积分别为S1，S2，S3，若6S1【变式8-2】（2023·广东珠海·校考三模）如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为−1,0，且OA=OC=4OB，抛物线y=ax2+bx+ca≠0图像经过A，

(1)求A，C两点的坐标；