高二数学培优考试(附参考答案)

PAGEPAGE6参考答案一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．（1）命题“”的否定是 （）（A） （B）（C） （D）【解析】选C．全称命题的否定为特称命题．（2）设为等差数列的前项和，若，则 （）（A） （B） （C） （D）【解析】选A．∵，∴，．（3）已知方程表示椭圆，则的取值范围为 （）（A） （B） （C） （D）且【解析】选D．由题，，，且．（4）已知变量与正相关，且由观测数据算得样本的平均数，则由观测的数据得线性回归方程可能为 （）（A） （B） （C） （D）【解析】选A．回归直线经过样本中心点．（5）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点 （）（A）向右平移个单位 （B）向左平移个单位（C）向左平移个单位 （D）向右平移动个单位【解析】选B．，故向左平移个单位即可．（6）圆绕直线旋转一周所得的几何体的体积为 （）（A） （B） （C） （D）【解析】选C．直线经过圆的圆心，旋转所得的几何体是半径为的球．（7）若是两条不同的直线，垂直于平面，则“”是“”的 （）（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件【解析】选B．时，或．（8）由不等式确定的平面区域记为，不等式，确定的平面区域记为，在中随机取一点，则该点恰好在内的概率为 （）（A） （B） （C） （D）【解析】选D．本题考查几何概型．（9）若正数满足，则的最小值是 （）（A） （B） （C） （D）【解析】选C．由得，故，当且仅当，即时等号成立．（10）函数（为自然对数的底）的大致图象是 （）（A）（B）（C）（D）【解析】选A．．（11）已知为的重心且点满足，则点为 （）（A）边中线的中点 （B）边的中点（C）的重心 （D）边中线的三等分点（非重心）【解析】选D．利用三角形重心的性质得，再由重心三等分中线知点为边中线的三等分点（非重心）．（12）已知垂直竖在水平地面上相距米的两根旗杆的高分别为米和米，地面上的动点到两旗杆顶点的仰角相等，则点的轨迹是 （）（A）椭圆 （B）圆 （C）双曲线 （D）抛物线【解析】选B．如图，动点满足，故，面中建系计算可知点的轨迹是圆．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．（13）命题“若全是有理数，则是有理数”的否命题是▲．【答案】若不全是有理数，则不是有理数．（14）椭圆的两焦点为，是椭圆内部的一点，则的取值范围为▲．【答案】．（15）已知函数，若，则实数的取值范围是▲．【答案】．【解析】作出函数的图象可知其为上的增函数，故由解得．（16）设、分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上任一点，点的坐标为，则的最大值为▲．【答案】．【解析】．三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分10分）已知命题：“方程对应的曲线是圆”，命题：“椭圆的离心率为”．若这两个命题中只有一个是真命题，求实数的取值范围．【解析】若真，由得：．若真，则时，；时，．解得或．真假时，；假真时，．∴．（18）（本小题满分12分）在中，角的对边分别为．已知，，．（Ⅰ）求和的值；（Ⅱ）求的值．【解析】（Ⅰ），由正弦定理，；再由余弦定理，，即解得（Ⅱ），∴．

（19）（本小题满分12分）已知数列满足，．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设，，求数列的前项和．【解析】（Ⅰ）∵，∴是首项，公比为的等比数列，∴；∴（Ⅱ）∵，，∴．（20）（本小题满分12分）已知点，为平面上的动点，直线与斜率之积为，设动点的轨迹为曲线．（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）过曲线的一个焦点作直线与曲线交于两点，求之间的最短距离．【解析】（Ⅰ）设动点，则，由得曲线；（Ⅱ）不妨设直线经过点，由（Ⅰ）知直线的倾斜角不为，故可设，得．设，则有：，．∴．∴当，即直线时，之间的最短距离为．

（21）（本小题满分12分）如图，四边形与都是菱形，，．（Ⅰ）求证：面；（Ⅱ）求二面角的正切值．【解析】（Ⅰ）∵，，，∴面面，∵面，∴面；（Ⅱ）设，连结，则互相垂直平分，∵，∴，∵菱形中，，∴为正三角形，，∴三线两两垂直，面，过作于，连结，∵面，∴，∴面，∴二面角的平面角为且，设，由菱形中得，∴，∴中，，∴．（22）（本小题满分12分）如图，椭圆的左右焦点分别为,，过的直线交椭圆于两点，且．（Ⅰ）若，，求椭圆的标准方