2023年高考湖北卷数学(理科)试题及参考答案

2009年湖北省高考数学试卷〔理科〕一、选择题〔10550分〕1〔200湖北〕P={a|a〔，0+0，∈R}Q={b|b，+n〔，1，nR}是两个向量集合，则P∩Q=〔 〕A．{〔1，1〕} B．{〔﹣1，1〕}C．{〔1，0〕} D．{〔0，1〕}2〔200湖北〕设a为非零实数，函数y= 〔R，且≠ 〕的反函数是〔 〕A．y=D．y=

〔x∈Rx≠﹣〕B．y=〔x∈Rx≠﹣〕

〔x∈R，且x≠ 〕C．y= 〔x∈R，且x≠1〕3〔200湖北投掷两颗骰子得到其向上的点数分别为m和n则复〔m+n〔﹣m为实数的概率〔 〕A． B． C． D．4〔200•湖北〕函数y=co〔2x+ 〕2的图象F按向量a平移到′′的函数解析式为y=〔x，当y=〔〕为奇函数时，向量a可以等于．A〔，﹣2〕 B〔，〕C，2〕D，2〕5〔200湖北〕将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生能分到一个班，则不同分法的种数为〔 〕A．18 B．24 C．30 D．366〔200湖北〕设〔+3+++2n〕2]〔 〕A．﹣1 B．0 C．1 D．

+a2nx2n，则

[〔a0+a2+a4+…+a2n〕2﹣7〔200•湖北〕双曲线 的准线过椭圆 的焦点，则直线y=kx+2与椭圆至多有一个交点的充要条件是〔〕A．K∈[﹣，]B．K∈[﹣∞，﹣]∪[，+∞]C．K∈[﹣，] D．K∈[﹣∞，﹣]∪[，+∞]8〔200湖北”1004辆甲型货车和84002030010每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为〔〕A．2000元B．2200元C．2400元D．2800元9200•湖北〕设球的半径为时间t的函数〔．假设球的体积以均匀速度c半径A．成正比，比例系数为CB．成正比，比例系数为2C C．成反比，比例系数为CD．成反比，比例系数为2C10〔200•湖北〕古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种外形来争论数，例如：11，3，6，10，…21，4，9，16…这样的数成为正方形数．以下数中既是三角形数又是正方形数的是〔 〕A．289 B．1024C．1225D．1378二、填空题〔5525分〕1200•湖北〕关于x的不等式 的解集 ，则实数a= ．12〔200湖北〕如图是样本容量为200[10]内的频数为 ，数据落在〔2，10〕内的概率约为 ．13〔200湖北〕2008“中星九号”36000km6400km，则“中星九号”掩盖区域内的任意两点的球面距离的最大值约为 k〔结果中保存反余弦的符号．14〔200•湖北〕函数〕=′〔 〕cosx+sin，则〔 〕的值为 ．15〔200湖北〕数{n满足=〔m为正整数n+1= 假设=1，则m全部可能的取值为 ．三、解答题〔675分〕16〔200•湖北〕一个盒子里装有4张大小外形完全一样的卡片，分别标有数23，，；另一个盒子也装有4张大小外形完全一样的卡片，分别标有数3，4，5，6．现从一个盒子中任取一张卡片，其上面的数记为x；再从另一盒子里任取一张卡片，其上面的数记为y，记随机变量η=x+yη的分布列和数学期望．17〔200•湖北〕向〔co，siα=〔coβ，si=〔，0．求向量设α=

的长度的最大值；，⊥，求coβ的值．18〔200•湖北〕如图，四棱锥SABCD的底面是正方形S⊥平面ABCSD=2，点E是SD上的点，且DE=λa〔0＜λ≤2〕〔Ⅰ〕求证：对任意的∈〔，2，都有A⊥BE〔Ⅱ〕设二面角C﹣AE﹣D的大小为θ，直线BE与平面ABCD所成的角为ωtanθ•tanφ=1λ的值．19〔200•湖北〕数列n的前n项和令bn=2nan，求证：数列bn是等差数列，并求数列an的通项公式．令 ，试比较Tn与 的大小，并予以证明．20〔200•湖北〕某区从近期卖出的不同面积的商品房中随机抽取1000110m2～130m2的商品房 套．21〔200湖北〕在R上定义运算：2〔〕=﹣2，x=f〔x〕2〔．①假设函数f〔x〕在x=1处有极值 ，试确定b、c的值；

〔bR是常数〔=﹣2，②求曲线y=f〔x〕上斜率为c的切线与该曲线的公共点；③记〔x=|′x〔﹣1≤≤〕的最大值为，假设k对任意的c恒成立，试求k的取值范围〔参考公式：x33b2+43〔x+〔﹣2b〕2009年湖北省高考数学试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、选择题〔10550分〕1〔200湖北〕P={a|a〔，0+0，∈R}Q={b|b，+n〔，1，nR}是两个向量集合，则P∩Q=〔 〕A．{〔1，1〕} B．{〔﹣1，1〕}C．{〔1，0〕} D．{〔0，1〕}考点：交集及其运算。专题：计算题。分析：先依据向量的线性运算化简集合P，Q，求集合的交集就是查找这两个集合的公共元素，通过列方程组解得．解答：解：由可求得P={〔1，m〕}，Q={〔1﹣n，1+n〕}，再由交集的含义，有，所以选A．点评：此题主要考察交集及其运算，属于根底题．2〔200湖北〕设a为非零实数，函数y= 〔R，且≠ 〕的反函数是〔 〕A．y=D．y=

〔x∈Rx≠﹣〕B．y=〔x∈Rx≠﹣〕

〔x∈R，且x≠ 〕C．y= 〔x∈R，且x≠1〕考点：反函数。专题：计算题。分析：从条件中函数y=〔x∈R，且x≠〕中反解出x，再将x，y互换即得原函数的反函数，再依据函数的定义域求得反函数的定义域即可．解答：解：由函数y=〔x∈R，且x≠〕得：x= ，∴函数y=y=

〔x∈R，且x≠ 〕的反函数是：xR，且≠﹣．应选D．求反函数，一般应分以下步骤〔〕由解析式y=〔x〕反求出x〔〔〕交换x〔〕中y的〔3〕求出反函数的定义域〔一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域．3〔200湖北投掷两颗骰子得到其向上的点数分别为m和n则复〔m+n〔﹣m为实数的概率〔 〕A．B．C．D．考点：复数的根本概念；古典概型及其概率计算公式。专题：计算题。分析：按多项式乘法运算法则开放，化简为a+bi〔a，b∈R〕的形式，虚部为0，求出m、n的关系，求出满足关系的根本大事的个数，求出概率即可．解：由于m+nn﹣m=2mn2﹣i为实数所以n=2故m=n则可以取，共6种可能，所以 ，应选C．点评：此题考察复数的根本概念，古典概型及其概率计算公式，考察分析问题解决问题的力量，是根底题．4〔200•湖北〕函数y=co〔2x+ 〕2的图象F按向量a平移到′′的函数解析式为y=〔x，当y=〔〕为奇函数时，向量a可以等于．A〔，﹣2〕 B〔，〕C，2〕D，2〕考点：函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换；余弦函数的奇偶性。专题：计算题。分析：由左加右减上加下减的原则可确定函数y=cos〔2x+ 〕﹣2到y=﹣sin2x的路线，进而确定向量．y=co〔2x+

〕﹣2∴将函数y=cos〔2x+

〕﹣2向左平移 个单位，再向上平移2个单位可得到y=cos〔2x+∴=〔

〕=﹣sin2x，2〕应选B．5〔200湖北〕将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生能分到一个班，则不同分法的种数为〔 〕A．18 B．24 C．30 D．36考点：排列、组合的实际应用。专题：计算题。4 3 分析：由题意知此题可以先做出全部状况再减去不合题意的结果，用间接法解四名学生中有两名学生分在一个班的种数是C2，挨次有A3种，而甲乙被分在同一个班的有A34 3 解答：解：∵每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到一个班，4用间接法解四名学生中有两名学生分在一个班的种数是C2，4元素还有一个排列，有A3种，3而甲乙被分在同一个班的有A3种，3∴满足条件的种数是C2A3﹣A3=30应选C．

4 3 3点评：此题考察排列组合的实际应用，考察利用排列组合解决实际问题，是一个根底题，这种题目是排列组合中经常消灭的一个问题．6〔200湖北〕设〔+3+++2n〕2]〔 〕A．﹣1 B．0 C．1 D．

+a2nx2n，则

[〔a0+a2+a4+…+a2n〕2﹣考点：二项式定理的应用。专题：计算题。分析：此题由于求极限的数为二项式开放式的奇数项的系数和的平方与偶数项的系数和的平方的差，故可以把x赋值为1代入二项开放式中求出A=++a+3…2n1+2n= 再令x1可得到B=0﹣+2﹣3+4﹣a5+…﹣a2n﹣1+a2n=

，而求极限的数由平方差公式可以知道就是式子A与B的乘积，代入后由平方差公式即可化简为求得答案．解答：解：令x=1和x=﹣1分别代入二项式 +a2nx2n中得a0+a1+a2+a3+…a2n﹣1+a2n=

，a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+…﹣a2n﹣1+a2n=

由平方差公式- ﹣ 得0++4…+2n2﹣+3+++2n10++2++2n1+2n0﹣+2﹣+a﹣5…2n+2n〕- ﹣ ﹣═==所以 [〔a0+a2+a4+…+a2n〕2﹣〔a1+a3+a5+…+a2n1〕2]= =0﹣应选择B点评：此题主要考察了二项式定理的应用问题，主要是二项式系数和差的考察，并兼顾考察了学生的计算力量与划归力量以及求极限问题．7〔200•湖北〕双曲线 的准线过椭圆 的焦点，则直线y=kx+2与椭圆至多有一个交点的充要条件是〔 〕A．K∈[﹣，]B．K∈[﹣∞，﹣]∪[，+∞]C．K∈[﹣，] D．K∈[﹣∞，﹣]∪[，+∞]考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的应用；双曲线的简洁性质。专题：计算题。分析：先求得准线方程，可推知ab的关系，进而依据c2=a2﹣b2求得b，椭圆的方程可得，与直线y=kx+2联立y0求得k的范围．解答：解：依据题意，易得准线方程是x=±c2=a2﹣b2=4﹣b2=1b2=3所以方程是y=kx+23x2+〔4k2+16k〕x+4=0由△≤0解得K∈[﹣，]

=±1应选A点评：此题主要考察了直线与圆锥曲线的综合问题．解题的关键是先依据椭圆的性质求出椭圆的方程．8〔200湖北”1004辆甲型货车和84002030010每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为〔〕A．2000元B．2200元C．2400元D．2800元考点：简洁线性规划的应用。专题：计算题；数形结合。分析：依据题中的表达将实际问题转化为不等式中的线性规划问题，利用线性规划确定最值解答：解：设需使用甲型货车x辆，乙型货车y辆，运输费用z元，依据题意，得线性约束条件求线性目标函数z=400x+300y的最小值．解得当应选B．

时，zmin=2200．点评：在确定取得最大值、最小值时，应留意实际问题的意义，整数最优解．9200•湖北〕设球的半径为时间t的函数〔．假设球的体积以均匀速度c半径A．成正比，比例系数为CB．成正比，比例系数为2C C．成反比，比例系数为CD．成反比，比例系数为2C考点：球的体积和外表积。专题：计算题；应用题。分析：求出球的体积的表达式，然后球的导数，推出出球的外表积的增长速度与球半径的比例关系．解答：解：由题意可知球的体积为，

，利用面积的导数是体积，求，则c=′=π2〔′〔，由此可得而球的外表积为S〔〕=π2〔，所以V =′〔=π〔〕=R〕′〔，表即V =8πR〔t〕R′〔t〕=2×4πR〔t〕R′〔t〕=表应选D点评：此题考球的外表积，考察规律思维力量，计算力量，是中档题．10〔200•湖北〕古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种外形来争论数，例如：11，3，6，10，…21，4，9，16…这样的数成为正方形数．以下数中既是三角形数又是正方形数的是〔 〕A．289 B．1024C．1225D．1378考点：数列的应用；归纳推理。专题：计算题；定义。分析：依据图形观看归纳猜测出两个数列的通项公式，再依据通项公式的特点排解，即可求得结果．解答：解：由图形可得三角形数构成的数列通项，同理可得正方形数构成的数列通项bn=n2，则由bn=n2〔n∈N+〕可排解D，又由，与 无正整数解，应选C．点评：考察学生观看、分析和归纳力量，并能依据归纳的结果解决分析问题，留意对数的特性的分析，属中档题．二、填空题〔5525分〕1200•湖北〕关于x的不等式 的解集 ，则实数a ﹣2 ．考点：其他不等式的解法。专题：计算题。分析：先利用解分式不等式的方法转化原不等式，再结合其解集，得到x=﹣是方程ax﹣1=0的一个根，最终利用方程的思想求解即得．解答：解：∵不等式 ，∴〔a﹣1〔x+〕＜，又∵关于x的不等式 的解集 ，∴x=﹣是方程ax﹣1=0的一个根，〕﹣1=0，∴a=﹣2．故答案为：﹣2．于根底题．12〔200湖北〕如图是样本容量为200[10]内的频数为 64 ，数据落在〔2，10〕内的概率约为 0.4 ．考点：频率分布直方图。专题：计算题。分析：从直方图得出数落在[6，10]内的频率和数据落在〔2，10〕内的频率后，再由频率=，计算频数即得．解答：解：观看直方图易得数落在[6，10]内的频率=0.08×4；数据落在〔2，10〕内的频率=〔0.02+0.08〕×4；∴样本数落在[6，10]200×0.08×4=64，频率为0.1×4=0.4．640.4．点评：此题考察读频率分布直方图的力量和利用统计图猎取信息的力量．利用统计图猎取信息时，必需认真观看、分析、争论统计图，才能作出正确的推断和解决问题，同时考察频率、频数的关系：频=．13〔200湖北〕2008“中星九号”36000km6400km，则“中星九号”掩盖区域内的任意两点的球面距离的最大值约为 12800arccos k〔结果中保存反余弦的符号．考点：球面距离及相关计算。专题：计算题。分析：先求出球的半径，然后求出∠AOB的余弦值，求出角，再求其外接球面上两点A，B间的球面距离．解答：解：如下图，可得AO=42400，则在Rt△ABO中可得：cos∠AOB= ，所以l=cosθ×R=2∠AOB•R=12800arccos．球面距离的最大值约为：12800arccos ．故答案为：12800arccos ．点评：此题考察球面距离的计算，考察空间想象力量，规律思维力量，是根底题．14〔200•湖北〕函数〕=′〔 〕cosx+sin，则〔 〕的值 1 ．考点：导数的运算；函数的值。专题：计算题。sin〕=cosx及cos〕=sin，求出′x，然后把x等于

代入到f′〔x〕中，利用特别角的三角函数值即可求出f′〔利用特别角的三角函数值即可求出f〔

〕的值，把f′〔〕的值．

〕的值代入到f〔x〕后，把x=

代入到f〔x〕中，解答：解：由于f′〔x〕=﹣f′〔 〕•sinx+cosxf′〔f′〔

〕=﹣f′〔〕=﹣1

〕•sin

+cosf〔

〕=f′〔

〕cos +sin = 〔 ﹣1〕+ =11．点评：此题考察学生敏捷运用求导法则及特别角的三角函数值化简求值，会依据函数解析式求自变量所对应的函数值，是一道中档题．15〔200湖北〕数{n满足=〔m为正整数n+1= 假设=1，则m全部可能的取值为 4，5，32 ．考点：数列递推式。分析：假设a1=m为偶数，则为偶，故，，当仍为偶数时，能推导出m=32；当为奇数时，能推导出m=4；假设a1=m为奇数，可得m=5．〔1〕假设=m为偶数，则①当仍为偶数时，

为偶，故故②当为奇数时， =故 得m=4．〔2〕假设a1=m为奇数，则a2=3a1+1=3m+1为偶数，故… ，所以 =1可得m=5．

必为偶数故答案为：4，5，32．点评：此题考察数列的性质和应用，解题时要认真审题，认真解答，留意公式的合理运用．三、解答题〔675分〕16〔200•湖北〕一个盒子里装有4张大小外形完全一样的卡片，分别标有数23，，；另一个盒子也装有4张大小外形完全一样的卡片，分别标有数3，4，5，6．现从一个盒子中任取一张卡片，其上面的数记为x；再从另一盒子里任取一张卡片，其上面的数记为y，记随机变量η=x+yη的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差。专题：计算题。分析：随机变量η=x+y，依题意η的可能取值是5，6，7，8，9，10，11，结合变量对应的大事，依据相互独立大事同时发生的概率做出概率的值，写出分布列和期望．解答：解：随机变量η=x+yη5，6，7，8，9，10，11得到P〔η=5〕= ；P〔η=6〕=P〔η=7〕=P〔η=9〕=P〔η=11〕=

；P〔η=8〕=；P〔η=10〕=∴η的分布列为η η 5P67891011∴Eη=5×

+6×

+7×

+8×

+9×

+10× +11× =8点评：此题考察离散型随机变量的分布列和期望，考察相互独立大事同时发生的概率，考察利用概率学问解决实际问题，此题是一个综合题目．17〔200•湖北〕向〔co，siα=〔coβ，si=〔，0．求向量设α=

的长度的最大值；，⊥，求coβ的值．考点：平面对量数量积的运算；向量的模；数量积推断两个平面对量的垂直关系。专题：计算题。分析〔1〕利用向量的运算法则求出 ，利用向量模的平方等于向量的平方求出 的平方，利用三角函数的平方关系将其化简，利用三角函数的有界性求出最值．〔2〕利用向量垂直的充要条件列出方程，利用两角差的余弦公式化简得到的等式，求出值．解答解〔1〕 =〔co1，si，则| 2=〔co﹣2+si2=2〔﹣co．∵﹣coβ，∴0| 24，即0|

2．当co=﹣1|b+c|2所以向量的长度的最大值为2．〔2〕由〕可得 =〔co﹣，si，〔 〕=coco+sisi﹣co=co〔〕﹣co．∵⊥〔∴〔

，=0，即co〔=co．由

﹣=cos，即﹣

=2kπ±

〔k∈Z，∴=2k+ 或=2k，∈Z，于是co=0或co=1．点评：此题考察向量模的性质：向量模的平方等于向量的平方、向量垂直的充要条件；三角函数的平方关系、三角函数的有界性、两角差的余弦公式．18〔2009湖北〕如图，四棱锥SABCD的底面是正方形SD⊥平面ABCDSD=2a，点E是SD上的点，且DE=〔0〕〔Ⅰ〕求证：对任意的∈〔，2，都有AC⊥BE〔Ⅱ〕设二面角CAED的大小为，直线BE与平面ABCD所成的角为，假设taθta=1，求的值．考点：空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面所成的角；与二面角有关的立体几何综合题。专题：计算题；证明题。〔几何法〔Ⅰ〕由于S⊥平面ABCBD是BE在平面ABCD上的射影，由三垂线定理只要证AC⊥BD即可．〔Ⅱ〕θφSD⊥平面ABCD知，∠DBE=φC﹣AE﹣D的平面角可由三垂线定理法作出．再用λ表示出tanθtanφ，代入tanθ•tanφ=1，解方程即可．〔向量法〕由于DADDS两两垂直，故可建立空间直角坐标系，由向量法求解．〔Ⅰ〕写出向量和的坐标，只要数量积为0即可．〔Ⅱ〕分别求出平面ACE的法向量、平面ABCD与平面ADE的一个法向量，由夹角公式求出cosθsinφ，再由tanθ•tanφ=1求解即可．〔Ⅰ〕证法：如图，连接B、B，由地面ABCD是正方形可得AB．∵SD⊥平面ABCD，∴BDBE在平面ABCD上的射影，∴AC⊥BE〔Ⅱ〕11，由SD⊥平面ABCD知，∠DBE=φ，∵SD⊥平面ABCD，CD⊂ABCD，∴SD⊥CD．又底面ABCD是正方形，∴CD⊥AD，而SD∩AD=D，CD⊥平面SAD．连接AE、CE，过点D在平面SAD内作DE⊥AEFCFCF⊥AE，故∠CDF是二面角C﹣AE﹣D的平面角，即∠CDF=θ．Rt△BDE中，∵BD=2a，DE=λa∴tanφ=在Rt△ADE中，∵，DE=λa∴AE=a从而DF=在Rt△CDF中，tanθ= ．tanθ•tanφ=1，得0＜λ≤2，解得

即，即为所求．

=2，所以λ2=2．〔Ⅰ〕2：以D为原点，以DA．DC．DS的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如2所示的空间直角坐标系，则D0，，0A，0，，0，C〔，，〔00，∴ ，∴〔Ⅱ〕2：由〔I〕得

，即AC⊥BE．．设平面ACE的法向量为n〔，，，则由 ，得 即 取，得 ．易知平面ABCD与平面ADE的一个法向量分别为与．∴ ， ．∵0＜θ＜，λ＞0∴ta•ta=θ+si=cos⇔ 由0＜λ≤2，解得，即为所求．点评：此题考察空间线线垂直的证明、空间垂直之间的相互转化、空间角的求解，考察规律推理力量和运算力量．19〔200•湖北〕数列n的前n项和令bn=2nan，求证：数列bn是等差数列，并求数列an的通项公式．令，试比较Tn与的大小，并予以证明．考点：数列递推式；数列的求和；等差数列的性质；数学归纳法。﹣分析〔由题意知S=11+2=所以n=n﹣1n1+，﹣﹣﹣〔2〕 ， ，利用错位相减求和法可知Tn与

的大小关系等价于比2n2n+1的大小．猜测当n=1，2时，2n＜2n+1n≥3时，2n＞2n+1．然后用数学归纳法证明．〔1〕n≥2时，所以所以

2nan=2n﹣1an1+1

中，令n=1，可得S1=﹣a1﹣1+2=a1，即﹣bn=2nan，所以bn=bn﹣1+1，即当n≥2时，bn﹣bn﹣1=1﹣b1=2a1=1，所以数列bn1的等差数列于是bn=1+〔n﹣1〕•1=n=2nan，所以〔2〕1〕得所以①②由①﹣②得所以于是确定Tn与的大小关系等价于比较2n与2n+1的大小．猜测当n=1，2时，2n＜2n+1，当n≥3时，2n＞2n+1下面用数学归纳法证明：n=3时，明显成立假设当n=k〔k≥3〕时，2k＞2k+1成立则当n=k+1时，2k+1=2•2k＞2〔2k+1〕=4k+2=2〔k+1〕+1+〔2k﹣1〕＞2〔k+1〕+1所以当n=k+1时，猜测也成立．于是，当n≥3，n∈N*时，2n＞2n+1成立综上所述，当n=1，2时， ，n≥3时，点评：此题考察当数列的综合运用，难度较大，解题时要认真审题，留意挖掘隐含条件，解题时要留意数学归纳法的解题过程．20〔200•湖北〕某区从近期卖出的不同面积的商品房中随机抽取1000110m2～130m2的商品房 150 套．考点：频率分布直方图。专题：图表型。分析：依据频数直方图的意义，其他组的商品房的频数之和，又有总数为1000110m2130m2的商品房的频数．解答：解：由频数直方图可以看出：110m2130m21000﹣50﹣300﹣450﹣50=150套．故答案为：150．点评：此题考察读频数分