专题10椭圆及其性质（知识梳理专题过关）（解析版）

专题10椭圆及其性质【知识梳理】知识点一：椭圆的定义平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作，定义用集合语言表示为：注意：当时，点的轨迹是线段；当时，点的轨迹不存在．知识点二：椭圆的方程、图形与性质椭圆的方程、图形与性质所示．焦点的位置焦点在轴上焦点在轴上图形标准方程统一方程参数方程第一定义到两定点的距离之和等于常数2，即（）范围且且顶点、、、、轴长长轴长，短轴长长轴长，短轴长对称性关于轴、轴对称，关于原点中心对称焦点、、焦距离心率准线方程点和椭圆的关系切线方程（为切点）（为切点）对于过椭圆上一点的切线方程，只需将椭圆方程中换为，换为可得切点弦所在的直线方程焦点三角形面积①，（为短轴的端点）②③焦点三角形中一般要用到的关系是焦半径左焦半径：又焦半径：上焦半径：下焦半径：焦半径最大值，最小值通径过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=（最短的过焦点的弦）弦长公式设直线与椭圆的两个交点为，，，则弦长（其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式）【专题过关】【考点目录】【题型归纳目录】考点1：椭圆的定义与标准方程考点2：椭圆方程的充要条件考点3：椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题考点4：椭圆上两点距离的最值问题考点5：椭圆上两线段的和差最值问题考点6：离心率的值及取值范围考点7：椭圆的简单几何性质问题考点8：利用第一定义求解轨迹【典型例题】考点1：椭圆的定义与标准方程1．（2021·湖北·高二期中）椭圆的焦点为，，与轴的一个交点为，若，则（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【解析】在椭圆中，，，.易知.又，所以为等边三角形，即，所以，即.故选：C.2．（2021·黑龙江·齐齐哈尔市恒昌中高二期中）椭圆上点到上焦点的距离为4，则点到下焦点的距离为（

）A．6 B．3 C．4 D．2【答案】A【解析】椭圆，所以，即，设上焦点为，下焦点为，则，因为，所以，即点到下焦点的距离为；故选：A3．（2021·山东山东·高二期中）已知椭圆的两个焦点为，，M是椭圆上一点，若，，则该椭圆的方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得，又因为，所以，由，得，所以，又.因为椭圆的焦点在轴上，所以椭圆的方程是.故选：B.4．（2021·四川·遂宁高二期中（文））与椭圆有相同的焦点，且短半轴长为的椭圆方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】椭圆的标准方程为，该椭圆的焦点坐标为，设所求椭圆的长半轴长为，则，故所求椭圆的标准方程为.故选：B.5．（2021·全国·高二期中）设、分别是椭圆：（）的左、右焦点，过的直线与椭圆相交于、两点，且，则的长为______．【答案】【解析】由椭圆的定义得：，，又，，所以，由椭圆知，所以.故答案为：6．（2021·江苏省南通高二期中）求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点；(2)离心率为，且椭圆上一点到两焦点的距离之和为26．【解析】（1）由焦距是4可得，又焦点在y轴上，所以焦点坐标为，，由椭圆的定义可知，所以，所以，所以椭圆的标准方程为；（2）由题意知，即，又，所以，所以，当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的方程为；当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的方程为，所以椭圆的方程为或7．（2021·黑龙江·大兴安岭实验高二期中）（1）求焦点的坐标分别为，且过点的椭圆的方程.（2）求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点、的椭圆标准方程.【解析】（1）由题意，椭圆的焦点在轴上，设椭圆方程为由椭圆定义，故故椭圆的标准方程为：（2）不妨设椭圆的方程为：经过两点、故，解得即故椭圆的标准方程为：8．（2021·吉林油田高级高二期中）求满足下列条件的椭圆的标准方程.(1)与椭圆有相同的焦点，且经过点；(2)点，，，中恰有三个点在椭圆上.【解析】(1)椭圆的焦点坐标为，.所以设椭圆的标准方程为，由题意得解得所以椭圆的标准方程为.(2)根据椭圆的对称性，，两点必在椭圆上，因为点A和点C的纵坐标为，A，C两点并不关于y轴对称，故点C不在椭圆上.所以点，，三点在椭圆上.设椭圆方程为，代入A，D两点得解得所以椭圆的标准方程为.考点2：椭圆方程的充要条件9．（2021·安徽·芜湖高二期中）若方程表示椭圆，则下面结论正确的是（

）A． B．椭圆的焦距为C．若椭圆的焦点在轴上，则 D．若椭圆的焦点在轴上，则【答案】C【解析】因方程表示椭圆，则有，，且，即，A错误；焦点在轴上时，，解得，D错误，C正确；焦点在轴上时，则，焦点在轴上时，，B错误.故选：C10．（2021·北京工业大学附属高二期中）设表示的是椭圆；，则p是成立的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若表示的是椭圆，则且，即成立；反例：当时，表示的是圆，即不成立；即p是成立的充分不必要条件，故选：A.11．（2021·上海·高二期中）对于常数、，“”是“方程的曲线是椭圆”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当时，方程的曲线不一定是椭圆，例如：当时，方程的曲线不是椭圆而是圆；或者是，都是负数，曲线表示的也不是椭圆；故前者不是后者的充分条件；当方程的曲线是椭圆时，应有，都大于0，且两个量不相等，得到；由上可得：“”是“方程的曲线是椭圆”的必要不充分条件.故选:B.12．（多选题）（2021·江苏·无锡市第一女子高二期中）已知曲线（

）A．若，则是椭圆，其焦点在轴上B．若，则是椭圆，其焦点在轴上C．若，则是圆，其半径为D．若，，则是两条直线【答案】AD【解析】对于A，若，则可化为，因为，所以，即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确，故B错误；对于C，若，则可化为，此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故C不正确；对于D，若，则可化为，，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确；故选：AD.13．（2021·上海市宝山高二期中）已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是_______；【答案】【解析】由于方程表示焦点在y轴上的椭圆，所以，解得.故答案为：14．（2021·广西·钦州高二期中（文））若椭圆的焦点在y轴上，则实数k的取值范围是___________.【答案】【解析】因为椭圆的焦点在y轴上，所以，解得，即实数k的取值范围为.故答案为：考点3：椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题15．（2021·全国·高二期中）已知椭圆的左、右焦点为，，点P为椭圆上动点，则的值是______；的取值范围是______．【答案】

【解析】对椭圆，其，焦点坐标分别为，由椭圆定义可得：；设点的坐标为，则，且，故，又，故，即的取值范围为：.故答案为：；.16．（2021·安徽滁州·高二期中）已知、是椭圆的两个焦点，M是椭圆上一点，且，则的面积为______．【答案】20【解析】由，得，，所以，，所以，设，，所以，因为，所以，所以，所以的面积为．故答案为：.17．（2021·安徽·高二期中）设是椭圆的左，右焦点，点在上，为坐标原点，且，则的面积为___________.【答案】7【解析】由题意得，，，，∴在以线段为直径的圆上，∴，∴①，由椭圆的定义知，②，由①②，解得，.故答案为：7.18．（2021·山东师范大学附中高二期中）已知椭圆的左、右焦点为、，P在椭圆上，且是直角三角形，这样的P点有______个【答案】6【解析】当不是直角顶点时，为过焦点与轴垂直的直线与椭圆的交点，易知这样的点有4个；当是直角顶点时，在以为直径的圆上，，故圆方程为，联立方程：，解得和，两个点满足.综上所述：共有6个点满足条件.故答案为：6.19．（2021·上海市控江高二期中）设､分别是椭圆的左､右焦点，点P在椭圆C上，且满足，则___________.【答案】【解析】由题意，椭圆，可得，则，根据椭圆的定义，可得，又由，可得，所以，因为，即，解得.故答案为：.20．（2021·辽宁·大连市第三十六高二期中）已知，是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，，则的面积是（

）A．3 B．6 C． D．【答案】A【解析】因为，所以，则，所以，所以，故选：A21．（多选题）（2021·江苏·淮阴高二期中）已知椭圆，若P在椭圆上，、是椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的有（

）A．若，则 B．面积的最大值为C．的最大值为 D．满足是直角三角形的点有个【答案】ABC【解析】在椭圆中，，，，且，对于A选项，当时，则，由余弦定理可得，因为，所以，，A对；对于B选项，当点为椭圆的短轴顶点时，点到轴的距离最大，所以，面积的最大值为，B对；对于C选项，因为，即，所以，，C对；对于D选项，当或时，为直角三角形，此时满足条件的点有个，当为直角顶点时，设点，则，，，，所以，，，此时，满足条件的点有个，综上所述，满足是直角三角形的点有个，D错.故选：ABC.22．（多选题）（2021·广东·深圳市高级高二期中）已知椭圆M：的左右焦点分别为，左右顶点分别为，P是椭圆上异于的任意一点，则下列说法正确的是（

）A．周长为B．面积最大值为C．存在点P满足：D．若面积为，则点P横坐标为【答案】BD【解析】由题意，，，短轴一个端点，由题知，故周长为，故A错误；利用椭圆的性质可知面积最大值为，故B正确；因为，所以，从而，而是椭圆上任一点时，当是短轴端点时最大，因此不存在点满足，故C错误；因为，，则，，故D正确．故选：BD．23．（2021·湖南·长沙市明德高二期中）椭圆的左、右焦点为、，一直线过交椭圆于、，则的周长为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】在椭圆中，，则的周长为.故选：B.24．（2021·广东·广州市番禺区实验高二期中）已知，是椭圆的两个焦点，点M在C上，则的最大值为（

）．A．13 B．12 C．25 D．16【答案】C【解析】由椭圆方程知：；根据椭圆定义知：，（当且仅当时取等号），的最大值为.故选：C.考点4：椭圆上两点距离的最值问题25．（2021·陕西·长安高二期中（文））设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为________.【答案】【解析】根据题意，易知，设，则，即，故，因为，所以当时，.故答案为：.26．（2021·福建宁德·高二期中）点为椭圆上一点，为焦点，则的最大值为（

）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】C【解析】，，，即.所以的最大值为.故选：C27．（2021·河北·正定高二期中）椭圆上任一点到点的距离的最小值为（

）A． B． C．2 D．【答案】B【解析】设点的坐标为，其中，由，可得，又由，当时，取得最小值，最小值为.故选：B.28．（2021·上海市行知高二期中）设、是椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于、两点，则的最大值为______.【答案】【解析】由题意，椭圆，可得，即，根据椭圆的定义，可得，则，所以，当垂直于轴时，取得最小值，此时取得最大值，此时，所以的最大值为.故答案为：.考点5：椭圆上两线段的和差最值问题29．（2021·四川·树德高二期中（文））已知点，是椭圆内的两个点，M是椭圆上的动点，则的最大值为______．【答案】【解析】依题意，椭圆方程为，所以，所以是椭圆的右焦点，设左焦点为，根据椭圆的定义可知，，所以的最大值为.故答案为：30．（2021·天津市嘉诚高二期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P为椭圆上一点，点，则的最小值为__________．【答案】1【解析】依题意，椭圆的左焦点，右焦点，点P为椭圆上一点，点A在此椭圆外，由椭圆的定义得，因此，，当且仅当点P是线段与椭圆的交点时取“=”，所以的最小值为1.故答案为：131．（2021·安徽·池州市第一高二期中）已知椭圆C的方程为，M为C上任意一点，则的最小值为___________.【答案】【解析】由题意，，，所以为左焦点，为右焦点，所，当且仅当M､D､A共线时取等号.故答案为：.32．（2021·湖北·黄石市有色第一高二期中）设F1，F2分别是椭圆+=1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6，4)，则|PM|+|PF1|的最大值为____.【答案】15【解析】如图所示：在椭圆+=1中，a=5，b=4，c=3，所以焦点坐标分别为F1(-3，0)，F2(3，0).|PM|+|PF1|=|PM|+(2a-|PF2|)=10+(|PM|-|PF2|).∵|PM|-|PF2|≤|MF2|，当且仅当P在直线MF2上时取等号，∴当点P与图中的点P0重合时，有(|PM|-|PF2|)max=|MF2|==5，此时|PM|+|PF1|取最大值，最大值为10+5=15.故答案为：1533．（多选题）（2021·河北·石家庄市第四高二期中）已知椭圆的左、右点分别为，，定点，若点是椭圆上的动点，则的值可能为（

）A．7 B．10 C．18 D．20【答案】AB【解析】由椭圆方程得，则由椭圆定义可得，∴，，，，则.故选：AB.34．（2021·河北·石家庄二十高二期中）设是椭圆上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据题意作出如图所示的图象，其中、是椭圆的左，右焦点，在中可得：①，当且仅当、、三点共线时，等号成立，在中可得：②，当且仅当、、三点共线时，等号成立，由①②得：，由椭圆方程可得：，即，由椭圆定义可得：，所以，.故选：A.考点6：离心率的值及取值范围35．（2021·贵州·黔西南州金成实验高二期中（理））设是椭圆：上任意一点，为的右焦点，的最小值为，则椭圆的离心率为_________．【答案】【解析】是椭圆上任意一点，为的右焦点，的最小值为，可得，所以，即，所以，解得，所以．故答案为：．36．（2021·黑龙江·绥化市第一高二期中）已知椭圆上有一点，，是椭圆的左、右焦点，若使得为直角三角形的点有8个，则椭圆的离心率的范围是______．【答案】【解析】由椭圆的对称性，为直角，共有4个位置，为直角，共有4个位置，于是以为直径的圆与椭圆有4个交点.又离心率越大椭圆越扁，而当点P在y轴上时，，于是，若要满足题意，.故答案为：.37．（2021·广西柳州·高二期中（理））已知椭圆的左焦点为，过作一条倾斜角为的直线与椭圆交于两点，若为线段的中点，则椭圆的离心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设点，依题意，，相减得，因直线AB的倾斜角为，即直线AB的斜率为，又为线段的中点，则，，因此有，即，所以椭圆的离心率.故选：A38．（2021·宁夏·吴忠高二期中（文））已知椭圆的左、右焦点分别为、，点P为C上一点，若，且，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】点椭圆上的点，，且在中，即，整理得：即故选：D39．（2021·四川·阆中高二期中（文））已知，是椭圆：的左右焦点，若椭圆上存在一点使得，则椭圆的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设点，，因为，所以，即，结合可得，所以.故选：B.40．（2021·江西赣州·高二期中（文））已知椭圆，P是椭圆C上的点，是椭圆C的左右焦点，若恒成立，则椭圆C的离心率e的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，在椭圆上，，，两边都乘以化简后得：，，，又因为椭圆离心率，.故选：A.41．（2021·浙江浙江·高二期中）设椭圆的两焦点为，．若椭圆C上有一点P满足，则椭圆C的离心率的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由椭圆的几何性质知当点在短轴顶点时，最大，设短轴顶点为B，则，得，故选：A42．（2021·江苏·扬州高二期中）椭圆的左、右焦点为、，P是椭圆上一点，O为坐标原点，若为等边三角形，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】连接，根据题意，作图如下：因为为等边三角形，即可得：，则则，由椭圆定义可知：，故可得：．故选：A.考点7：椭圆的简单几何性质问题43．（2021·黑龙江·齐齐哈尔市第高二期中）焦点在x轴的椭圆的焦距是4，则m的值为（

）A．8 B．3 C．5或3 D．20【答案】A【解析】因为焦点在x轴，故，而焦距是4，故即，故选：A.44．（2021·辽宁·高二期中）已知椭圆的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则（

）A．2 B．1 C． D．4【答案】C【解析】因为椭圆的焦点在y轴上，故，且椭圆的标准方程为：，所以所以，故，故选：C.45．（2021·海南·琼海市嘉积第二高二期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率为1的直线交椭圆于A、两点，则等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设直线AB方程为，联立椭圆方程整理可得：，设，则，，根据弦长公式有：=．故B，C，D错误.故选：A.46．（2021·安徽·高二期中）已知圆经过椭圆C：的右焦点，上顶点与右顶点，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】椭圆C：，右焦点为，上顶点为，右顶点为，代入圆的方程，得，解得，所以该圆的方程为．故选：A47．（2021·广西玉林·高二期中（理））已知点P(k，1)，椭圆=1，点P在椭圆外，则实数k的取值范围为_____.【答案】【解析】因为点P(k，1)在椭圆=1外，所以>1，解得k<或k>，故实数k取值范围为.故答案为：考点8：利用第一定义求解轨迹48．（2021·辽宁沈阳·高二期中）已知圆：，定点，是圆上的一动点，线段的垂直平分线交于点，则点的轨迹的方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题可得圆心，半径为6，是垂直平分线上的点，，，点的轨迹是以为焦点的椭圆，且，，，故点的轨迹方程为.故选：B.49．（2021·吉林油田高级高二期中（文））已知的周长是20，且顶点B的坐标为，C的坐标为，则顶点A的轨迹方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题意可知，则点的轨迹是焦点在轴且中心为原点的椭圆，且点不在轴上，即故选：C50．（2021·云南省昆明市第十二高二期中）一个动圆与圆外切，与圆内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设动圆半径为，圆心为，根据题意可知，和，，，，故动圆圆心的轨迹为焦点在y轴上椭圆，且焦点坐标为和，其中,，所以，故椭圆轨迹方程为:，故选：A.51．（2021·广东·深圳外国语高二期中（理））△ABC的两个顶点坐标A（-4，0），B（4，0），它的周长是18，则顶点C的轨迹方程是（

）A． B．（y≠0）C． D．【答案】D【解析】因为，所以，所以顶点C的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，去掉A，B，C共线的情况，即，所以顶点C的轨迹方程是，故选：D.52．（2021·安徽·肥东县综合高中高二期中（理））已知两圆C1：（x-4）2+y2=169，C2：（x+4）2+y2=9.动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】设动圆的圆心，半径为圆