北师大版高中数学4-5第二章几个重要的不等式2排序不等式学案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精§2排序不等式1．了解排序不等式的基本形式，会运用排序不等式分析解决一些简单问题．2．体会运用经典不等式的一般思想方法．1．定理1设a,b和c,d都是实数，如果a≥b,c≥d，那么______≥ad＋bc，此式当且仅当______（或c＝d）时取“＝"号．【做一做1】若0＜a1＜a2,0＜b1＜b2，且a1＋a2＝b1＋b2＝1，则下列代数式中最大的是（)．A．a1b1＋a2b2B．a1a2＋b1b2C．a1b2＋a2b1D．eq\f（1，2）2．（1）顺序和、乱序和、逆序和：设实数a1,a2，a3,b1，b2,b3满足a1≥a2≥a3，b1≥b2≥b3,则a1b1＋a2b2＋a3b3≥a1bj1＋a2bj2＋a3bj3≥______________，其中j1，j2，j3是1,2,3的任一排列方式．上式当且仅当a1＝a2＝a3（或b1＝b2＝b3）时取“＝"号．通常称a1b1＋a2b2＋a3b3为__________,a1bj1＋a2bj2＋a3bj3为________,a1b3＋a2b2＋a3b1为________（倒序和)．(2)定理2（排序不等式）：设有两个有序实数组a1≥a2≥…≥an及b1≥b2≥…≥bn,则（顺序和)__________≥（乱序和)__________________≥(逆序和)________________．其中j1,j2，…，jn是1，2，3，…,n的任一排列方式．上式当且仅当a1＝a2＝…＝an（或b1＝b2＝…＝bn）时取“＝”号．【做一做2】设a1，a2,…，an是n个互不相等的正整数，求证:eq\f(1，2）＋eq\f(1，3)＋…＋eq\f(1,n)≤a1＋eq\f（a2,22)＋eq\f（a3,32）＋…＋eq\f（an，n2)．答案：1．ac＋bda＝b【做一做1】A∵a1b1＋a2b2＋a1b2＋a2b1＝(a1＋a2)(b1＋b2）＝1，a1b1＋a2b2－a1b2－a2b1＝（a1－a2）（b1－b2)＞0,∴a1b1＋a2b2＞a1b2＋a2b1，且a1b1＋a2b2＞eq\f（1,2）＞a1b2＋a2b1．又∵1＝a1＋a2≥2eq\r(a1a2），∴a1a2≤eq\f（1,4）．∵0＜a1＜a2，∴a1a2＜eq\f(1，4)．同理b1b2＜eq\f(1,4），∴a1a2＋b1b2＜eq\f(1,4）＋eq\f(1,4)＝eq\f（1,2)，∴a1b1＋a2b2＞eq\f（1，2）＞a1a2＋b1b2，∴a1b1＋a2b2最大．2．(1)a1b3＋a2b2＋a3b1顺序和乱序和逆序和(2）a1b1＋a2b2＋…＋anbna1bj1＋a2bj2＋…＋anbjna1bn＋a2bn－1＋…＋anb1【做一做2】分析：利用排序不等式来证明．证明：设b1，b2,…,bn为a1，a2，…,an的一个排列，且b1＜b2＜…＜bn，因为b1，b2,…，bn是n个互不相等的正整数,故b1≥1,b2≥2,…，bn≥n．又∵1＞eq\f（1，22）＞eq\f(1，32)＞…＞eq\f（1,n2），由排序不等式，得a1＋eq\f（a2，22)＋eq\f(a3,32)＋…＋eq\f（an,n2)≥b1＋eq\f(b2，22）＋…＋eq\f（bn,n2）≥1×1＋2×eq\f（1,22)＋…＋n×eq\f(1，n2）＝1＋eq\f(1,2)＋…＋eq\f（1,n)，∴eq\f(1，2)＋eq\f(1,3）＋…＋eq\f(1,n）≤a1＋eq\f（a2，22）＋eq\f（a3,32)＋…＋eq\f(an，n2)．1．对排序不等式的证明的理解剖析:对排序不等式的证明中，用到了“探究—猜想—检验—证明”的思维方法，这是探索新知识、新问题常用到的基本方法,对于数组涉及的“排序"及“乘积”的问题，又使用了“一一搭配”这样的描述，这实质上也是使用最接近生活常识的处理问题的方法，所以可以结合像平时班级排队等一些常识的事例来理解．对于出现的“逐步调整比较法”，则要引起注意，研究数组这种带“顺序”的乘积的和的问题时，这种方法对理解相关问题是比较简单易懂的．2．排序原理的思想剖析:在解答数学问题时,常常涉及一些可以比较大小的量，它们之间并没有预先规定大小顺序，那么在解答问题时，我们可以利用排序原理的思想方法，将它们按一定顺序排列起来，继而利用不等关系来解题．因此，对于排序原理,我们要记住的是处理问题的这种思想及方法,同时要学会善于利用这种比较经典的结论来处理实际问题．题型一所含字母大小顺序已确定的不等式的证明【例1】已知a，b，c为正数，a≥b≥c，求证：（1）eq\f（1，bc)≥eq\f(1,ca)≥eq\f(1,ab）;（2）eq\f(a5,b3c3）＋eq\f(b5,c3a3）＋eq\f(c5,a3b3)≥eq\f（1,a)＋eq\f（1，b)＋eq\f（1,c）．分析：由于题目条件中已明确a≥b≥c，故可以直接构造两个数组．反思：要利用排序原理解答相关问题，必须构造出相应的数组,并且要排列出大小顺序，因此比较出数组中的数的大小关系是解题的关键和基础．题型二对所证不等式中的字母的大小先作出假设再证明【例2】设a，b，c为正数，求证:eq\f（a,b＋c）＋eq\f(b，c＋a）＋eq\f(c,a＋b）≥eq\f(3，2）．分析：题目中没有给出a，b,c的大小关系，且a，b，c在不等式中的地位是对等的，要先设出a，b，c的大小顺序,再利用排序不等式加以证明．反思：当假设了a≥b≥c后，所用的两个数组可以完全确定了，但必须注意成立的前提是a，b,c三者的地位是对等的．题型三不等式中的字母的大小需讨论【例3】设x＞0,求证:1＋x＋x2＋…＋x2n≥（2n＋1）xn．分析：题中只给出了x＞0，但是对于x≥1，x＜1并不确定，因此,我们需要分类讨论．反思:分类讨论的目的在于明确两个序列的大小顺序关系．答案：【例1】证明:（1）∵a≥b＞0,于是eq\f（1,a）≤eq\f(1，b），又∵c＞0，∴eq\f（1，c)＞0．从而eq\f(1,bc)≥eq\f(1,ca）．同理,∵b≥c＞0,于是eq\f(1,b）≤eq\f（1，c)，又∵a＞0，∴eq\f（1，a)＞0．于是得eq\f(1，ca)≥eq\f（1，ab)．从而eq\f(1，bc)≥eq\f（1,ca）≥eq\f（1，ab）．(2)由(1)eq\f（1,bc)≥eq\f(1，ca）≥eq\f(1,ab），和顺序和≥乱序和，得eq\f(a5，b3c3）＋eq\f(b5,c3a3）＋eq\f（c5，a3b3)≥eq\f(b5，b3c3）＋eq\f(c5，c3a3）＋eq\f（a5，a3b3）＝eq\f(b2，c3)＋eq\f(c2,a3）＋eq\f（a2，b3）．又∵a2≥b2≥c2，eq\f（1,c3）≥eq\f(1，b3）≥eq\f（1,a3),∴eq\f（b2,c3）＋eq\f(c2，a3）＋eq\f（a2,b3)≥eq\f（c2,c3)＋eq\f(a2，a3）＋eq\f(b2,b3)＝eq\f（1,c）＋eq\f（1，a）＋eq\f(1，b）．综上，原不等式成立．【例2】证明：设a≥b≥c＞0⇒a＋b≥c＋a≥c＋b．∵a≥b≥c＞0，∴eq\f(1,b＋c)≥eq\f（1，a＋c）≥eq\f（1,a＋b)．由排序不等式：顺序和≥乱序和,得eq\f（a，b＋c）＋eq\f(b,a＋c)＋eq\f（c,b＋a)≥eq\f（b,b＋c)＋eq\f(c,a＋c）＋eq\f（a,b＋a),eq\f（a，b＋c）＋eq\f(b，c＋a)＋eq\f（c,a＋b)≥eq\f(c,b＋c）＋eq\f(a,a＋c)＋eq\f（b,b＋a）．将上面两个不等式相加再除以2，得eq\f（a,b＋c)＋eq\f(b,c＋a）＋eq\f（c，a＋b)≥eq\f(3,2)．当且仅当a＝b＝c时取“＝”号．【例3】证明：（1)当x≥1时,1≤x≤x2≤…≤xn,由排序不等式：顺序和≥逆序和,得1·1＋x·x＋x2·x2＋…＋xn·xn≥1·xn＋x·xn－1＋…＋xn－1·x＋xn·1，即1＋x2＋x4＋…＋x2n≥(n＋1)xn．①又因为x,x2，…，xn，1为序列1，x，x2，…，xn的一个排列，于是再次由排序不等式：乱序和≥逆序和，得1·x＋x·x2＋…＋xn－1·xn＋xn·1≥1·xn＋x·xn－1＋…＋xn－1·x＋xn·1，得x＋x3＋…＋x2n－1＋xn≥（n＋1)xn．②将①和②相加,得1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1）xn．③（2）当0＜x＜1时，1＞x＞x2＞…＞xn．①②仍然成立，于是③也成立．综合（1)（2），原不等式成立．1已知a,b,c∈R，则a3＋b3＋c3与a2b＋b2c＋c2A．a3＋b3＋c3＞a2b＋b2c＋c2aB．a3＋b3＋c3≥a2b＋b2cC．a3＋b3＋c3＜a2b＋b2c＋c2aD．a3＋b3＋c3≤a2b＋b2c2设a，b，c都是正数,M＝eq\f（bc，a)＋eq\f（ca,b）＋eq\f(ab,c），N＝a＋b＋c,则M，N的大小关系是()．A．M≥NB．M＜NC．M＝ND．M≤N3已知a，b，x，y∈R＋，且eq\f(1，a）＞eq\f(1,b），x＞y,则eq\f（x,x＋a)_______eq\f(y，y＋b)(填“＞”或“＜”)．4已知a，b,c为正数,求证：eq\f（b2c2＋c2a2＋a2b2,a＋b＋c)≥abc．答案：1．B根据排序不等式，取两组数a,b，c和a2，b2，c2．不妨设a≥b≥c，所以a2≥b2≥c2．所以a2×a＋b2×b＋c2×c≥a2b＋b2c＋c2a．当且仅当a＝b＝2．A由题意不妨设a≥b≥c＞0,则ab≥ac≥bc，eq\f(1，c）≥eq\f（1，b）≥eq\f（1,a)．由排序不等式，知ab×eq\f(1，c）＋ac×eq\f（1,b)＋bc×eq\f（1,a）≥ab×eq\f(1,b)＋ac×eq\f（1，a）＋bc×eq\f（1,c)，即M≥N．当且仅当a＝b＝c时等号成立．3．＞∵eq\f(1,a）＞eq\f(1,b)，∴b＞a＞0,又x＞y＞0，由排序不等式，知bx＞ay．∴eq\f(x,x＋a）－eq\f(y,y＋b）＝eq\f(bx－ay,x＋ay＋b)＞0,∴eq\f(x,x＋a)＞eq\f（y,y＋b）．4．证明：根据所证明的不等式中a,b,c的“位