江苏省南通巿启东中学2023年高二数学第一学期期末达标检测模拟试题含解析

江苏省南通巿启东中学2023年高二数学第一学期期末达标检测模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知椭圆的右焦点为，为坐标原点，为轴上一点，点是直线与椭圆的一个交点，且，则椭圆的离心率为（）A. B.C. D.2．函数，的最小值为（）A.2 B.3C. D.3．矿山爆破时，在爆破点处炸开的矿石的运动轨迹可看作是不同的抛物线，根据地质、炸药等因素可以算出这些抛物线的范围，这个范围的边界可以看作一条抛物线，叫“安全抛物线”，如图所示．已知某次矿山爆破时的安全抛物线的焦点为，则这次爆破时，矿石落点的最远处到点的距离为（）A. B.2C. D.4．直线的倾斜角为（）A.60° B.30°C.120° D.150°5．命题“，都有”的否定为（）A.，使得 B.，使得C.，使得 D.，使得6．已知圆柱的表面积为定值，当圆柱的容积最大时，圆柱的高的值为（）A.1 B.C. D.27．我们知道∶用平行于圆锥母线的平面（不过顶点）截圆锥，则平面与圆锥侧面的交线是抛物线一部分，如图，在底面半径和高均为2的圆锥中，AB、CD是底面圆O的两条互相垂直的直径，E是母线PB的中点，已知过CD与E的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的圆锥曲线的一部分，则该圆锥曲线的焦点到其准线的距离等于（）A. B.C. D.18．抛物线型太阳灶是利用太阳能辐射的一种装置．当旋转抛物面的主光轴指向太阳的时候，平行的太阳光线入射到旋转抛物面表面，经过反光材料的反射，这些反射光线都从它的焦点处通过，形成太阳光线的高密集区，抛物面的焦点在它的主光轴上．如图所示的太阳灶中，灶深CD即焦点到灶底（抛物线的顶点）的距离为1m，则灶口直径AB为（）A.2m B.3mC.4m D.5m9．已知，，若，则实数的值为（）A. B.C. D.210．甲、乙、丙、丁共4名同学进行党史知识比赛，决出第1名到第4名的名次（名次无重复），其中前2名将获得参加市级比赛的资格，甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你没有获得参加市级比赛的资格.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从这两个回答分析，4人的排名有（）种不同情况.A.6 B.8C.10 D.1211．已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（）A. B.C. D.12．已知梯形ABCD中，，，且对角线交于点E，过点E作与AB所在直线的平行线l.若AB和CD所在直线的方程分别是与，则直线l与CD所在直线的距离为（）A.1 B.2C.3 D.4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．与直线和直线的距离相等的直线方程为______14．设过点K(-1，0）的直线l与抛物线C：y2=4x交于A、B两点，为抛物线的焦点，若|BF|=2|AF|，则cos∠AFB=_______15．在中，内角，，的对边分别为，，，若，且，则_______16．已知正三棱柱中，底面积为，一个侧面的周长为，则正三棱柱外接球的表面积为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知圆心C的坐标为，且是圆C上一点（1）求圆C的标准方程；（2）过点的直线l被圆C所截得的弦长为，求直线l的方程18．（12分）已知等差数列满足，（1）求的通项公式；（2）若等比数列的前n项和为，且，，，求满足的n的最大值19．（12分）已知函数，其中为实数.（1）若函数的图像在处的切线与直线平行，求函数的解析式；（2）若，求在上的最大值和最小值.20．（12分）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD=2，E，F分别为AD和PB的中点.请用空间向量知识解答下列问题：（1）求证：EF//平面PDC；（2）求平面EFC与平面PBD夹角的余弦值.21．（12分）某工厂修建一个长方体无盖蓄水池，其容积为4800立方米，深度为3米．池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元．设池底长方形长为x米（1）求底面积，并用含x的表达式表示池壁面积；（2）怎样设计水池能使总造价最低?最低造价是多少?22．（10分）已知数列{an}是一个等差数列，且a2＝1，a5＝－5.(1)求{an}的通项an；(2)求{an}前n项和Sn的最大值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】设椭圆的左焦点为，由椭圆的对称性可知，则，所以，即可得到的关系，利用椭圆的定义进而求得离心率.【详解】设椭圆的左焦点为，连接，因为，所以，如图所示，所以，设，，则，所以，故选：D.2、B【解析】求导函数，分析单调性即可求解最小值【详解】由，得，当时，，单调递减；当时，，单调递增∴当时，取得最小值，且最小值为故选：B.3、D【解析】根据给定条件求出抛物线的顶点，结合抛物线的性质求出p值即可计算作答.【详解】依题意，抛物线的顶点坐标为，则抛物线的顶点到焦点的距离为，p>0，解得，于是得抛物线的方程为，由得，，即抛物线与轴的交点坐标为，因此，，所以矿石落点的最远处到点的距离为.故选：D4、C【解析】求出斜率，根据斜率与倾斜角的关系，即可求解.【详解】解：，即，直线的斜率为，即直线的倾斜角为120°.故选：C.5、A【解析】根据命题的否定的定义判断【详解】全称命题的否定是特称命题，命题“，都有”的否定为：，使得故选：A6、B【解析】设圆柱的底面半径为，则圆柱底，圆柱侧，则可得，则圆柱的体积为，利用导数求出最大值，确定值.【详解】设圆柱的底面半径为，则圆柱底，圆柱侧，∴，∴，则圆柱的体积，∴，由得，由得，∴当时，取极大值，也是最大值，即故选：B【点睛】本题主要考查了圆柱表面积和体积的计算，考查了导数的实际应用，考查了学生的应用意识.7、C【解析】由圆锥的底面半径和高及E的位置可得，建立适当的平面直角坐标系，可得C的坐标，设抛物线的方程，将C的坐标代入求出抛物线的方程，进而可得焦点到其准线的距离【详解】设AB，CD的交点为，连接PO，由题意可得PO⊥面AB，所以PO⊥OB，由题意OB=OP=OC=2，因为E是母线PB的中点，所以，由题意建立适当的坐标系，以BP为y轴以OE为x轴，E为坐标原点，如图所示∶可得∶，设抛物线的方程为y2=mx，将C点坐标代入可得，所以，所以抛物线的方程为∶，所以焦点坐标为，准线方程为，所以焦点到其准线的距离为故选：C8、C【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为，根据是抛物线的焦点，求得抛物线的方程，进而求得的长.【详解】由题意，建立如图所示的平面直角坐标系，O与C重合，设抛物线的方程为，由题意可得是抛物线的焦点，即，可得，所以抛物线的方程为，当时，，所以.故选：C.9、D【解析】由，然后根据向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】解：因，，所以，因为，所以，即，解得，故选：D.10、C【解析】由题可知甲不在前2名，乙不在最后一名，然后分类讨论可得答案.【详解】若甲是最后一名，则其他三人没有限制，4人排名即为，若甲是第三名，4人的排名为，所以4人的排名有种情况.故选：C11、B【解析】由双曲线的渐近线方程以及即可求得离心率.【详解】由已知条件得，∴，∴，∴，∴，故选：.12、B【解析】先求得直线AB和CD之间的距离，再求直线l与CD所在直线的距离即可解决.【详解】梯形ABCD中，，，且对角线交于点E，则有△与△相似，相似比为，则，点E到CD所在直线的距离为AB和CD所在直线距离的又AB和CD所在直线的距离为，则直线l与CD所在直线的距离为2故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】设直线方程为，根据两平行直线之间距离公式即可求解.【详解】设该直线为：，则由两平行直线之间距离公式得：，故该直线为：；故答案为：.14、【解析】根据已知设直线方程为与C联立，结合|BF|=2|AF|，利用韦达定理计算可得点A，B的坐标，进而求出向量的坐标，进而利用求向量夹角余弦值的方法，即可得到答案.【详解】令直线的方程为将直线方程代入批物线C:的方程，得令且，所以由抛物线的定义知，由|BF|=2|AF|可知，，则，解得：，，则A，B两点坐标分别为，则则.故答案为：15、【解析】代入，展开整理得，①化为，与①式相加得，转化为关于的方程，求解即可得出结论.【详解】因为，所以，所以，因为，所以，则，整理得，解得.故答案为:.【点睛】本题考查正弦定理的边角互化，考查三角函数化简求值，属于中档题.16、【解析】首先由条件求出底面边长和高，然后设、分别为上、下底面的的中心，连接，设的中点为，则点为正三棱柱外接球的球心，然后求出的长度即可.【详解】如图所示，设底面边长为，则底面面积为，所以，因此等边三角形的高为：，因为一个侧面的周长为，所以设、分别为上、下底面的的中心，连接，设的中点为则点为正三棱柱外接球的球心，连接、则在直角三角形中，即外接球的半径为，所以外接球的表面积为，故答案为：【点睛】关键点睛：求几何体的外接球半径的关键是根据几何体的性质找出球心的位置.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）或【解析】（1）计算圆的半径，写出圆的标准方程即可；（2）先验证斜率不存在时，是否满足题意，再分析斜率存在时，利用点到直线距离求出斜率即可得解.【小问1详解】由题意得：所以，圆C的标准方程为【小问2详解】当直线l斜率不存在时，直线l的方程为，此时所截得的线段的长为，符合题意当直线l的斜率存在时，设l的方程为，即，圆心到直线l的距离，由题意，得，解得，∴直线l的方程为，即综上，直线l的方程为或18、（1）（2）10【解析】(1)设等差数列公差为d，根据已知条件列关于和d的方程组即可求解；(2)设等比数列公比为q，根据已知条件求出和q，根据等比数列求和公式即可求出，再解关于n的不等式即可.【小问1详解】由题意得，解得，∴【小问2详解】∵，，又，∴，公比，∴，令，得，令，所以n的最大值为1019、（1）（2），【解析】（1）根据平行关系得到切线斜率，进而得到导函数在处的函数值，列出方程，求出，进而得到函数解析式；（2）先由求出，再利用导函数求单调性和最值.【小问1详解】，.由题意得：，解得：.，【小问2详解】，则，解得，，，当，解得：，即函数在单调递减，当，解得：或，即函数分别在，递增.又，，，，，.20、（1）证明见解析（2）【解析】（1）以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，然后求出平面的法向量，再求出，判断是否与法垂直即可，（2）分别求出平面EFC与平面PBD的法向量，利用向量夹角公式求解即可【小问1详解】因PD⊥底面ABCD，平面，所以，因为四边形为正方形，所以，所以两两垂直，所以以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，因为E，F分别为AD和PB的中点，所以，所以，因为,所以平面，所以平面的一个法向量为，因为，所以,因为平面，所以EF//平面PDC；【小问2详解】设平面的法向量为，因为，，所以，令，则，设平面的法向量为，因为,所以，令，则，设平面EFC与平面PBD夹角为，，则，所以平面EFC与平面PBD夹角的余弦值为21、（1)1600,（平方米）；（2）池底设计为边长40米的正方形时总造价最低，最低造价为268800元.【解析】（1）根据题意，由于修建一个长方体无盖蓄水池，其容积为4800立方米，深度为3米可得底面积为160