2023学年完整公开课版函数的概念

第一章集合与函数概念1.2.1函数的概念

情景导学初中学习的函数概念是什么？

设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，则称x是自变量，y是x的函数.其中自变量x的取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x的值对应的y的值的集合叫做函数的值域.高中是怎么定义函数概念的？请进入本节课的学习！

在数学中函数概念的解释有两个基本的派别，第一派叫古典派，它的主要目标是数学在物理和技术中的传统应用，以“变量”的概念为基础。初中数学里的函数概念属于这一派；第二派叫现代派（或集合论派），以“元素”概念为基础，函数概念的外延更广，用于所有传统的数学应用和新近出现的新的应用领域．

下面我们就以元素的概念为基础，研究函数的概念及构成要素.1.理解函数的概念,了解构成函数的三要素.（重点、难点）2.会判断给出的两个函数是否是同一函数.3.能正确使用区间表示数集.（易混点）4.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域.（重点）

学习目标观察下列三个实例有什么不同点和共同点？1.炮弹的射高与时间的变化关系问题

一枚炮弹发射后,经过26s落到地面击中目标,炮弹的射高为845m,且炮弹距地面的高度h(单位:m)随时间t(单位:s)变化的规律为:h=130t-5t2.探究1函数的概念

问题探究

这里，炮弹飞行时间t的变化范围是数集A={t|0≤t≤26},炮弹距地面的高度h的变化范围是数集B={h|0≤h≤845}.从问题的实际意义可知，对于数集A中的任意一个时间t，按照对应关系h=130t-5t2,在数集B中都有唯一确定的高度h和它对应.2.南极臭氧层空洞面积与时间的变化关系问题

近几十年来,大气层中的臭氧迅速减少,因而出现了臭氧层空洞问题.如下图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979～2001年的变化情况.由图中的曲线可知，时间t的变化范围是数集A={t|1979≤t≤2001}，臭氧层空洞面积S的变化范围是数集B={S|0≤S<26}.并且，对于数集A中的每一个时刻t，按照图中的曲线，在数集B中都有唯一确定的臭氧层空洞面积S和它对应.3.“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题时间(年)19911992199319941995199619971998199920002001城镇居民恩格尔系数（﹪）53.852.950.149.949.948.646.444.541.939.237.9

国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低,恩格尔系数越低,生活质量越高.如下表所示“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数情况.(恩格尔系数=食物支出金额/总支出金额)“八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况三个实例有什么共同点和不同点？不同点实例1是用解析式刻画变量之间的对应关系，实例2是用图象刻画变量之间的对应关系，实例3是用表格刻画变量之间的对应关系.共同点（1）都有两个非空数集.（2）两个数集之间都有一种确定的对应关系.

观察思考函数的概念

设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.

概念解析1.如何理解“”？提示：当a为常数时，f(a)表示的是自变量x=a时对应的函数值，是一个常数;而f(x)表示y是变量x的函数,是函数符号.提示：符号y=f(x)表示“

y是变量x的函数”，它仅仅是函数符号，并不表示y等于f与x的乘积。

概念辨析1.对于函数y=f(x)，以下说法正确的有()①y是x的函数②对于不同的x,y的值也不同③f(a)表示当x=a时函数f(x)的值，是一个常量④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来A.1个B.2个C.3个D.4个B

学以致用(2)任意的x∈A，存在唯一的y∈B与之对应.(3)构成函数的三要素：定义域、值域、对应关系

(f：A→B).(1)A，B是非空数集.函数概念中的关键词

归纳总结2.下列可作为函数y=f(x)的图象的是（）ＡＢＣＤxxxxyyyyOOOO√关注是否一个自变量的值仅对应一个函数值Ｄ

学以致用例1已知函数(1)求函数的定义域.（2）求的值.(3）当a>0时，求f(a),f(a-1)的值.分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如前面所述的三个实例.如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合.

例题解析解：（1）有意义的实数x的集合是{x|x≥-3}，有意义的实数x的集合是{x|x≠-2}，所以，这个函数的定义域就是.(2)（3）因为a>0，所以f(a),f(a-1)有意义.1.已知f(x)=3x－2,x∈{0,1,2,3,5}，求f(0),f(3)和函数的值域.解：值域为

跟踪训练初中各类函数的对应关系、定义域、值域分别是什么？函数对应关系定义域值域正比例函数反比例函数一次函数二次函数RRRRR

总结升华y=x与是同一函数吗？提示：不是，定义域不同探究2相等函数思考1：思考2:两个函数相等与表示自变量和函数值的字母有关吗？提示：因为函数是两个数集之间的对应关系，所以至于用什么字母表示自变量是无关紧要的，如f(x)=3x+4与f(t)=3t+4表示相等函数.

问题探究思考3：如何判断两个函数是否为同一函数?提示：构成函数的三个要素是对应关系f、定义域A、值域{f(x)|x∈A}，只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等(或为同一函数)．

思考辨析例2下列函数中哪个与函数y=x相等()A.B.C.D.B如果两个函数定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等（或为同一函数）关注函数的三要素

例题解析2.下列两个函数是否表示同一个函数？（1）（2）（3）（4）是不是，定义域不同不是，定义域不同不是，对应关系不同

跟踪训练抽象函数的定义域抽象函数的定义域抽象函数的定义域总结：函数y=f(x)的定义域是（a，b），求f[g(x)]的定义域，其方法是：利用a<g(x)<b，求得x的范围就是f[g(x)]的定义域；

可简要概括为：１.定义域仅指x的取值；２.对同一对应法则括号里的整体范围一致抽象函数的定义域定义域就是指x的取值范围前后整体范围一致定义域就是指x的取值范围总结：函数y=f[g(x)]的定义域是（a，b），求f(x)的定义域，其方法是：利用a<x<b，求得g(x)的范围就是f(x)的定义域；抽象函数的定义域定义域就是指x的取值范围抽象函数的定义域定义域就是指x的取值范围前后整体范围一致抽象函数的定义域本课小结复习并巩固了函数的概念进一步完善了函数定义域的求法——抽象函数的定义域方法总结：1.函数y=f[g(x)]的定义域是（a，b），求f(x)的定义域，其方法是：利用a<x<b，求得g(x)的范围就是f(x)的定义域；2.函数y=f(x)的定义域是（a，b），求f[g(x)]的定义域，其方法是：利用a<g(x)<b，求得x的范围就是f[g(x)]的定义域；可简要概括为：１.定义域仅指x的取值；２.对同一对应法则括号里的整体范围一致当堂检测判断两个函数是否相等应注意的几点：(1)相等函数的图像完全相同，因此，有时可以借助于函数的图像来判断两个函数是否相等.(2)值域是由定义域和对应关系决定的，因此，值域不相同时，两个函数必不相等.(3)检验两个函数的定义域和对应关系是否相同，要看它们的实质，即定义域是由哪些数所组成的，定义域中的数是如何对应到值域中的.(4)要注意的是：即使定义域和值域分别相同的两个函数也不一定相等.

总结升华1.给出四个命题：①定义域相同，值域相同的两个函数相等。②若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只有一个元素③因为f(x)=5(x∈R),这个函数值不随x的变化范围而变化，所以f(0)=5也成立④定义域和对应关系确定后，函数值也就确定了正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个C

学以致用设a，b是两个实数，而且a<b.我们规定：探究3区间的概念⒈满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为_______.⒉满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为_______.⒊满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为_________________，这里的_________都叫做相应区间的端点.[a，b](a，b)[a，b），（a，b]实数a与b

问题探究集合表示区间表示数轴表示{x|a＜x＜b}(a,b){x|a≤x≤b}[a,b]{x|a≤x＜b}[a,b){x|a＜x≤b}(a,b]{x|x＜a}(-∞,a){x|x≤a}(－∞,a]{x|x＞b}(b,+∞){x|x≥b}[b,+∞){x|x∈R}(－∞,+∞)。。ab..ab.。ab。a。b.a.b数轴上所有的点ba。.思考：区间可以表示数集，数集一定可以用区间表示吗?提示：区间可以表示数集，但只能表示一些连续的实数集的子集，一些孤立的数集不一定可以用区间表示，如集合{1,2,3}不能用区间表示.

概念辨析注意：①区间是一种表示连续性的数集②定义域、值域经常用区间表示③实心点表示包括在区间内的端点，空心点表示不包括在区间内的端点。(1)区间是一个数集，所有的数集都可以用区间表示.()(2)因为区间是表示数集的一种形式，因此对于集合运算仍然成立.()判断：√×

概念辨析例3把下列数集用区间表示：(1){x|x≥-2}.(2){x|x＜0}.(3){x|-1＜x＜1或2≤x＜6}.解析：(1){x|x≥-2}用区间表示为［-2,+∞).(2){x|x＜0}用区间表示为(-∞，0).(3){x|-1＜x＜1或2≤x＜6}用区间表示为(-1，1)∪［2，6).

例题解析3.试用区间表示下列实数集

（1）{x|5≤x<6}（2）{x|x≥9}（3）{x|x≤-1}∩{x|-5≤x<2}（4）{x|x<-9}∪{x|9<x<20}

跟踪训练1.下列图象中能作为函数图象的是().ABCDD【解析】因为函数要求对应定义域P中任意一个x都有唯一的y值与之相对应，也就是说函数的图象与任意直线x=c（c∈P）都只有一个交点；选项A,B,C中均存在直线x=c与图象有两个交点，故不能构成函数.