《阅读与思考斐波那契数列》教学设计(部级优课)x-数学教案

海淀区教师进修学校附属实验学校课程建设成果学科：数学单元名称：斐波那契数列课时数：3课时年级：高一年级设计者：张国宏、张伟、牛慧敏单元主题:神奇的斐波那契数列【单元学习名称】数列【参与教师】张国宏、张伟、牛慧敏【所教科目】数学【所教年级】高一年级【单元大约所需时间】3课时【单元设计背景】在学校里，什么才是值得学习的知识？教师通过立足学科本质的理解，进行穿越学科边界的设计，激发学生思考与课程内容有关的现实世界，鼓励学生关注与课程内容相关的现实生活，进行更深入的思考和创造，实现为未知而学。数学的知识和现实各个领域常常奇妙而出乎意料地联系在一起:比如斐波那契数列是从兔子问题中抽象出来的，如果它在其它方面没有应用，它就不会有强大的生命力．发人深省的是，斐波那契数列确实在许多问题中出现，并不断激发学习者的灵感和创造力。斐波那契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：，而在美术、建筑、生物、物理、化学等领域，斐波纳契数列都有迁移应用。这就需要学习者以整体多元的跨学科进行学习。跨学科学习是一种整体化学习，将各个学科联结起来，培养一种宽泛的理解——所学习的概念、思想观点和思考模式都与学生和社会息息相关，为学习者提供一种考察情况和问题的全球化观点，学生可以将其运用于各种有意义的情境之中,是课程一体化或者是课程综合。我们的课程的培养目标是把学生培养成终身学习者和能够灵活解决问题的人，在过去的课程中，学生的学习脱离社会生活和个人经验，学科之间缺乏沟通，学科内部的知识之间缺乏联系。知识之间、学科之间、教学与生活之间的这种相互隔离严重地影响了学生素质的和谐发展。为改变这种现状，我们立足学科本质，实施穿越学科边界的课程，实现目的明确、基于各个学科、整体化的跨学科学习。新的数学课程标准中明确指出：要让学生在参与特定的数学活动，在具体情境中初步认识对象的特征，获得一些体验。数学是人类生活的工具；数学是人类用于交流的语言；数学能赋于人创造性；数学是一种人类文化等等。因此，新课程体系首先要求加强学科教学的综合化。我们在进行斐波那契数列单元教学的过程中，基于关注学生学习体验和发生，基于发现和创造性教育，积极开发穿越学科边界的课程，旨在引导学生成为学习的主体，让学生经历和体验知识的探索--发现--经历的过程，形成积极的内在学习动机，深刻理解学科本质，培养较高学科核心素养，实现利用整体化知识去解决现实问题的能力提升。数学核心素养的培养也需要整体性跨学科学习。数学核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学运算、数据分析等。数学核心素养可以理解为学生学习数学应当达成的有特定意义的综合性能力，核心素养不是指具体的知识与技能，也不是一般意义上的数学能力。核心素养基于数学知识技能，又高于具体的数学知识技能。核心素养反映数学本质与数学思想，是在数学学习过程中形成的，具有综合性、整体性和持久性。数学核心素养与数学课程的目标和内容直接相关，对于理解数学学科本质，设计数学教学，以及开展数学评价等有着重要的意义和价值,凸显了情感、态度、价值观的重要，强调了人的反省思考及行动与学习。我们研究的主题是《立足学科本质，穿越学科边界，以不同的方式认识世界----以神奇的斐波那契数列为例》，并试图进行穿越越学科的教学设计和探究。《斐波那契数列》是人教B版《普通高中课程标准实验教科书·数学·必修5》中以兔子问题引入的，是旨在学生在学习完数列（主要是等差数列和等比数列）后安排的数列的应用课。我们在单元设计中侧重学生自主探索、合作交流的学习能力，培养学生学习数学的兴趣，提高学习者解决问题的整体化多元化意识，引导学生做最亲近现实世界的学习者。【单元学习目标】通过“观察、发现、抽象”来认识数列次序产生美，体会斐波那契数列的广泛应用。通过兔子问题抽象出斐波那契数列，了解数列的发展史和应用。探究斐波那契数列的递推关系和性质，利用性质阐释美术中黄金分割美的奥秘。在经历感知、分析、抽象、归纳和应用的过程中培养学生的思维能力。能有意识用生物的光合作用效率等角度研究树枝排列规律，从美术设计的角度体会数列的次序在绘图中的作用，体会穿越数学学科体现应用价值，激发学习灵感和兴趣，提升学生学科核心素养。【单元学习活动及评估】单元学习活动设计持续性评估设计意图导入活动（挑战性任务）单元学习大任务：（挑战性学习任务）：根据斐波那契数列为学校校园开放日设计符合斐波那契数列的美丽logo。任务说明：斐波那契数列是以什么特性支撑“美”？次序支撑美丽在美学、建筑学、生物学等等都有广泛的应用，请同学们做出细致的研究后设计出自己的产品。活动1：通过大家提前的研学和短视频观看，汇报并回答问题：这些现象中找出了什么规律？树枝为什么按照斐波那契数进行排列？思维点拨：注意其中的数字产生的次序及其规律，并用宽泛多学科的知识思考其原因。活动2：鉴赏苹果Logo的美学设计原理并讨论完成问题：苹果Logo的设计有其规律，把这些圆弧的半径按次序排列在一起，有什么规律？为什么用斐波那契数来作为半径设计？1.能够积极领会任务，体会到综合学科整体化学习的必要性；学生能够展示在看视频的惊讶和激动后发现数学问题；2.能够通过鉴赏苹果logo的设计活动了解美丽的设计往往有其独特的设计原理。正是因为这些规律支撑了它的美丽。3.能够用数学思维观察、抽象、探究、发现花朵瓣数、树枝等是斐波那契数。深度把握学生认知元认知，引导学生审美观，通过感官刺激激发学生学习欲望，利用任务引领透过现象看本质。学生美的体验，体验其中的美，导入学习主题。探究活动（自主、探究、激发灵感、创新）活动3：探究数列次序规律问题1：兔子问题（学生自主研究）：设计兔子问题分组讨论分享：假设一对初生兔子要一个月才到成熟期，而一对成熟兔子每月会生一对兔子，那么，由一对初生兔子开始，12个月后会有多少对兔子呢？问题2：你能用数学语言和公式表示出来斐波那契数列吗？例1：有一段楼梯有10级台阶，规定每一步只能跨1级或2级，要登上10级台阶，有多少种走法？完成方式：独立思考，自主完成。解：我们尝试观察楼梯级数不同时走法的规律假设楼梯有n级，则有时，有种走法；时，有种走法；时，有种走法；时，有种走法；时，有种走法；···类似的，我们能得到，那么数列是斐波那契数列。我们可知，当时，，所以有89种走法可以登上10级台阶。例2：观察下列各式：…求的值问题3：你对斐波那契数列和斐波那契了解多少？教师点拨：讲解斐波那契数列发展史和斐波那契本人生平，并鼓励学生自己多查阅相关资料进行进一步了解学习。活动4:：探究数列性质问题1：:从哪些方面研究数列的性质呢？通项公式前n项和公式数列中的前n项和与项的关系数列中相邻两项的比的变换趋势数列中项的平方和的变化规律数列中相邻两项的差的变化规律……问题2：探索斐波那契数列的前n项和与项的关系，用数学式子进行证明问题3：请你探究斐波那契数列中相邻两项的关系（1）后一项与前一项的差的变化有什么规律？（2）计算数列的每一项与前一项的比值，你发现了什么规律？---------0.618例3：已知数列的第一项是1，以后的各项由公式给出，写出该数列的的前5项，探究的变化趋势。解：数列的前5项是；；；；；不难发现前5项的分子分别是，，，，；分母分别是，，，，。由此，我们可以推想：数列的第n项的分子是，分母是，。则有---------0.618问题4：请你探究斐波那契数列各项的平方和的规律，并回答如何用图形解释性质，实现数形统一，并画出图形中蕴含的螺旋线。问题5：《蒙娜丽莎》这幅画中用美术知识把线条抽取出来，解释黄金分割比吗？4.学生能够根据兔子问题列表归纳出相应的规律；5.能够通过合作探究、深度思考，并指向学科核心素养，发现数列的数学性质，并反复找到各种规律。6.能够进一步明确和理解黄金分割比为0.618；7.通过前面的合作探究重复激发思维力，研究数列的其它性质。8.能够独立完成抽象出数列的递推公式，并应用解决问题。9.能够根据研究数列性质的一般方法迁移应用，解决斐波那契数列的性质。归纳斐波那契数列的规律，给出递推公式，强调递推公式的严谨性，并说明理解是给出数列的一种方法，提升学生数据分析能力，指向数学抽象的核心素养。斐波那契人物介绍，数学家即是商业家，说明数学不是孤立的，他联系方方面面。了解斐波那契数列的发展史，体验人类的思维认知规律，提升学生数学素养。通过及时的例题训练学生的抽象建模能力，提升思维力。通过现象找出，再由规律找出它们的图形，从数到行，从行到数，提升学习思维力。利用研究数列的通性通法研究斐波那契数列的性质。综合展示活动（学以致用）完成单元任务，展示作品，并结合美术老师、数学老师的评价意见修改获得学习成果。学过斐波那契数列后，你还有什么好的想法？1、用斐波那契数列次序美设计logo的评价标准：画面美观大方。在设计中能够充分体现斐波那契数列的黄金分割比。体现你的穿越数学学科边界的意识，有自己独特的灵感和创造力。2、能有不局限于logo的其它符合这给数列的大胆猜想并积极付出行动实验。让学生成为整体化学习的主体，并在整体化学习中获得多元的知识来解决了综合问题。【综合实践活动1】1202年，意大利数学家斐波那契(LeonardoFibonacci)出版了他的《算盘全书(Liberabacci)》．在书中记载了一个有趣问题：如果一对兔子每月能生一对小兔(一雄一雌)，而每对小兔在它出生后的第三个月里，又能开始生一对小兔，假定在不发生死亡的情况下，由一对出生的小兔开始，分别写出第1个月到10个月每月后会有多少对兔子？学习探究任务通过前10个月兔子对数你能发现什么规律？并用数学语言、公式描述出来；2、探究自然界中的斐波那契数:（要求实物或图片并拍照用A4纸打印上交或制作ppt或短视频也可）（1）自行找出至少2种花朵，例如兰花、茉利花、百合花有个花瓣，毛茛属的植物有个花瓣，翠雀属植物有个花瓣，万寿菊属植物有个花瓣，紫菀属植物有个花瓣,雏菊属植物有个花瓣．（2）向日葵花盘内，种子是按对数螺线排列的，有顺时针转和逆时针转的两组对数螺线。两组螺线的条数往往成相继的两个斐波那契数，你的发现一般是。3、探究斐波那契数列的几个重要性质及简单应用。（至少写出2个以上性质，用A4纸书写或打印上交，制作ppt或短视频也可）【综合实践活动2：】阅读材料：一名13岁儿童利用斐波那契数列制作了一棵太阳能树，能源效率比普通光伏电池板高出20-50%。去年冬天AidanDwyer在树林里玩耍，发现树枝和树叶的分布遵守一定规律。他想到了斐波那契数列，于是开始动手验证自己的猜想。后来他把研究成果应用到太阳能领域，认为“根据特定方程式摆放太阳能电池可大大提高太阳能的效率”。这项研究让Aidan获得了一项美国专利，Aidan还被美国自然历史博物馆授予2011年度{年轻自然学家奖}。目前已经有人迫不及待地将他的发明进行商业化。开放性问题通过阅