2023-2024学年广西北海市高考数学质量检测模拟试题（一模）含解析

2023-2024学年广西北海市高考语文数学质量检测模拟试题（一模）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集，，，则可以（）A. B. C. D.2.已知复数，其中为虚数单位，则复数在复平面内对应的点的坐标为（）A. B. C. D.3.端午佳节，小明和小华各自带了一只肉粽子和一只蜜枣粽子．现在两人每次随机交换一只粽子给对方，则两次交换后，小明拥有两只蜜枣粽子的概率为（）A. B. C. D.4.已知某圆锥底面半径是高的一半，则其侧面展开图的圆心角的大小为（）A. B. C. D.5.展开式中，的系数为（）A.3 B.6 C.9 D.126.若函数在区间上既有最大值，又有最小值，则的取值范围为（）A. B. C. D.7.已知直线与双曲线两条渐近线交于两点，且点在第一象限.为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（）A. B. C.2 D.58.已知，，，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知变量服从正态分布，当从小变大时，则（）A.变大 B.变小C.正态分布曲线的最高点上移 D.正态分布曲线的最高点下移10已知，则（）A. B.C. D.11.已知等比数列的公比为q，前n项和为，且，下列命题正确的是（）A.若，则B若恒成立，则C.若，，成等差数列，则D.当时，不存在，使得，，成等差数列12.已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于、两点，过，两点分别作抛物线的切线，两切线交于点，则（）A.B.C.D.若的外接圆的直径为2，则直线的方程为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量，的夹角的余弦值为，，，则______．14.已知，且，，则的值为______．15.已知函数为奇函数，且当时，．则的解集为______．16.在平面直角坐标系中，已知圆：与直线交于，两点，过，分别作圆的切线，．若与交于点，且为线段的中点，则______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17.设等差数列的前n项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和．18.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．（1）求C的值；（2）若，求的周长的最大值．19.某校体育节组织比赛，需要志愿者参加服务的项目有：60米袋鼠跳、100米、200米、1500米、3000米、米接力．（1）志愿者小明同学可以在6个项目中选择3个项目参加服务，求小明在选择60米袋鼠跳服务的条件下，选择3000米服务的概率；（2）为了调查志愿者选择服务项目的情况，从志愿者中抽取了15名同学，其中有9名首选100米，6名首选米接力．现从这15名同学中再选3名同学做进一步调查．将其中首选米接力的人数记作，求随机变量的分布列和数学期望．20.如图，在四棱锥中，底面四边形是边长为的正方形，与交于点，底面，侧棱与底面所成角的余弦值为．（1）求到侧面的距离；（2）求平面与平面所成夹角的余弦值．21.在平面直角坐标系中，已知椭圆：焦距为2，过点的直线与椭圆交于两点.当直线过原点时，.（1）求椭圆的标准方程；（2）若存在直线，使得，求的取值范围.22.已知函数.（1）求的单调区间；（2）若在上恒成立，求证.

2023-2024学年广西北海市高考数学质量检测模拟试题（一模）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集，，，则可以是（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】根据补集的定义即可求解.详解】，所以集合中有元素1，2，3，故中不能有元素1，2，3．故选：D．2.已知复数，其中为虚数单位，则复数在复平面内对应的点的坐标为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】根据题意得，再分析求解即可.【详解】根据题意得：，所以复数在复平面内对应的点的坐标为.故选：C.3.端午佳节，小明和小华各自带了一只肉粽子和一只蜜枣粽子．现在两人每次随机交换一只粽子给对方，则两次交换后，小明拥有两只蜜枣粽子的概率为（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】根据给定条件，利用相互独立事件的概率公式计算即得.【详解】依题意，第一次两人交换相同的粽子的概率为，第二次小明用肉粽子换小华的蜜枣粽子的概率为，所以两次交换后，小明拥有两只蜜枣粽子的概率为．故选：D4.已知某圆锥的底面半径是高的一半，则其侧面展开图的圆心角的大小为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】根据圆锥的结构特征结合扇形的弧长公式运算求解.【详解】设底面半径为，高为，则，可得母线长，所以展开图的圆心角的大小为．故选：B．5.展开式中，的系数为（）A.3 B.6 C.9 D.12【正确答案】C【分析】用二项式定理将展开，进一步即可得到的系数.【详解】由题意，故的系数为．故选：C．6.若函数在区间上既有最大值，又有最小值，则的取值范围为（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】由题意，若要使在区间上既有最大值，又有最小值，只需，解不等式即可.【详解】若，则，因为函数在区间上既有最大值，又有最小值，所以，解得．故选：A．7.已知直线与双曲线的两条渐近线交于两点，且点在第一象限.为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（）A. B. C.2 D.5【正确答案】B【分析】根据给定的双曲线方程求出渐近线方程，再与直线方程联立求出点A，B的坐标，然后列式求出a，b的关系即可.【详解】双曲线的渐近线方程为或，显然直线与直线交点在第一象限，则有，即，由解得，即点，由解得，即点，而，即，整理得，所以双曲线的离心率.故选：B8.已知，，，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】构造函数得到，，，再构造函数比较出，，从而比较出大小.【详解】令，，则，当时，，所以在上单调递增，，故，令，，则在上恒成立，故在单调递减，故，所以，令，，则，故在上单调递减，故，即，构造，，则，令，则，令，则在上恒成立，故在上单调递增，又，故在恒成立，故在上单调递增，又，故在恒成立，故，即，，构造，，则，令，则，令，则在上恒成立，故在上单调递减，又，故在上恒成立，故在上单调递减，又，故在上恒成立，故在上单调递减，故，即，即，因为，故.故选：C方法点睛：麦克劳林展开式常常用于放缩法进行比较大小，常用的麦克劳林展开式如下：，，，，，二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知变量服从正态分布，当从小变大时，则（）A.变大 B.变小C.正态分布曲线的最高点上移 D.正态分布曲线的最高点下移【正确答案】BD【分析】根据题意，由正态分布概念及性质可得答案.【详解】当变大时，方差变大，数据离散程度变大，所以变小，故B正确，A错误；且正态分布曲线的最高点下移，故C错误，D正确．故选:BD．10.已知，则（）A. B.C. D.【正确答案】BC【分析】由不等式的性质逐一对每个选项分析即可.【详解】A：，，故A错误；B：，，故B正确；C：，故C正确；D：，故存在，，，使得：，故D错误．故选：BC．11.已知等比数列的公比为q，前n项和为，且，下列命题正确的是（）A.若，则B若恒成立，则C.若，，成等差数列，则D.当时，不存在，使得，，成等差数列【正确答案】BCD【分析】根据等比数列求和公式、通项公式及放缩法可判断A，分类讨论，当满足不等式恒成立时可求出判断B，由等差中项及等比数列的通项公式化简可判断C，由，，成等差数列及等比数列的求和公式化简得，由均值不等式判断方程无解即可判断D.【详解】当时，，即A错误；当时，不恒成立，当时，，则，所以，若，上式整理得，不恒成立，若，上式整理得，则，所以，即B正确；由题意可知，，所以，所以，所以，即C正确；因为，所以，整理可得，又，所以不存在符合题意的k，即D正确．故选：BCD12.已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于、两点，过，两点分别作抛物线的切线，两切线交于点，则（）A.B.C.D.若的外接圆的直径为2，则直线的方程为【正确答案】BCD【分析】联立直线与抛物线方程，由韦达定理即可求解A，根据焦半径公式，结合韦达定理即可求解B，利用导数求解斜率，即可判定C，根据直径，结合垂直关系即可求解D.【详解】，设：代入抛物线方程得，则，，故A错误；对于B：，，，故B正确；对于C：由得，所以，，，故，C正确；对于D：由C可知：,所以的外接圆直径即为，故，即，，故D正确．故选:BCD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量，的夹角的余弦值为，，，则______．【正确答案】【分析】直接由数量积、模长的计算公式计算即可.【详解】由题意．故答案为.14.已知，且，，则的值为______．【正确答案】##【分析】先由已知条件结合角的范围、商数关系以及平方关系分别求出的值，然后由两角差的正弦公式即可算出，结合即可得解.【详解】因为，所以，又，，所以，，又，，所以，所以，所以．故答案为.15.已知函数为奇函数，且当时，．则的解集为______．【正确答案】【分析】分和，根据奇函数的性质结合函数图象分析求解.【详解】当时，，则，令，可得，数形结合可知，当时，，即；当时，，即；所以的解集为；当时，则，因为为奇函数，则，可知，即，可得，解得；显然，不论函数在处是否有定义，均不满足.综上所述：的解集为．故答案为.16.在平面直角坐标系中，已知圆：与直线交于，两点，过，分别作圆的切线，．若与交于点，且为线段的中点，则______．【正确答案】##【分析】在切线图形中分别在两个直角三角形中计算的余弦值，从而构建关于参数的方程，求解即可.【详解】设，与相交于,因为为线段的中点，所以，半径，圆心到直线的距离，因为在直角三角形与直角三角形中，可得，所以，解得或，又为的中点，所以圆心在直线下方，所以，即．故答案为.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17.设等差数列的前n项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）根据题意，列出关于与的方程，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，由裂项相消法代入计算，即可得到结果.【小问1详解】设数列的公差为d，由题意可得，解得，∴.【小问2详解】由（1）可知，∴．18.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．（1）求C值；（2）若，求的周长的最大值．【正确答案】（1）（2）12【分析】（1）利用两角和的正弦公式化简即可求解；（2）利用余弦定理和基本不等式即可求出结果.【小问1详解】因为，所以，即，又，所以，所以，又，即；【小问2详解】因为，由余弦定理可知，，又因为，所以，所以，解得，当且仅当时，等号成立，所以，即，所以周长的最大值为12．19.某校体育节组织比赛，需要志愿者参加服务的项目有：60米袋鼠跳、100米、200米、1500米、3000米、米接力．（1）志愿者小明同学可以在6个项目中选择3个项目参加服务，求小明在选择60米袋鼠跳服务的条件下，选择3000米服务的概率；（2）为了调查志愿者选择服务项目的情况，从志愿者中抽取了15名同学，其中有9名首选100米，6名首选米接力．现从这15名同学中再选3名同学做进一步调查．将其中首选米接力的人数记作，求随机变量的分布列和数学期望．【正确答案】（1）（2）分布列见解析；期望为【分析】（1）记事件A为“选择60米袋鼠跳服务”，事件B为“3000米服务”，则所求概率为，由条件概率计算公式可得答案；（2）依题意，随机变量可以取0，1，2，3，后可得变量取不同值的概率及对应分布列.【小问1详解】记作事件为“选择60米袋鼠跳服务”，事件为“3000米服务”，则，则所以小明在选择60米袋鼠跳服务的条件下，选择3000米服务的概率；【小问2详解】依题意，随机变量可以取0，1，2，3，，，，，随机变量的分布列为0123所以．20.如图，在四棱锥中，底面四边形是边长为的正方形，与交于点，底面，侧棱与底面所成角的余弦值为．（1）求到侧面距离；（2）求平面与平面所成夹角的余弦值．【正确答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据给定条件，确定四棱锥为正四棱锥，求出，再建立空间直角坐标系，利用空间向量求出点到侧面的距离.（2）由（1）中坐标系，利用空间向量求出面面夹角余弦值即得.【小问1详解】在四棱锥中，正方形的对角线与交于点，底面，因此四棱锥是正四棱锥，是侧棱与底面所成的角，，在中，，，，以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，设平面的一个法向量为，则，令，得，所以点到侧面的距离.【小问2详解】由（