二轮复习数学思想系列之2数形结合思想(老师版)

教师辅导学案年级：高三辅导科目：数学学员姓名：授课类型数形结合思想教学目标复习高中数学中的重要思想方法——数形结合思想．教学内容一、数形结合思想 高考要求 数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思想和形象思维有机结合. 重点难点归纳 数形结合是中学数学中四种重要思想方法之一，对于所研究的代数问题，有时可研究其对应几何的性质使问题得以解决(以形助数)；或者对于所研究的几何问题，可借助于对应图形的数量关系使问题得以解决(以数助形)，这种解决问题的方法称之为数形结合.1. 数形结合与数形转化的目的是为了发挥形的生动性和直观性，发挥数的思路的规范性与严密性，两者相辅相成，扬长避短；2. 数形结合的本质是:几何图形的性质反映了数量关系，数量关系决定了几何图形的性质.3.实现数形结合，常与以下内容有关：（1）实数与数轴上的点的对应关系；（2）函数与图象的对应关系；（3）曲线与方程的对应关系；（4）以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；（5）所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义，如距离、斜率等。其中函数的图像是函数关系的一种直观、形象的表示，是运用数形结合思想方法的基础。4.意义：（1）数形结合是把数或数量关系与图形对应起来，借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究图形的性质，是一种重要的数学思想方法。它可以使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化。“数缺形时少直观，形少数时难入微”，利用数形结合的思想方法可以深刻揭示数学问题的本质；（2）函数的图像、方程的曲线、集合的文氏图或数轴表示等，是“以形示数”，而解析几何的方程、斜率、距离公式、向量的坐标表示则是“以数助形”；（3）在数学学习和解题过程中，要善于运用数形结合的方法来寻求解题途径，制定解题方案，养成数形结合的习惯，解题先想图，以图助解题。用好数形结合的方法，能起到事半功倍的效果，“数形结合千般好，数形分离万事休”。 典型例题【方程、不等式与图形的转化、代数与几何的转化】例1、方程的实根有___________个.答案：3例2、当时，恒成立．则实数的取值范围是．答案：类题1：方程的解可视为函数的图像与函数的图像交点的横坐标．方程实数解的个数为．答案：12类题2：已知关于的不等式组有唯一实数解，则实数的取值集合是_________.答案：类题3、若不等式对于恒成立，则实数a的取值范围是___________.答案：类题4、若关于x的方程有四个不同的实数根，则实数k的取值范围是．答案：例3、关于x的方程，的根分别为．则__________．答案：3类题：若满足满足＝（C）（A）(B)3(C)(D)4例4、若函数在上为增函数，则实数a、b的取值范围是___________.答案：x1x2xyO第58题图类题1：（10普陀一模）对任意的，若函数的大致图像为如图所示的一条折线（两侧的射线均平行于轴），试写出、应满足的条件x1x2xyO第58题图答案：类题2：设函数的图像关于直线对称，则的值为____________答案：3答案：a≥7答案：A答案：10.5答案：3例5、设定义域为R的函数，则关于的方程有7个不同实数解的充要条件是（C）A．且B．且C．且D．且类题1：已知函数若关于的方程有且仅有3个实数根(A)A．5．B．．C．3．D．．类题2：（10崇明一模）已知函数，关于的方程，若方程恰有8个不同的实根，则实数k的取值范围是.答案：例6、设是定义在R上的偶函数，对任意，都有且当时，内关于x的方程恰有3个不同的实数根，则的取值范围是_________________．答案：类题:已知是定义在上的奇函数，.当时，，则方程的解的个数为___.答案：2例7、如果函数在定义域的某个子区间上不存在反函数，则的取值范围是（D）类题：（10闵行一模）设函数的定义域为，若所有点构成一个正方形区域，则的值为.答案：.【几何意义】例1、已知向量，，对任意t∈R，恒有，则（C）．（A）（B）（C）（D）例2、非零向量与，对于任意的的最小值的几何意义为点A到直线OB的距离____.例3、已知集合，，若，则、之间的关系是（B）．．．．例4、已知复数满足（i是虚数单位），若在复平面内复数z对应的点为Z，则点Z的轨迹为（A）A．双曲线的一支B．双曲线C．一条射线D．两条射线答案：[-2,2]答案：8【解析几何中的形与数】例1、已知动点的坐标满足方程，则动点的轨迹是（A）A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.以上都不对例2、设实数满足，若对满足条件，不等式恒成立，则的取值范围是答案：类题1：椭圆上的点到直线的最大距离是 （D）A．3 B． C． D．类题2：已知点在椭圆上，则到直线的最短距离是答案：类题3：设，且，那么的最大值是 (D). A. B. C. D.例3、已知F是双曲线的右焦点，点，P是双曲线左支上的动点，则的最小值为(C)A.7B.8C.9D.13类题1：F是椭圆的右焦点，为椭圆内一定点，P为椭圆上一动点．则的最小值为

．答案：类题2：抛物线的动弦长为,则弦的中点到轴的最小距离为．答案：例3、（10闸北二模）已知方程的根大于，则实数满足()A． B．C． D．答案：A类题1：方程所表示的曲线与直线有交点，则实数的取值范围是。答案：类题2：（11长宁二模）（理）设、是双曲线的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（O为坐标原点），且则的值为（） A．2． B．． C．3． D．．答案：A例4、（10奉贤一模）（理）平面直角坐标系中，已知圆上有且仅有四个点到直线的距离为1，则实数c的取值范围是_________答案：类题1：若圆上有且仅有两个点到直线4x+3y=11的距离等于1，则半径R的取值范围是（C）．（A）R>1（B）R<3（C）1<R<3（D）R≠2类题2：（湖南卷）若圆上至少有三个不同点到直线:的距离为,则直线的倾斜角的取值范围是(B)A.[]B.[]C.[D.【方法拓展】（可不讲）1、设，求证：分析：本题直接证明较繁！如能由的结构形式，联想到两点间的距离公式，数形结合，以形助数，则抓住了知识间的内在联系，解法新颖，巧妙简洁。不妨设，构造如图的，其中则在中，有ABC2ABC2解：设则表示定点A（－1，－3）与动点连线的斜率，而动点P的轨迹为，从而转化为：求圆弧上动点P与定点A连线斜率的取值范围，如图。当直线AB与圆弧相切于B点时，取得最大值，即直线AB方程为解得3、求函数的值域。分析：利用斜率公式转化成两点的斜率问题，作出图像易知：这就是函数的值域4、设集合，，若存在实数，使得，则实数的取值范围是___________．解：集合A代表一（4，0）为圆心，1为半径的圆，集合B代表圆心在直线上运动的圆，并且此直线过定点（0，-2），由于两集合有交点，所以两圆圆心距小于两圆半径2和大于两圆半径差0。从而得到5、求函数的值域。解：由消去参数，得在同一直角坐标系中作出椭圆和直线系方程，（如图），当