高中数学基本不等式专题均值不等式分类解析

基本不等式专项分类解析1、基本不等式原始形式（1）若，则（2）若，则2、基本不等式普通形式（均值不等式）若，则3、基本不等式的两个重要变形（1）若，则（2）若，则特别阐明：以上不等式中，当且仅当时取“=”4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”5、惯用结论（1）若，则(当且仅当时取“=”）（2）若，则(当且仅当时取“=”）（3）若，则(当且仅当时取“=”）（4）若，则（5）若，则注：（1）当两个正数的积为定植时，能够求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，能够求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范畴、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．题型一：运用基本不等式证明不等式1、设均为正数，证明不等式:≥2、已知为两两不相等的实数，求证：3、已知，求证：已知，且，求证：已知，且，求证：题型二：运用不等式求函数最值、值域1、求下列函数的值域（1）（2）（3）（4）办法一、凑项1、已知，求函数的最小值；变式1：已知，求函数的最小值；变式2：已知，求函数的最大值；练习：1、已知，求函数的最小值；2、已知，求函数的最大值；办法二、凑系数1、当时，求的最大值；变式1：当时，求的最大值；变式2：设，求函数的最大值。2、若，求的最大值；变式：若，求的最大值；3、求函数的最大值；（提示：平方，运用基本不等式）变式：求函数的最大值；办法三、巧用“1”的代换求最值问题1、已知，求的最小值；变式1：已知，求的最小值；变式2：已知，求的最小值；变式3：已知，且，求的最小值。变式4：已知，且，求的最小值；变式5：（1）若且，求的最小值；（2）若且，求的最小值；变式6：已知正项等比数列满足：，若存在两项，使得，求的最小值；办法四、分离换元法求最值1、求函数的值域；变式：求函数的值域；2、求函数的最大值；（提示：换元法）变式：求函数的最大值；办法五、换元例1.求的值域。评注：分式函数求最值，普通直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再运用不等式求最值。即化为，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。办法六、在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的状况，应结合函数的单调性。例：求函数的值域。练习1．求下列函数的最小值，并求获得最小值时，x的值.2．已知，求函数的最大值.；3．，求函数的最大值.办法七、已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝eq\f(1,ab)的最小值.点评：①本题考察不等式的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知不等式出发求得的范畴，核心是寻找到之间的关系，由此想到不等式，这样将已知条件转换为含的不等式，进而解得的范畴.变式：1.已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。办法八、取平方1、已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝eq\r(3x)＋eq\r(2y)的最值.变式:求函数的最大值。题型三：基本不等式的综合应用1、已知，求的最小值2、（天津）已知，求的最小值；变式1：如果，求有关的体现式的最小值；变式2：（湖北武汉诊疗）已知，当时，函数的图像恒过定点，若点在直线上，求的最小值；3、已知，，求最小值；变式1：已知，满足，求范畴；变式3：（浙江）已知，，求最大值；基本不等式练习题（1）1、若实数x，y满足，求xy的最大值2、若x>0,求的最小值;3、若，求的最大值4、若x<0,求的最大值5、求(x>5)的最小值.6、若x，y，x+y=5，求xy的最值7、若x，y，2x+y=5，求xy的最值8、已知直角三角形的面积为4平方厘