电工基础 第二版 课件 谢水英 项目3、4 复杂直流电路、单相正弦交流电路

项目三复杂直流电路叠加定理3.4基尔霍夫定律3.1支路电流法3.2实际电源的等效变换3.3节点电压法3.5戴维南定理3.6含受控源电路的等效变换3.7▲典型问题

如图3-1为一个较基本也较典型的复杂电路，在已知电源与电阻值时，各支路电流怎么求解？有哪几种方法？图3-1典型复杂电路▲知识能力目标1．掌握求解复杂直流电路的最基本的二个定律：KCL、KVL。且能将此定律运用到支路法、节点电压法中，对电路进行分析求解。2．掌握叠加定理在线性电路中的应用；体会叠加思维的科学性。3．掌握戴维南定理在电路中的应用；理解等效的含义。4．掌握理想电压源与理想电流源的特点，熟练掌握实际电压源与实际电流源的等效变换。5．了解四种类型的受控源特点，了解含受控源电路的等效变换。3.1基尔霍夫定律3.1.1几个相关的电路名词3.1.2基尔霍夫电流定律（KCL）3.1.1几个相关的电路名词1．支路：电路中通过同一个电流的每一个分支。如图3-2中有三条支路，分别是BAF、BCD和BE。支路BAF、BCD中含有电源，称为含源支路。支路BE中不含电源，称为无源支路。3．回路：电路中的任一闭合路径。如图3-2中有三个回路，分别是ABEFA、BCDEB、ABCDEFA。4．网孔：内部不含支路的回路，也称独立回路。如图3-2中ABEFA和BCDEB都是网孔，而ABCDEFA则不是网孔。图3-2复杂电路2．节点：电路中三条或三条以上支路的汇交点。如图3-2中B、E（F、D）为两个节点。3.1.2基尔霍夫电流定律（KCL）1.内容2.数学表达式

即:

ＩK=0

任一时刻，流入电路中任一节点的电流之和等于流出该节点的电流之和。基尔霍夫电流定律简称KCL，反映了连接于同一节点上的各支路电流之间的关系对于节点B可以写出或改写为图3-2复杂电路

基尔霍夫电流定律不仅适用于任意节点，而且适用于电路的某一假想的闭合面，这个假想的闭合面称为广义节点。如下图所示的虚线圈即为广义节点。在这个闭合面内有三个节点a、b和c。3.推广可见，在任一瞬间，流入或流出任一闭合面的电流代数和恒等于零，或者说流出广义节点的电流之和等于流入该广义节点的电流之和。

对于节点a有：对于节点b有：对于节点c有：将三式相加则有：

所以，无论工作在什么情况下，晶体三极管3个电极的电流之间的关系，总是：发射极电流＝集电极电流＋基极电流。如图3-3所示的电路中，可以把三极管看作广义的节点，用KCL可列出Ie－Ib－Ic＝0,或：Ie＝Ib＋IcSIbICIebeC广义结点图3-3KCL的推广例3-1如图3-4所示电路，电流的参考方向已标明。若已知I1=2A，I2=-4A，I3=-8A，试求I4。图3-4例3.1图解：根据KCL可得3.1.3基尔霍夫电压定律（KVL）1.内容任一瞬间，作用于电路中任一回路各支路电压的代数和恒等于零。2.数学表达式：即

UK=0用于电路的某一回路时，必须首先假定各支路电压的参考方向并指定回路的循行方向（顺时针或逆时针），当支路电压与回路方向一致时取“＋”号，相反取“－”号。

在图3-2中，对于回路ABCDEFA，若按顺时针绕行方向，根据KVL可得根据欧姆定律，上式还可表示为即：说明：沿回路绕行方向，各电源电动势升的代数和等于各电阻电压降的代数和。图3-2复杂电路图3-6例3-2图例3-2求图3-6所示电路中U及UR。解：10Ω电阻上的电压，据欧姆定律可得：

顺时针绕行方向，对回路列KVL方程

图3-7例3-3图解：选回路绕行方向为顺时针方向，列KVL方程得由KVL的推广形式得或例3-3在图3-7中，已知R1＝4Ω，R2＝6Ω，US1

＝10V，US2

＝20V，试求UAC

。3.2支路电流法3.2支路电流法

支路电流法是以支路电流为未知量，应用KCL和KVL分别对节点和回路列出所需方程，组成方程组，然后求解出各支路电流的方法。一般来说，具有n个节点的电路，只能列出（n-1）个独立的KCL方程；具有m个独立回路，能列出m个独立的KVL方程。

支路电流法求解电路的步骤：1．标出支路电流参考方向和回路绕行方向；2．根据KCL列写节点的电流方程式；3．根据KVL列写回路的电压方程式；4．解联立方程组，求取未知量。图3-9例3-5图例3-5如图3-9所示，为两台发电机并联运行共同向负载RL供电。已知RL＝24ΩE1＝130V，R1＝1Ω

E2＝117V，R2＝0.6Ω，求各支路的电流及发电机两端的电压。解：选各支路电流参考方向如图所示，回路绕行方向均为顺时针方向。1.根据基尔霍夫电流定律

ＩK=0结点A的电流方程式：－I1－I2＋I＝0

-----（1）结点B的电流方程式：I1＋I2－I＝0因将结点A的方程乘以－1，即等于结点B的方程，所以以上两个方程中只有一个是独立的。

结论：结点电流的独立方程数比结点少一个，即n个结点，则可列（n－1）个独立方程。

2.根据基尔霍夫电压定律∑RKIK＝∑USK

ABCDA回路的电压方程：R1I1－R2I2＝E1－E2

``````（2）AEFBA回路的电压方程：R2I2＋RI＝E2

``````````（3）3.因回路电压方程数加结点电流方程数等于支路数3，也就是有3个待求电流I1、I2、I，所以方程(1)(2)(3)可以联立，代入数值，I1＝10A，I2＝-5A，I＝5A。

从该例的计算数据可知，为负值，表示电流的实际方向与参考方向相反。由此可得，第一台发电机产生功率，第二台发电机消耗（或吸收）功率。

电机两端电压U为

例3-6如图3-10所示电路，列出用支路电流法列写出求解各支路电流的方程组。

图3-10例3-6图

解：支路数为6条，方程数为6个，结点数为3个，独立的结点电流方程数为2个，网孔数为4个独立的KVL方程数为4个。

3.3实际电源的等效变换3.3.1实际电压源模型3.3.2

实际电流源模型3.3.3

实际电源的等效变换3.3实际电源的等效变换实际电源的两种电路模型：电压源模型电流源模型RLR0+–USIU+–电压源模型电流源模型U+–R0UR0ISIRL3.3.1电压源模型

一个实际电源可用一个理想电压源和一个内电阻相串联的理想电路元件组合来代替，称电压源模型。RLRs+–USIU+–电压源模型伏安特性

U=US－RsIUS

IUO当电压源模型开路时，输出电流I＝0，输出电压U＝理想电压源电压US。当电压源模型接负载时，输出电压小于理想电压源的电压U。当外电路的电阻R减小时，电流I增加，输出电压U随之下降ΔU。当电压源模型短路时，输出电压U＝0，电压US全部作用于内阻上，短路电流仅受内阻限制，即Is＝E/Rs

。

可见：①内阻越小，输出电流变化时输出电压的变化就越小，电压越稳定；②理想情况下，Rs＝0，U为定值，伏安特性是一条直线，为理想电压源。US

IUO

ΔU=RIUI理想电压源3.3.2电流源模型

一个实际电源可用一个理想电流源IS和内电阻Rs相并联的理想电路模型组合来表示，称电流源模型。伏安特性

当电流源短路时，输出电压U＝0，IS全部成为输出电流，即I＝IS。

U+–电流源模型RsURsISIIS

UIO

当电流源开路时，输出电流I＝0，IS从内阻是通过，内阻电压最大，即开路电压最大，UOC＝ISRs。当电流源接负载时，IS不能全部输出，有一部分在内阻上通过。当外电路的电阻增加时，内阻电流增大，内阻压降也增大，即电流源的电压U增加，输出电流ΔI减小。可见：①内阻越大，输出电压变化时输出电流的变化就越小，电流越稳定；

②理想情况下，内阻Rs无穷大，I为定值，伏安特性是一条直线，为理想电流源。理想电流源IS

UIO

ΔI=U/RsIU3.3.3实际电源的等效变换条件：输出电压和输出电流不变。

U=US

－IRsU=ISR's–IR's等效变换条件:US=ISRsRLRs+–USIU+–电压源模型电流源模型U+–R'sISIRL注意：

1.电压源模型是理想电压源与内阻串联，电流源模型是理想电流源与内阻并联。2.变换时两种电路模型的极性必须一致。3.理想电压源和理想电流源之间不能变换。RLRs+–USIU+–电压源模型电流源模型U+–RsISIRL

例3-7

已知电压源的电压电流参考方向如图3-14所示，求各电压源的功率，说明是产生功率还是消耗功率。图3-14例3-7图解：图3-14（a），电流从电源负极性端流入，从正极性端流出，电压、电流为非关联参考方向，应用可得

可见故电压源产生功率。图3-14（b），电压电流为关联参考方向，故有可见故电压源消耗功率。例3-8

将图3-15（a）所示电压源化为等效电流源；将图3-15（c）所示电流源化为等效的电压源。图3-15例3-8图

故可把图3-15（a）所示的电压源等效成图3-15（b）所示的电流源。同理，可把图3-15（c）所示的电流源等效成图3-15（d）所示的电压源。解:根据（3-7)式有例3-9图例3-9如图所示，在二端网络中，已知

US=6V，

IS=2A，

R1=2Ω，R2=3Ω，求二端网络的VCR方程,并画出二端的等效电路。解：在图(a)左边的电流源IS，转化成电压源U1,得:内电阻不变R1=2Ω故VCR方程为电压源U1与电压源Us合并后,总电压和总电阻分别是:电路图如右3.4叠加定理3.4.1叠加定理3.4.2叠加定理的应用3.4.1叠加定理一、概念

叠加原理内容：在线性电路中，有几个电源共同作用时，在任一支路所产生的电流（或电压）等于各电源单独作用时在该支路所产生的电流（或电压）的代数和。电路元件：线性元件非线性元件线性电路：由线性元件组成的电路。

叠加原理是反映线性电路基本性质的一条重要原理使用叠加定理时应注意以下几点：1.叠加定理只适用于线性电路。2.所谓某个电源单独作用，是指电路中只有这个电源作用，其它电源不作用。不作用的理想电压源用短路线代替，不作用的理想电流源用开路代替。3.将各个电源单独作用所产生的电流(或电压)叠加时，必须注意各电流（或电压）的方向。当分量的参考方向和总量的参考方向一致时，该分量取“+”，反之则取“-”。4.在线性电路中，叠加定理只能用来计算电路中的电压和电流，不能用来计算功率。这是因为功率与电压、电流之间不是线性关系。二、推导电压源转化为电流源的方法得：结论：等于理想电压源和理想电流源单独作用时的电流代数和（理想电压源看成短路，理想电流源看成开路）。3.4.2叠加定理的应用叠加定理可以把一个含有多电源的复杂电路分解为只含单个电源的简单电路进行计算，简化了计算过程。特别是电路中有不同频率电流同时作用时，把电路的分析简化为不同频率电源单独作用时的电路分析，使问题简化。

例如在电子线路中，由直流电源向晶体管提供静态工作点，在静态工作点的基础上放大交流信号，就是交、直流同时存在的电路。用直流通路和交流通路分别分析直流、交流分别作用时的情况，依据的就是叠加定理。为了满足叠加定理对电路的线性要求，规定交流信号必须是小信号，而且晶体管用微变等效电路来代替。图3-17例3-10图例3-10电路如图3-17（a）所示，已知应用叠加定理计算各支路电流。解：图示电路中含有两个电源，故可以采用叠加定理进行计算。当电压源单独作用时。电流源不作用，以开路替代，如图3-17(b)所示。则（2）当电流源单独作用时。电压源不作用，以短路线替代，如图3-17(c)所示，则

（3）应用叠加定理，得各支路电流

图(a)可视为图(b)和图（c）的叠加。(b)E1单独作用(c)E2单独作用E1R1R2+--+E2RI1I2I（a）原电路E1例3-11

用叠加定理重求例题3-5（求解各支路电流）。解：由(b)可得E1R1R2+-R（b）E1单独作用I1'I2'由(c)可得（c）E2单独作用由各电流的参考方向，考虑正负号的关系可得：其结果与支路电流法的求解结果完全相同。

3.5节点电压法

当电路中的独立节点数少而支路数较多时，采用节点电压法来求解电路的各支路电流及其他物理量比较简单。1．定义：以电路中各节点对参考点的电压(称为节点电压)为未知量，列KCL方程求解电路的方法。2．解题步骤：以如图3-19所示电路为例，用节点电压法求解电路的步骤为：3.5节点电压法图3-19多支路少节点复杂电路（1）

选定一个节点为参考点（零电位点），如图3-19中B点，并标上符号“⊥”。节点A与参考点之间电压UA作为未知量。（2）设各支路电流方向如图3-14所示，据KCL列出节点电流方程：（3）利用欧姆定律和KVL列写支路电流表达式，代入电流方程，求出节点电压UA。

，(4)由上面求出的节点电压UA，据电流表达式，求出各支路电流。将各支路电流表达式代入节点电流方程：整理后得节点电压方程：上面公式适用于所有只有一个独立节点的电路，其节点电压方程一般式为：

上式也称为弥尔曼定理。分母为各支路电导之和；分子为各支路电源电压与本支路电导积之代数和。注意：“代数和”是指当电源电压与节点电压同方向时，取“+”；反之，取“-”。例3-12设上图3-19中，设,,,采用点电压法求各支路电流。解:应用上面讨论得出的公式，可得节点电压：各支路电流：例3-13采用节电压法,重求例题3-5。图3-9例3-5结论：求得的各支路电流大小、电压与前面采用支路法、叠加定理求得的结果一致。解:节点电压各支路电流：3.6戴维南定理3.6.1戴维南定理3.6.2戴维南定理的应用

一、二端网络的概念

二端网络：具有两个出线端的部分电路。

无源二端网络：二端网络中没有电源。

有源二端网络：二端网络中含有电源。无源二端网络有源二端网络BAUS+–R1R2ISR3R4BAUS+–R1R2ISR33.6.1戴维南定理

AB无源二端网络+_USR0ABAB有源二端网络ABISR0无源二端网络可化简为一个电阻有源二端网络可化简为一个电源R0AB等效电源有源二端网络RLAB+U–IUOCRiB+_RLA+U–I二、戴维南定理

戴维南定理：任何一个线性有源二端网络，对外电路来说，总可以用一个电压源与电阻的串联模型来替代。电压源的电压等于该有源二端网络的开路电压，与电压相串联的电阻则等于该有源二端网络中所有电压源短路、电流源开路时的等效电阻。应用一：将复杂的有源二端网络化为最简形式例3-14

用戴维南定理化简图3-21(a)所示电路。解(1)求开路端电压在图3-21(a)所示电路中应用KVL

3.6.2戴维南定理的应用图3-21例3-10图或(2)求等效电阻将电路中的电压源短路，得无源二端网络，如图3-21(b)所示。可得(3)作等效电压源模型作图时，应注意使等效电源电压的极性与原二端网络开路端电压的极性一致，电路如图(c)所示。【补充】用戴维南定理重解例3-5（求电流I）

IIIRi+-UOCR

BA(b)戴维南等效电路

Ri-+Uoc

AR1R2+--+US1US2

B(c)求开路电压R1R2

B(d)求等效电阻R1R2+--+US1US2R

BA(a)

原电路IA

解：1.先将（a）图中点划线框内的有源二端线性网络，等效为一个电压源模型，如图（b）。其中理想电压源电压为UOC，内阻为Ri。

2.这个电压源模型的理想电压源电压等于A、B两端的开路电压UOC，如图（c）。所以UOC＝R2I1＋US2＝(0.6×8.13＋117)V＝122V3.内阻Ri为AB两端无源网络的入端电阻，如图（d）所以应用二：计算电路中某一支路的电压或电流当计算复杂电路中某一支路的电压或电流时，采用戴维南定理比较方便。例3-15

用戴维南定理计算图3-22(a)所示电路中电阻上的电流。解：（1）把电路分为待求支路和有源二端网络两个部分。断开待求支路，得有源二端网络，如图3-22(b)所示。图3-22例3-11图（2）求有源二端网络的开路端电压。因此时，由图b)可得

将有源二端网络中的电压源短路、电流源开路，可得无源二端网络，如图3-22(c)所示，则（3）求等效电阻(4)画出等效电压源模型，接上待求支路，电路如图3-22(d)所示。所求电流为应用三：分析负载获得最大功率的条件例3-16试求例3-11中负载电阻RL的功率。若RL为可调电阻，问RL为何值时获得的功率最大？其最大功率是多少？由此总结出负载获得最大功率的条件。解：（1）利用例3-11的计算结果可得：（2）若负载是可变电阻，由图(d)，可得则RL从网络中所获得的功率为上式说明：负载从电源中获得的功率取决于负载本身的情况。当负载开路（无穷大电阻）或短路（零电阻）时，功率皆为零。当负载电阻在零到无穷大之间变化时负载可获得最大功率。这个功率最大值应发在的时候，经算得:

综上所述，负载获得最大功率的条件是负载电阻等于等效电源的内阻即RL=Req，电路的这种工作状态称为电阻（或阻抗）匹配。电阻匹配的概念在电子技术中有着重要的应用，有关内容可参阅变压器中的相关内容。I5I5已知：R1=5

、R2=5

R3=10、R4=5US

=12V、R5=10BADCUS–+R3R4R1R2R5有源二端网络图(b)R5BADCUS–+R3R4R1R2图(a)【补充】试用戴维南定理求电流I5。(1)求开路电压UOCUOC+–I1I2

UOC=I1R2–I2R4=(51.2–5

0.8)V

=2V或：

UOC=I2R3–I1R1=2V

解：先将a图中点划线框内的有源二端线性网络，等效为一个电压源模型，如图(b)。US–+ACR3R4R1R2DB图(c)解:

(2)求等效电源的内阻Ri从a、b看进去，R1和R2并联，R3和R4并联，然后再串联。CR3R4R1R2DBRi电压源短路图(d)解：(3)画出等效电路求电流I5I5ABDCUS–+R3R4R1R2R5UOCRi+_R5BD图(e)

若要通过电桥对角线支路的电流I5＝0（电桥平衡），则需UOC＝0。

利用电桥的平衡原理，当3个桥臂的电阻为已知时，则可准确地测出第4桥臂的电阻。电桥平衡条件3.7含受控源电路的等效变换3.7.1受控源3.7.2含受控源电路的等效变换在电子电路中广泛使用各种晶体管、运算放大器等多端器件。这些多端器件的某些端钮的电压或电流受到另一些端钮电压或电流的控制。为了模拟多端器件各电压、电流间的这种耦合关系，需要定义一些多端电路元件(模型)。本节介绍的受控源是一种非常有用的电路元件，常用来模拟含晶体管、运算放大器等多端器件的电子电路。从事电子、通信类专业的工作人员，应掌握含受控源的电路分析方法。3.7含受控源电路的等效变换

受控源又称为非独立源。一般来说，一条支路的电压或电流受本支路以外的其它因素控制时统称为受控源。受控源由两条支路组成，其第一条支路是控制支路，呈开路或短路状态；第二条支路是受控支路，它是一个电压源或电流源，其电压或电流的量值受第一条支路电压或电流的控制。

受控源可以分成四种类型，分别为:（1）电流控制的电压源(CCVS)（2）电流控制的电流源(CCCS)（3）电压控制的电流源(VCCS)（4）电压控制的电压源(VCVS)3.7.1受控源每种受控源由两个线性代数方程来描述：（r具有电阻量纲，称为转移电阻）1.电流控制的电压源(CCVS)2.电流控制的电流源(CCCS)（α无量纲，称为转移电流比）

CCCSCCVSμ无量纲，称为转移电压比

4.电压控制的电压源(VCVS)3.电压控制的电流源(VCCS)g具有电导量纲，称为转移电导

VCVSVCCSRLR0+–USIU+–电压源模型电流源模型U+–R0UsR0ISIRL

由独立电源和线性电阻构成的二端网络，就端口特性而言，可以等效为一个电压源和线性电阻串联的二端网络；或等效为一个电流源和线性电阻的并联二端网络。如图所示。3.7.2含受控源二端网络的等效电路图2-67受控源等效互换

与此相似，一个受控电压源(仅指其受控支路)和电阻串联二端网络，也可等效变换为一个受控电流源和电阻并联的二端网络。如图2-67所示。例2-32如下图2-68(a)所示，已知转移电阻r=3Ω。求二端网络的等效电阻。图2-68例2-32图解：先将受控电压源和2Ω电阻的串联二端网络等效变换为受控电流源0.5ri和2Ω电阻并联的二端网络，如上图2-68(b)所示。由此求得等效电阻为得到上图2-68(d),等效电阻为8Ω。再将2Ω和3Ω并联等效电阻1.2Ω和受控电流源0.5ri并联，等效变换为1.2Ω电阻和受控电压源0.6ri的串联，如上图2-68(c)所示。

例3-18求图3-28(a)所示单口网络的等效电阻。图3-28例3-18图解:设想在端口外加电流源i，写出端口电压u的表达式等效电阻如图（b）所示项目三小结本项目主要研究了电路的几种分析方法，主要内容如下：1.基尔霍夫定律:包括基尔霍夫电流定律（KCL）和基尔霍夫电压定律（KVL）（1）KCL：任一瞬间，通过电路中任一节点的各支路电流的代数和恒等于零。（2）KVL：任一瞬间，作用于电路中任一回路各段电压的代数和恒等于零。2.支路电流法:以电路中的支路电流为未知数，应用基尔霍夫定律列出电流、电压方程，通过解方程组得到各支路电流。3.叠加定理:在线性电路中，有几个电源共同作用时，在任一支路所产生的电流（或电压）等于各个电源单独作用时在该支路所产生的电流（电压）的代数和。4.节点电压法:以节点电压为未知量，据KCL列出节点电流方程，求出节点电压，进而求出各支路电流的方法。5.戴维南定理:任何一个有源二端线性网络，都可用一个电压源模型来等效代替。此电压源电压等于有源二端网络的开路电压，内阻等于有源二端网络中所有电源均除去后的等效内阻。6.电源模型：包括电压源模型和电流源模型（1）电压源模型是理想电压源和电阻的串联组合。（2）电流源模型是理想电流源和电阻的并联组合。（3）电压源模型和电流源模型可以等效变换。7.含受控源电路的等效变换含受控源电路等效变换的方法与独立电源模型等效变换的方法相同，但要注意保留控制量所在支路。ThankYou!项目四单相正弦交流电路RLC串联交流电路4.4正弦交流电的基本概念

4.1正弦量的相量表示法4.2R、L、C单元件交流电路4.3RLC并联交流电路

4.54.7阻抗的连接

4.64.7交流电路中的功率及功率因数的提高4.84.9RLC电路中的谐振非正弦周期电流电路1、我们常说的交流电220V是指它的什么值？要用哪些物理量才能完整的描述一个交流电？直流电路得出的一些规律也适用于交流电路么？交流电路如何分析计算？▲典型问题2、观看单相交流电产生的视频，了解交流电是怎么产生的、怎么变化的，与直流电相比有何特点？1.掌握正弦交流电的三要素，能熟练使用正弦量的表示方法。

▲知识能力目标

2.掌握R、L、C单元件电路的电压电流的关系；掌握R、L、C串联和并联电路的分析方法。

4.掌握正弦交流电路中的功率计算，了解提高功率因数的方法。

4.了解谐振现象；掌握串、并联电路发生谐振的条件和特点。

5.了解非正弦交流电路的有效值、平均值及有功功率的计算。4.1正弦交流电的基本概念4.1.1正弦交流电及其三要素4.1.2相位差4.1.3有效值

0Im

2TiO1、定义：按正弦函数规律变化的电压、电流或电动势，称为正弦交流电（简称交流电，或正弦量）。4.1.1

正弦交流电概念及其三要素图4-1正弦交流电波形图瞬时值：交流电在任一瞬时的值，分别用小写字母u（电压）、i（电流）或e（电动势）表示。一、正弦交流电的概念及表达式角频率：决定正弦量变化快慢最大值：决定正弦量的大小初相位：决定正弦量起始位置

0Im

2TiO2、正弦交流电流的瞬时表达式：最大值（或有效值）、角频率（或频率或周期）、初相位——正弦量的三要素图4-1正弦交流电波形图提问：相位概念？1.最大值（幅值）物理量字母：Im、Um、Em

频率、周期和角频率都是说明交流电变化快慢的物理量，只要知道其中一个，便可求出其它两个。2.角频率、周期和频率幅值必须大写,下标加m角频率ω——交流电在单位时间内变化的角度。

单位弧度/秒（rad/s）。频率f——每秒钟交电流变化的周数，单位赫（Hz）

我国电力系统用的交流电的频率(工频)为50Hz。

周期T——交电流变化一周所需的时间,单位秒（s）

二、正弦交流电的三要素补充：部分国家的电压与频率从列表可以看出，各国的电压等级、电压频率，几乎都不一样。

频率有50Hz、60Hz两种；但电压（单相，有效值）却有100V、110V、120V、127V、220V、230V等这么多种。4.初相位

定义：交流电在起始时间（t=0时）的相位。例1：设某交流电压u的最大值是14.14V，角频率是100πrad/s，初相角是60o,求该交流电压u的瞬时值表达式；且画出波形图。解：Um=14.14V，ω=100πrad/s，φ0=60o,则该交流电的表达式为：

注意：交电流的初相位φ0的大小与所选的计时起点有关。计时起点不同，初相位就不同。

若选交流电在正半周的第一个零值作为计时起点，即t=0，

i=0，则:φ0=0。接上例：要求画出波形图。解：前面已经求得该交流电压的表达式为：可以采用“五点法”画出波形图，哪五点？如下表所示：可以仿真一下

第一个点第二个点第三个点第四个点第五个点ωt+φ00900180027003600ωt-600300120021003000u值0Um0-Um0点（-600,0）(300,Um)(1200,0)(2100,-Um)(3000,0)测试：1.我们平时所说的交流电是___。（单选题）A.交流电流；B.交流电压或电流；C.按正弦函数规律变化的电压、电流或电动势；D.所有随时间变化的电压、电流或电动势。4.某个交流电的初相角为正值，则画一个周期的波形图时，正半周的第一个零点位置在横坐标原点的___。（单选题）A.左边；B.右边；C.重叠位置；D.无法确定。2.交流电的三要素是指最大值、角频率和相位。（单选题）A.正确B.错误测试答案：1.C

2.B

4.A小结

一、正弦交流电的概念1、最大值（或有效值），如上式中的Im一、正弦交流电的三要素1、概念：按正弦函数规律变化的电压、电流或电动势，称为正弦交流电（简称交流电，或正弦量）。2、正弦交流电的瞬时表达式：2、角频率（或频率或周期）3、初相位，如上式中的ThankYou!交流电的有效值——是衡量交流电的热效应的一个物理量，即：即与其热效应等效的直流电的数值。交流直流图1交流电与直流电的功率比较或4.1.2有效值由公式：同理：注意：交流电压表、交流电流表测量电压、电流，交流设备铭牌上标注的电压、电流均为有效值。有效值必须大写可推导得：如：（1）若电压超前电流

ui

相位差：两个同频率的交流电相位之差，就是他们的初相位之差，可以用

表示。4.1.3相位差uiu

uiO则：电压滞后电流90o，这种情况，也可以说电压与电流成正交关系。

（2）电压滞后电流

uitui90°O假如uitui

O图3电压滞后电流图4电压滞后电流900（3）若：电压与电流同相

（4）若：则：电压与电流反相uituiOtuiuiO图5电压与电流同相图6电压与电流反相注意：相位差角|φ|规定在1800以内，即：例1

解：

已经超出1800，需要对其中一个物理量的初相角化成另外的角度。由于正弦函数是周期函数，周期是3600

，所以，可以将电流的初相角化为：+2100

，则可以得到：可见，u1滞后u21200可以仿真一下直接计算：

12=

1-

2=600-（-1500）=2100是u1超前u22100？在条件：|

|

1800下正确的应该是：

12=

1-

2=600-2100=-1500即：u1滞后

u21500现象本质测试：1.正弦交流电的最大值等于有效值的___倍。（单选题）2.一般电器所标或仪表所指示的交流电压、电流的数值是____。（单选题）A.最大值B.有效值C.平均值D.瞬时值4.已知

i1=10sin(314t+900),

i2=10sin(628t+300)

，则（

）（单选题）A.

i1超前i260°B.

i1滞后i2

60°C.

i1超前i2

300

D.相位差无法判断A.2B.1/2

C.

D.测试答案：1.C

2.B

4.D小结

二、相位差

相位差：两个同频率的交流电相位之差，用

表示。若电压超前电流

交流电的有效值——是衡量交流电的热效应的一个物理量，即：某个交流电的热效应可以用与其等效的直流电数值来表示，这个直流电的数值就是该交流电的有效值。例如：一、有效值

电压滞后电流|

|ThankYou!4.2

正弦量的相量表示法4.2.1复数及其表示形式4.2.2复数运算4.2.3正弦量的相量表示法A=a+jb虚数单位实部虚部4.2.1复数及其表示形式复数的定义（补充）：用来表示平面上的点的数称为复数。1.代数形式复数常见的表达形式：代数形式三角函数形式指数形式极坐标形式提问，实数的定义？定义：用来表示实轴上的点的数称为实数。复数的模复数的辐角式中:实轴虚轴ImRe0复平面2.三角函数形式Aba所以:图中:上式中：称为复数的三角函数式可得:

由欧拉公式:4.指数形式4.复数的极坐标形式几种形式之间关系：因此，前面的三角函数式可化为指数式:设有两个复数

复数的加、减必须用代数形式，运算方法是实部与虚部分别相加或相减。A1±A2＝（a1±a2)＋j(b1±b2)4.2.2复数运算1.加、减运算

复数的加、减运算也可在复平面上用平行四边形法则作图完成。+1+jOA2A1A1+A22.乘、除运算

复数的乘、除采用指数（或极坐标）形式较方便。运算方法是模相乘、除，辐角相加、减。乘法运算为除法运算为

复数的乘、除运算也可在复平面上作图完成。+1+jOA2A1A1.A2故可把j看成是一个模为1，辐角为900的复数任一复数乘以j时，其模不变，幅角增大900，相当于在复平面上把复数矢量逆时针方向旋转900。同理：4.复数乘以±j4.2.3正弦交流电的相量法ω设正弦交流电:i0xyOO旋转的矢量：长度为Imt=0时与坐标横轴夹角为φ旋转角速度ω图

旋转矢量与交流电瞬时值的对应i0t=0时,t=t1时,1.正弦交流电与旋转矢量的关系i1i1求某个交流电t时刻的瞬时值只要求对应的旋转矢量t时刻在y轴上投影就行。

因此，正弦交流电（或正弦量）与旋转矢量一一对应。设Im为复数：Im=a+jb（代数式）其中：a称为复数Im的实部，

b称为复数Im的虚部为虚数单位。在复平面上可以用一个向量表示复数Im

，如右图。aImb0+1+j模幅角旋转矢量的运算可以转化为对应复数的运算。2.旋转矢量与复数的关系图中的复数向量，对应一个旋转矢量在t=0时的情形。

同频率的旋转矢量运算时，只要求出长度（如Im）和初角（如φ）就行了。所以可以借助对应的复数，求出模（如Im）和幅角（如φ）就行了。用来表示正弦交流电的复数称相量。4.相量和相量法（最大值相量）（有效值相量）

正弦交流电路中的电压、电流的频率与正弦电源的频率相同，角频率（或角速度）ω可以不用计算，只须分析最大值如Im（或有效值）和初相角如φ两个要素即可。ωxyOOi0aImb0+1+j模幅角正弦交流电→旋转矢量→复数

相量的几何形式称为相量图。

1j0例1将上面交流电表示成相量，且画出相量图。解：相量图（1）只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上；（2）正弦量与相量是对应关系，而不是相等关系。

注意但例2

两个交流电压频率均为50Hz，表示它们的相量式分别如下。（1）写出这两个电压的瞬时值解析式u1、u2，（2）求两者之和u。

解（1）所以（2）因为：所以求和结果可以仿真一下利用相量来分析计算正弦交流电的方法，称为相量法。4.3

R、L、C单元件交流电路4.4.1电阻元件交流电路4.4.2电感元件交流电路4.4.3电容元件交流电路1.电阻元件上电压与电流的关系实践证明，电阻上的电压与电流瞬时值符合欧姆定律，即:设则4.4.1电阻元件交流电路Ru+_i②大小关系：瞬时值、有效值和最大值都符合欧姆定律。③相位关系：同相①频率：相位差：相量式：结论图4-11电阻元件的相量模型及相量图相同Ru+_i2.电阻元件的功率（1）

瞬时功率

p：等于瞬时电压与瞬时电流的乘积。结论:

（耗能元件）,且随时间变化。pi

tuO

tpOiu直流分量2倍频交流分量(设φu=0)小写（2）平均功率（有功功率）P瞬时功率在一个周期内的平均值单位:瓦(W)Ppp

tO注意：通常铭牌数据或测量的功率均指有功功率。大写Ru+_i例4-4一额定电压为220V、功率为100W的电烙铁，误接在380V的交流电源上，问此时它消耗的功率是多少？会出现什么现象？解：已知额定电压和功率，可求出电烙铁的等效电阻当误接在380V电源上时，电烙铁实际消耗的功率为此时，电烙铁内的电阻很可能被烧断。小结1.电阻元件上的电压与电流关系2.电阻元件电路的功率②大小关系：都符合欧姆定律，即：③相位关系：同相①频率：相同；

瞬时功率随时间而变。瞬时功率平均值可表示功率大小，叫有功功率，单位W。ThankYou!4.4.2电感元件交流电路关联参考方向时，1.电感元件上电压和电流的关系+-eL+-设：则：L电感元件i①频率关系：②大小关系:③相位关系：即相位差结论相量图相同Um

=ImL

电压超前电流90

,如图所示。上面大小关系式中令:

XL称为

感抗：即电感对电流的阻碍作用,单位Ω则:即：最大值符合欧姆定律，那么有效值也符合欧姆定律。超前0+1若将电压、电流写成相量式:即:电压与电流的相量也满足欧姆定律则：称为感抗的复数形式电感L具有通直阻交的作用直流：f=0,XL=0，电感L视为短路交流：fXL所以，（1）瞬时功率2.电感元件的功率(设φi=0)储能p<0+p>0ui+-ui+-ui+-ui+-+p>0p<0放能储能放能电感L是储能元件po结论：

纯电感不消耗能量，只和电源或外电路进行能量交换（能量的吞吐)可逆的能量转换过程看u、i的极性iuO瞬时功率波形分析

瞬时功率的最大值反映了电感与电路中其他元件进行能量交换的规模大小，定义为无功功率,用QL来表示,即:单位：乏(var)（3）无功功率QL（2）平均功率(有功功率)L是非耗能元件例4-5若将L=20mH的电感元件，接在UL=110V的正弦电源上，则通过的电流是1mA，求(1)电感元件的感抗及电源的频率；(2)若把该元件接在直流110V电源上,会出现什么现象?解：(1)感抗电源频率(2)在直流电路中,XL=0,电流很大,电感元件可能烧坏。小结1.电感元件上的电压与电流关系2.电感元件电路的功率②大小关系：③相位关系：①频率：相同

瞬时功率随时间而变，且平均值等于零，不消耗能量。瞬时功率的最大值表示能量交换规模大小，称为无功功率，单位：乏儿（Var

ThankYou!uiC+_电容元件4.4.3电容元件交流电路关联参考方向时，1.电容元件上电压和电流的关系则：设：①频率关系:②大小关系:③相位关系:即相位差结论相量图超前相同Im=UmC

或电压滞后电流90

,则电压、电流的大小关系式为:容抗（Ω）定义：符合欧姆定律容抗：即电容对电流的阻碍作用将电流和电压写成相量式,则：电压和电流相量满足欧姆定律所以,电容C具有隔直通交的作用XC直流：电容相当于开路交流：f（1）瞬时功率2.电容元件的功率(设φu=0)ui+-ui+-ui+-ui+-+p>0储能p<0放能+p>0储能p<0放能po所以电容C是储能元件结论：纯电容不消耗能量，只和电源（或外电路）进行能量交换（能量的吞吐)瞬时功率的波形图分析（3）无功功率QC单位：乏（var）瞬时功率的最大值反映了电容与电源（或电路中其他元件）进行能量交换的规模,定义为无功功率.用Qc来表示,即:

（2）平均功率ＰC是非耗能元件小结1.电容元件上的电压与电流关系2.电容元件电路的功率②大小关系：③相位关系：①频率：相同

瞬时功率随时间而变，且平均值等于零，不消耗能量。瞬时功率的最大值表示能量交换规模大小，称为无功功率，单位：乏儿（Var

ThankYou!4.4RLC串联交流电路4.4.1RLC串联电路的计算4.4.2RLC串联电路的性质4.4.1RLC串联电路的计算设电压、电流为关联参考方向，如图所示。–

+L–

+uCRiuLuCuR–

+–

+1.瞬时值设：则：根据KVL可列出相量模型–

+–

+–

+–

+–jXCRjXL–

+L–

+uCRiuLuCuR–

+–

+根据KVL可列出相量模型2.相量–

+–

+–

+–

+–jXCRjXLI•U•UR•

UL•Uc•相量图4.有效值UL-Uc

UUR

电压三角形XL-Xc

|Z|R

阻抗三角形例R、L、C串联交流电路如图所示。已知R=30

、L=254mH、C=80F，，求电流及各元件上的电压瞬时值表达式。解:–

+L–

+uCRiuLuCuR–

+–

+注意：各元件上的电压为瞬时值表达式为–

+L–

+uCRiuLuCuR–

+–

+小结1.各电压间的瞬时值关系2.各电压间的相量关系

4.电压有效值计算ThankYou!2.4.2RLC串联电路的性质–

+–

+–

+–

+–jXCRjXL

电路的阻抗()

欧姆定律的相量形式其中：模：阻抗角：

阻抗三角形

：电压与电流之间的相位差角，由电路参数R、L、C

确定。UL-Uc

UUR(

>0感性)XL

>

XC(

<0容性)XL

<

XC(

=0阻性)XL

=XC三种情况的相量图如图4-25所示：阻抗角：电压超前电流，电路呈电感性电路呈电容性

电流与电压同相，电路呈阻性。小结1.阻抗模2.阻抗角

4.电路的电感性、电容性、电阻性电压超前电流，电路呈电感性电路呈电容性

电流与电压同相，电路呈阻性。4.5

RLC并联交流电路4.5.1RLC并联电路及复导纳4.5.2复阻抗与复导纳的等效变换4.5.1RLC并联电路及复导纳图

R、L、C并联电路

电阻、电感和电容并联电路如图所示，对于这种并联电路.即：称为导纳，单位：西门子令：则：图

导纳三角形（1）当>时，>0，电流超前电压，电路呈容性；根据电路参数可得出并联电路的性质：（2）当<时，<0，电流滞后电压，电路呈感性；（3）当=时，=0，电流电压同相，电路呈阻性；三种情况的相量图如图

所示：图

R、L、C并联电路的相量图4.5.2复阻抗与复导纳的等效变换图

二端网络1.复阻抗一个二端网络的复阻抗可等效地看作是由电阻与电抗串联组成。复阻抗中的电阻一般为正值，如果x>0，称该阻抗为电感性阻抗，可用RL元件串联来表示；如果x<0，称该阻抗为电容性阻抗，可用RC元件串联来表示。2.复导纳图

电导与电纳的并联电路

一个二端网络的复导纳可等效地看作是电导与电纳并联组合的电路。如果B>0，电路呈容性，则此电路可用R与C并联电路来表示；如果B<0，电路呈感性，则此电路可用R与L并联电路来表示。

4.复阻抗与复导纳的等效互换同一个不含独立源的二端网络，既可用电阻、电抗串联组合等效代替，又可用电导、电纳并联组合等效代替。这也意味着这两种组合可以等效互换，并称之复阻抗与复导纳的等效变互换。电路的复阻抗电路的复导纳由此可得：或*4.6

阻抗的连接4.4.1

阻抗的串联4.4.2阻抗的并联4.4.1

阻抗的串联图4-36阻抗串联电路

其中：Z为全电路的等效阻抗，它等于各复阻抗之和。

如果把各阻抗用R与X串联来表示，即

则：式中：因此，串联阻抗的等效电阻等于各电阻之和，等效电抗等于各电抗的代数和。阻抗角为

故等效阻抗的模为阻抗串联时的分压公式

4.4.2阻抗的并联图

阻抗并联电路阻抗并联电路如图

，根据相量形式的KCL得式中

几个复阻抗并联时，全电路的等效复阻抗的倒数等于各复阻抗的倒数之和。当两个复阻抗并联时，其等效阻抗也可用下式计算：也就是说，几个复导纳并联时，等效复导纳等于各复导纳之和。若用导纳表示，则为：解：例

电路如图(a)所示。已知R1=3Ω

，XL=4Ω

，XC=2Ω，R3=10Ω

，。试求电路的等效复阻抗，总电流和支路电流

、、、

，并画出相量图。相量图如图(b)所示。4.4.3阻抗混联电路在正弦交流电路中的电压与电流用相量表示及引用导纳及阻抗的概念后，阻抗的串联与并联电路计算方法在形式上与直流电路中的相应公式相似，因此,阻抗混联的电路的分析方法可按照直流电路的方法进行。4.7

RLC电路中的谐振4.7.1RLC串联谐振4.7.2RLC并联谐振4.7.1RLC串联谐振图1R、L、C串联电路所以，谐振条件：串联谐振，即电压与电流的相位差角：即：谐振时的角频率1.谐振的概念和串联谐振的条件：交流电路中电压与电流同相的现象叫谐振。或例：收音机的输入回路可用RLC串联电路为其电路模型，其电感为0.233mH，可调电容的变化范围为42.5pF～360pF。试求该电路谐振频率的范围。所以，解：C＝42.5pF时的谐振频率为：同理，可得：C＝360pF时的谐振频率为：550kHz所以，此电路的调谐频率为550kHz～1600kHz。2.串联谐振特点:电路呈电阻性，能量全部被电阻消耗，和相互补偿。即电源与电路之间不发生能量互换。（1）电压与电流同相（2）阻抗最小，且呈纯阻性当电源电压一定时：（3）电流最大，且与电压同相（4）电压关系电阻电压：大小相等、相位相差180

电容、电感电压：当时：有：

此时可能会击穿线圈或电容的绝缘，在电力系统中应避免发生串联谐振。令：Q品质因数(几十~几百），表征串联谐振电路的谐振质量。（5）品质因数UC

、UL将大于电源电压U几十倍到几百倍。在无线电工程上，可利用串联谐振的特点选择信号.可以仿真一下图3等效电路图2磁性接收天线示意图LC组成谐振电路调C，选择所需信号频率4.串联谐振的应用当时，us1在电路中发生串联谐振→阻抗最小→电流最大→输出电压UC=QU最大。

其他电台信号在电路中不发生谐振→阻抗较大→电流较小→输出电压较小。图3等效电路调C，选择所需信号频率

串联谐振电路只适用于电源内阻较小的场合；若电源内阻较大，则品质因数变小，选频特性变差，这时应该采用并联谐振电路。图2磁性接收天线示意图需要谐振图4电力电路不允许谐振测试：1.

RLC串联电路发生谐振的条件是___。（多选题）A.

XL=XCB.

UL=UCC.

D.2.

RLC串联电路谐振的特点是____。（多选题）A.电路的总阻抗Z=R，为纯电阻性质，且总阻抗达最小；B.电路的总电流

I

最大，与总电压U

同相，且I=U/R；C.电感上电压UL等于电容上的电压UC,且是总电压U的Q倍，Q=ωL/R=1/ωCR；D.电感中的能量与电容中的能量互相交换，电源与电感、电容均无能量交换。测试：1.

RLC串联电路发生谐振的条件是___。（多选题）A.

XL=XCB.

UL=UCC.

D.2.

RLC串联电路谐振的特点是____。（多选题）A.电路的总阻抗Z=R，为纯电阻性质，且总阻抗达最小；B.电路的总电流

I

与总电压U

同相，且I=U/R；C.电感上电压UL等于电容上的电压UC,且是总电压U的Q倍，Q=ωL/R=1/ωCR；D.电感中的能量与电容中的能量互相交换，电源与电感、电容均无能量交换。测试答案：1.A、B、C、D

2.A、B、C、D小结

一、谐振定义与RLC串联谐振的条件：二、串联谐振的特点：电路中电压与电流同相的现象叫谐振。RLC串联电路谐振的条件是：（1）电压与电流同相（3）电流最大（2）总阻抗最小，等于电阻R，电路呈纯阻性4.7.2RLC并联电路谐振

RLC并联谐振电路组成，主要有R、L、C分别并联电路，电容C与线圈（电阻R与电感L串联）并联的电路两种，这里我们以第一种为例进行讨论，电路如图所示。

1.谐振条件

图

RLC并联电路

要使电压与电流同相，必须使Z含有阻抗角等于零，也即，分母的虚部为零：

图

RLC并联电路

所以，谐振角频率：要使Z含有阻抗角等于零，须分母的虚部为零，即：或，谐振频率：提问：RLC并联电路的谐振条件与RLC串联电路的谐振条件有何联系？2．并联谐振的特点(1)谐振时,电路为纯电阻性质，且总阻抗最大，即：|Z|=R(2)电路中总电流与电源电压同相，总电流I最小,I=U/R(3)谐振时，电感支路的电流IL与电容支路的电流IC近似相等，比总电流I大Q，即IL=IC=QI。因此，并联谐振也称电流谐振。例4-23图所示的并联电路中，若C=0.002μF，L=20μH，R=500Ω，试求:谐振角频率ω0和品质因数Q。解:据RLC并联电路的谐振条件，得：

可以仿真一下。

4.并联谐振的应用

并联谐振在电子技术中经常应用。例如，利用并联谐振时阻抗高的特点来选择信号或消除干扰。

选频即从输入信号中选择出有用频率分量而抑制掉无用频率分量或噪声。在通信电子电路中，LC并联谐振回路作为选频网络而使用是最普遍的，它广泛地应用于高频小信号放大器、丙类高频功率放大器、混频器等电路中。这些电路的共同特点是：LC谐振回路不仅是一种选频网络，通过变压器连接方式，还起到阻抗变换的作用，减小放大管或负载对谐振回路的影响，可获得较好的选择性。

高频小信号选频放大器用来从众多的微弱信号中选出有用频率信号加以放大，并对其他无用频率信号予以抑制，它广泛应用于通信设备的接收机中。单调谐放大器电路如下图所示。测试：1.

RLC并联电路发生谐振的条件是___。（多选题）A.

XL=XCB.

IL=ICC.

D.2.

RLC并联谐振电路的特点是____。（多选题）A.电路的总阻抗Z=R，为纯电阻性质，且总阻抗达最大；B.电路中的总电流I与总电压U同相，且总电流I最小，I=U/R；C.电感中的电流IL与电容中的电流IC相等，且是总电流I的Q倍（几到几十倍）；D.电感中的能量与电容中的能量互相交换，电源与电感、电容均无能量交换。测试答案：1.A、B、C、D

2.A、B、C、D小结

一、RLC并联电路谐振的条件：二、并联谐振的特点：（2）总电流与电源电压同相，且最小，大小：（3）

IL=IC=QI，并联谐振也称电流谐振

（1）总阻抗最大，等于电阻R，电路呈纯阻性4.8交流电路的功率及功率因数提高4.8.1有功功率、无功功率、视在功率和功率因数4.8.2功率因数的提高4.8.1有功功率、无功功率、视在功率和功率因数设有一个二端网络，取电压、电流参考方向如图

所示，则网络在任一瞬间时吸收的功率即瞬时功率为假设：则：其波形图如图4-46所示。

图

瞬时功率波形图

1.平均功率P单位:瓦（W)2.视在功率SS=UI单位：伏安（VA），视在功率也称容量。4.无功功率Q单位：乏尔（Var）。4.8.2功率因数的提高2031.功率因数的概念

功率因数:电路中有功功率与视在功率的比值。纯阻元件：纯电感、纯电容元件：

有功功率

视在功率感性、容性负载：

2.提高功率因数的意义（1）提高电源设备利用率视在功率转换成有功功率的程度例：已知某发电机的视在功率为1000KVA。（1）若（2）若能发出()kW的有功功率只能发出()kW的有功功率700900所以,提高可使发电设备的容量得以充分利用(2)降低线路损耗U一定I线路损耗r电源负载线路损耗r设输电线和发电机绕组的电阻为r（3）节约用铜。在线路损耗一定时，提高功率因数可以使输电线上的电流减小，从而可以减小导线的横截面，节约