人教版数学七年级下册期末知识梳理+题型解题方法+专题过关专题03 平面直角坐标系（含解析）

专题03平面直角坐标系【4个考点知识梳理+题型解题方法+专题训练】考点一：有序数对有序数对的概念：有顺序的两个数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0组成的数对叫做有序数对。表示为SKIPIF1<0。有序数对的应用：利用有序数对表示物体的位置。表示方法有行列定位法；经纬度定位法；方格纸定位法；方向角加距离定位法。【考试题型1】有序数对的理解与表示【解题方法】根据有序数对的定义及表示方法进行表示。例题讲解：1.（2022秋•青岛期中）国庆假期，小磊和小强去电影院观看了首部聚焦“外交官撤侨”的电影《万里归途》．若电影票上小磊的座号“5排6座”记作（5，6），则小强的座号“6排7座”可记作（）A．（﹣6，7） B．（6，7） C．（7，6） D．（﹣6，﹣7）【分析】由“5排6号”记作（5，6）可知，前一个数表示排数，后一个数表示号数，即可得出答案．【解答】解：∵电影票上小磊的座号“5排6座”记作（5，6），∴小强的座号“6排7座”可记作（6，7），故选：B．【考试题型2】表示位置的方法【解题方法】根据表示位置的方法进行判断以及确定物体的位置。例题讲解：2.（2022春•泗水县期中）下列在具体情境中不能确定平面内位置的是（）A．东经37°，北纬21° B．电影院某放映厅7排3号 C．泗水泉源大道 D．泗水大桥北偏东60°方向，2千米处【分析】根据位置的确定需要两个条件对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、东经37°，北纬21°，能确定位置，不符合题意；B、电影院某放映厅7排3号，能确定位置，不符合题意；C、泗水泉源大道，不能确定位置，符合题意；D、泗水大桥北偏东60°方向，2千米处，能确定位置，不符合题意．故选：C．考点二：平面直角坐标系平面直角坐标系的概念：如图：平面内，两条相互垂直，且原点重合的数轴组成平面直角坐标系。平面直角坐标系各部分名称：①横坐标轴与纵坐标轴。②原点。③象限：如图，两坐标轴把平面分成四部分，构成四个象限。从右上角开始，逆时针方向分别是第一象限，第二象限，第三象限，第四象限。点与坐标：①确定点的坐标：过点作SKIPIF1<0轴的垂线，垂足点所表示的数即为点的横坐标；作SKIPIF1<0轴的垂线，垂足点所表示的数即为纵坐标。②根据点的坐标确定位置：过横坐标作SKIPIF1<0轴垂线，过纵坐标作SKIPIF1<0轴的垂线，两条出现的交点即为该坐标表示的位置。平面直角坐标系内各部分的坐标特点：①SKIPIF1<0轴上所有点的纵坐标为0，即坐标可表示为（SKIPIF1<0，0）。②SKIPIF1<0轴上所有点的横坐标为0，即坐标可表示为（0，SKIPIF1<0）。③第一象限内横纵坐标均为正数，即可表示为（﹢，﹢）。④第二象限内横坐标为负数，纵坐标为正数，即可表示为（﹣，﹢）。⑤第三象限内横纵坐标均为负数，即可表示为（﹣，﹣）。⑥第四象限内横坐标为正数，纵坐标为负数，即可表示为（﹢，﹣）。点到坐标轴的距离：点SKIPIF1<0到横坐标轴的距离等于纵坐标的绝对值，即SKIPIF1<0。点SKIPIF1<0到纵坐标轴的距离等于横坐标的绝对值，即SKIPIF1<0。【考试题型1】确定点的坐标根据坐标确定位置【解题方法】根据确定点的坐标方法，过点作横纵坐标轴的垂线，垂足点的数分别对应的横坐标与纵坐标。过横坐标轴与纵坐标轴上的点作垂线，得到的交点即为需要确定的位置。若题目中没有坐标轴时，利用倒推法确定原点所在位置建立坐标系。例题讲解：3.（2022秋•宁明县期中）如图，是象棋盘的一部分，若“帅”位于点（2，﹣1），“相”位于点（4，﹣1）上，则“炮”位于点（）上．A．（0，2） B．（0，3） C．（﹣1，3） D．（﹣1，2）【分析】直接利用已知点坐标建立平面直角坐标系，进而得出答案．【解答】解：如图所示：则“炮”位于点（﹣1，2）上．故选：D．【考试题型2】判断坐标所在象限【解题方法】根据各个象限内的坐标特点在结合需确定的坐标点的横纵坐标的正负进行判断。例题讲解：4.（2022秋•榕城区期中）在平面直角坐标系中，点（﹣1﹣2m2，m2+1）一定在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根据点在第二象限的坐标特征解答即可．【解答】解：∵m2≥0，∴﹣1﹣2m2＜0，m2+1＞0，∴点（﹣1﹣2m2，m2+1）的横坐标小于0，纵坐标大于0，∴符合点在第二象限的条件，故点（﹣1﹣2m2，m2+1）一定在第二象限．故选：B．【考试题型3】根据坐标所在位置求值【解题方法】根据坐标所在位置的特点，让其横纵坐标满足相应特点进行求值。例题讲解：5.（2022春•互助县期中）在平面直角坐标系中，点A（a﹣1，3）在y轴上，则a的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．3【分析】根据y轴上的点的横坐标为0，列出方程求解得到a的值，即可得解．【解答】解：∵点A（a−1，3）在y轴上，∴a﹣1＝0，解得：a＝1，故选：C．【考试题型3】点到坐标轴的距离【解题方法】根据点到坐标轴的距离求法可求点到坐标轴的距离。再结合所在象限判断点的坐标。例题讲解：6.（2022春•高邑县期中）若点P在第二象限，且点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为1，则点P的坐标为（）A．（1，﹣2） B．（2，1） C．（﹣1，2） D．（2，﹣1）【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答．【解答】解：∵点P在第二象限，且到x轴的距离为2，到y轴的距离为1，∴点P的横坐标是﹣1，纵坐标是2，∴点P的坐标为（﹣1，2）．故选：C．（2022春•海淀区校级期中）在平面直角坐标系中，点A（a﹣2，2a+3）到y轴的距离为4，则a的值为．【分析】根据点到y轴的距离等于横坐标的绝对值列出方程，然后求解即可．【解答】解：∵点A（a﹣2，2a+3）到y轴的距离为4，∴|a﹣2|＝4，解得a＝﹣2或6．故答案为：﹣2或6．考点三：坐标与图形性质一三象限角平分线上的点的坐标特点：在一三象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标相等。即SKIPIF1<0。二四象限角平分线上的点的坐标特点：在二四象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标互为相反数。即SKIPIF1<0。关于坐标轴对称的两个点的坐标特点：①关于SKIPIF1<0轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数。即若SKIPIF1<0关于x轴对称，则SKIPIF1<0。②关于SKIPIF1<0轴对称：纵坐标不变，横坐标互为相反数。即若SKIPIF1<0关于y轴对称，则SKIPIF1<0。关于坐标轴对称时，关于谁对称谁不变，另一坐标互为相反数。③若SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称，则纵坐标相等，即SKIPIF1<0。横坐标满足的关系式SKIPIF1<0。④若SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称，则横坐标相等，即SKIPIF1<0。纵坐标满足的关系式SKIPIF1<0。与坐标轴平行（垂直）的直线上的点的坐标特点：①平行于SKIPIF1<0轴（垂直于SKIPIF1<0轴）：该直线上所有点的纵坐标相等。两点之间的距离等于横坐标之差的绝对值。②平行于SKIPIF1<0轴（垂直于SKIPIF1<0轴）：该直线上所有点的横坐标相等。两点之间的距离等于纵坐标之差的绝对值。两点间的中点坐标公式：点SKIPIF1<0的中点坐标为SKIPIF1<0。【考试题型1】象限角平分线上的点【解题方法】根据象限角平分线上的点的坐标特点进行解题。例题讲解：7.（2022春•普兰店区期中）若点M在第一、三象限的角平分线上，且点M到x轴的距离为2，则点M的坐标是（）A．（2，2） B．（﹣2，﹣2） C．（2，2）或（﹣2，﹣2） D．（2，﹣2）或（﹣2，2）【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点M的横坐标与纵坐标的长度相等，再分点M在第一、三象限两种情况解答．【解答】解：∵点M在第一、三象限的角平分线上，∴点M到y轴的距离也为2，当点M在第一象限时，点M的坐标为（2，2）；点M在第三象限时，点M的坐标为（﹣2，﹣2）．所以，点M的坐标为（2，2）或（﹣2，﹣2）．故选：C．【考试题型2】平行（垂直）坐标轴的直线【解题方法】根据平行（垂直）与坐标轴的直线上的点的特点解题。例题讲解：8.（2022秋•长清区期中）已知点A的坐标为（2，3），直线AB∥y轴，且AB＝5，则点B的坐标为（）A．（2，8） B．（2，8）或（2，﹣2） C．（7，3） D．（7，3）或（﹣3，3）【分析】由AB∥y轴，A、B两点横坐标相等，又AB＝5，B点可能在A点上方或者下方，根据距离确定B点坐标即可．【解答】解：∵AB∥y轴，∴A、B两点的横坐标相同，都为3，又AB＝5，∴B点纵坐标为：3+5＝8，或3﹣5＝﹣2，∴B点的坐标为：（2，8）或（2，﹣2）；故选：B．【考试题型3】中点坐标公式的应用【解题方法】根据中点坐标公式以及它的意义解题。注意已知点所在位置以及中点所在位置的坐标特点。例题讲解：9.（2022春•海淀区校级期中）教材上曾让同学们探索过线段的中点坐标：在平面直角坐标系中，若两点A（x1，y1）、B（x2，y2），所连线段AB的中点是M，则M的坐标为（SKIPIF1<0），例如：点A（1，2）、点B（3，6），则线段AB的中点M的坐标为（SKIPIF1<0），即M（2，4）请利用以上结论解决问题：在平面直角坐标系中，若点E（a﹣1，a），F（b，a﹣b），线段EF的中点G恰好位于x轴上，且到y轴的距离是2，则2a+b的值等于．【分析】根据线段的中点坐标公式即可得到结论．【解答】解：∵点E（a﹣1，a），F（b，a﹣b），∴中点G（，），∵中点G恰好位于x轴上，且到y轴的距离是2，∴，解得：，，∴2a+b＝或﹣4；故答案为：或﹣4．考点四：坐标表示平移坐标的平移规律：左右平移，横坐标进行加减，右加左减。上下平移，纵坐标进行加减，上加下减。P（x，y）的平移方式（a＞0，b＞0）平移后的坐标点的平移方式左右平移向右平移a个单位长度（x＋a，y）向左平移a个单位长度（x－a，y）上下平移向上平移b个单位长度（x，y＋b）向下平移b个单位长度（x，y－b）图形的平移：把图形中的关键点按照点的平移进行平移，得到平移之后对应的点，把对应点按照原图形连接即可。求坐标系中图形的面积：利用割补法把图形分割或者补齐为规则图形从而求得图形面积。【考试题型1】求平移后点的坐标以及平移方法【解题方法】根据平移规律即可解题。例题讲解：10.（2022春•老河口市期中）如图，三角形ABC的三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（﹣1，3），C（0，1），将三角形ABC平移得到三角形A'B'C'，其中点A的对应点A'（﹣1，1），则点C的对应点C'的坐标为（）A．（﹣1，﹣2） B．（﹣3，0） C．（3，0） D．（﹣3，2）【分析】利用平移的性质分别得出对应点位置进而得出答案．【解答】解：如图所示，△A'B'C'即为所求；∴C'（﹣3，0）；故选：B．（2022春•禹城市期中）将点A（﹣2，3）通过以下哪种方式的平移得到点A'（﹣5，7）（）A．沿x轴向右平移3个单位长度，再沿y轴向下平移4个单位长度 B．沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向下平移4个单位长度 C．沿x轴向左平移4个单位长度，再沿y轴向上平移3个单位长度 D．沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移4个单位长度【分析】根据点平移的规律解答．【解答】解：∵﹣2﹣3＝﹣5，3+4＝7，∴点A（﹣2，3）沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移4个单位长度得到点A'（﹣5，7），故选：D．【考试题型2】坐标规律【解题方法】根据图形判断出坐标变化规律解题。通常有奇数点之间的规律，偶数点之间的规律，3的倍数点之间的规律，4的倍数点之间的规律。例题讲解：12.（2022春•费县期中）如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点O出发，水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得到点P1（﹣1，﹣1）；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点P2；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点P3；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点P4，…，按此作法进行下去，则点P2022的坐标为（）A．（2022，2022） B．（﹣2022，﹣2022） C．（1011，1011） D．（﹣1011，﹣1011）【分析】观察图象可知，偶数点在第一象限，由题意P2（1，1），P4（2，2），P6（3，3），•••，P2n（n，n），即可解决问题．【解答】解：观察图象可知，偶数点在第一象限，∵P2（1，1），P4（2，2），P6（3，3），•••，P2n（n，n），∴P2022（1011，1011），故选：C．【专题过关】一．点的坐标（共5小题）1．（2022秋•阜阳期中）在平面直角坐标系中，点M（m﹣1，2m）在x轴上，则点M的坐标是（）A．（1，0） B．（﹣1，0） C．（0，2） D．（0，﹣1）【分析】根据x轴上的点的纵坐标为0，得出m的值进而得出M的坐标．【解答】解：点M（m﹣1，2m）在x轴上，则2m＝0，解得m＝0，∴M（﹣1，0），故选：B．2．（2022春•高邑县期中）若点P在第二象限，且点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为1，则点P的坐标为（）A．（1，﹣2） B．（2，1） C．（﹣1，2） D．（2，﹣1）【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答．【解答】解：∵点P在第二象限，且到x轴的距离为2，到y轴的距离为1，∴点P的横坐标是﹣1，纵坐标是2，∴点P的坐标为（﹣1，2）．故选：C．3．（2022春•禹城市期中）若点A（a，a+1）在x轴上，点B（2b﹣1，b）在y轴上，则a﹣b＝（）A．SKIPIF1<0 B．0 C．SKIPIF1<0 D．﹣1【分析】根据坐标轴上点的坐标特点，可得a+1＝0，2b﹣1＝0，即可求得a、b的值，据此即可求得．【解答】解：∵点A（a，a+1）在x轴上，点B（2b﹣1，b）在y轴上，∴a+1＝0，2b﹣1＝0，解得：a＝﹣1，，∴．故选：A．4．（2022春•丛台区校级期中）已知点P（a，b），ab＞0，a+b＜0，则点P在第象限．【分析】根据有理数的乘法、有理数的加法，可得a、b的符号，根据第一象限内点的横坐标大于零，纵坐标大于零，可得答案．【解答】解：因为ab＞0，a+b＜0，所以a＜0，b＜0，点P（a，b）在第三象限，故答案为：三．5．（2022春•海淀区校级期中）在平面直角坐标系中，点A（a﹣2，2a+3）到y轴的距离为4，则a的值为．【分析】根据点到y轴的距离等于横坐标的绝对值列出方程，然后求解即可．【解答】解：∵点A（a﹣2，2a+3）到y轴的距离为4，∴|a﹣2|＝4，解得a＝﹣2或6．故答案为：﹣2或6．二．坐标确定位置（共3小题）6．（2022秋•尤溪县期中）如图是在4×4的小正方形组成的网格中，画的一张脸的示意图，如果用（0，4）和（2，4）表示眼睛，那么嘴的位置可以表示为（）A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（2，1） D．（1，2）【分析】根据左右的眼睛的坐标画出直角坐标系，然后写出嘴的位置对应的点的坐标．【解答】解：建立平面直角坐标系如图，嘴的坐标为（1，2）．故选：D．7．（2022秋•金水区期中）如图所示的是一所学校的平面示意图，若用（3，2）表示教学楼，（4，0）表示旗杆，则实验楼的位置可表示成（）A．（1，﹣2） B．（﹣2，1） C．（﹣3，2） D．（2，﹣3）【分析】直接利用已知点坐标得出原点位置进而得出答案．【解答】解：如图所示：实验楼的位置可表示成（2，﹣3）．故选：D．8．（2022春•岳池县期中）第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年在北京市和张家口市联合举行．以下能够准确表示张家口市地理位置的是（）A．离北京市200千米 B．在河北省 C．在宁德市北方 D．东经114.8°，北纬40.8°【分析】根据点的坐标的定义，确定一个位置需要两个数据解答即可．【解答】解：能够准确表示张家口市这个地点位置的是：东经114.8°，北纬40.8°．故选：D．三．坐标与图形性质（共2小题）9．（2022春•禹州市期中）已知AB∥x轴，且点A的坐标为（a，2a﹣3），点B的坐标为（2，a+5），则线段AB的长为（）A．5 B．6 C．8 D．12【分析】根据已知条件可得两个点的纵坐标相等，即可求出a，即可得到AB的长；【解答】解：∵点A的坐标为（a，2a﹣3），点B的坐标为（2，a+5），AB//x轴，∴2a﹣3＝a+5，解得：a＝8，∴AB＝8﹣2＝6；故选：B．10．（2022秋•揭阳期中）已知点P（﹣3a﹣4，2+a），解答下列各题：（1）若点P在x轴上，则点P的坐标为P；（2）若Q（5，8），且PQ∥y轴，则点P的坐标为P；（3）若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求a2020+2021的值．【分析】（1）根据题意列出方程即可解决问题；（2）根据题意列出方程即可解决问题；（3）根据题意列出方程得出a的值代入即可得到结论．【解答】解：（1）由题意可得：2+a＝0，解得：a＝﹣2，﹣3a﹣4＝6﹣4＝2，所以点P的坐标为（2，0），故答案为：（2，0）；（2）根据题意可得：﹣3a﹣4＝5，解得：a＝﹣3，2+a＝﹣1，所以点P的坐标为（5，﹣1），故答案为：（5，﹣1）；（3）根据题意可得：﹣3a﹣4＝﹣2﹣a，解得：a＝﹣1，则：﹣3a﹣4＝﹣1，2+a＝1，∵点P在第二象限，∴P点的坐标为（﹣1，1）把a＝﹣1代入a2020+2021＝2022．四．坐标与图形变化-平移（共4小题）11．（2022春•费县期中）在平面直角坐标系xOy中，线段AB的两个端点坐标分别为A（﹣2，﹣2），B（1，2），平移线段AB得到线段A′B′，已知A′的坐标为（3，﹣1），则点B′的坐标为（）A．（4，2） B．（5，2） C．（6，3） D．（5，3）【分析】根据A点的坐标及对应点的坐标可得线段AB向右平移5个单位，向上平移1个单位，然后可得B′点的坐标．【解答】解：∵A（﹣2，﹣2）平移后得到点A′的坐标为（3，﹣1），∴向右平移5个单位，向上平移1个单位，∴B（1，2）的对应点B′坐标为（1+5，2+1），即B′（6，3）．故选：C．12．（2022春•汉川市期中）在平面直角坐标系中，点A（2，5）是由点B（﹣2，3）如何平移得到的（）A．先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度 B．先向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度 C．先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度 D．先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度【分析】根据点的平移规律即可求解．【解答】解：∵﹣2+4＝2，3+2＝5，∴点A（2，5）是由点B（﹣2，3）先