2021-2022学年辽宁省鞍山市立山区八年级（上）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年辽宁省鞍山市立山区八年级第一学期期中数学试卷一、选择题（每小题2分，共20分）1．已知三角形的三边分别为2，x，13，若x为整数（）A．2 B．3 C．4 D．52．下面四个图形中，线段BD是△ABC的高的图形是（）A． B． C． D．3．下列计算正确的是（）A．a3+a3＝a6 B．a3•a3＝a9 C．（a3）3＝a9 D．（3a3）3＝9a34．如图，α，β，γ三个角之间的关系正确的是（）A．α+β+γ＝180° B．β＝α+γ C．γ＝α+β D．α＝β+γ5．小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、4的四块），你认为将其中的哪一块带去玻璃店，就能配一块与原来一样大小的三角形玻璃．应该带（）A．第4块 B．第3块 C．第2块 D．第1块6．如图，∠1＝∠2，PD⊥OA于D，下列结论错误的是（）A．PD＝PE B．OP平分∠DPE C．OD＝OE D．DE垂直平分OP7．若等式成立，则（）A．m＝﹣2 B．m＝2 C．m＝1 D．m＝﹣18．下列运算正确的是（）A．（a+b）（a﹣2b）＝a2﹣2b2 B．（a﹣）2＝a2﹣ C．﹣2（3a﹣1）＝﹣6a+1 D．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣99．三个全等三角形按如图的形式摆放，则∠1+∠2+∠3的度数是（）A．90° B．120° C．135° D．180°10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于E，F在AC上，AF＝4cm，EB＝2cm．则AB长度是（）A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm二、填空题（每小题2分，共20分）11．如图，AD、BC表示两根长度相同的木条，若O是AD、BC的中点，则容器的内径CD为cm．12．如图，在△ABC中，∠B＝50°，AD是高，AE是角平分线度．13．如果（x﹣1）5÷（1﹣x）4＝3x+5，那么x的值为．14．如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，BC＝24cm，S△ABC＝150cm2，则DE的长是．15．已知a＝7﹣3b，则代数式a2+6ab+9b2的值为．16．如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E＝300°，则∠P＝．17．如果（x+1）（x2﹣5ax+a）的乘积中不含x2项，则a为．18．有若干张如图所示的正方形A类、B类卡片和长方形C类卡片，如果要拼成一个长为（2a+b），宽为（3a+2b），则需要C类卡片张．19．如图，在△ABC中，∠C＝∠B＝65°，BF＝CD，CE＝BD．三、解答题：（21题每小题24分，22题8分，共计32分）21．（24分）（1）计算：（2m+3n）2﹣（2m+n）（2m﹣n）；（2）计算：（x+1）2﹣x（x+1）；（3）因式分解：（a﹣3）2+（3﹣a）；（4）因式分解：（a2+b2）2﹣4a2b2．22．先化简后求值2（x2y+xy2）﹣2（x2y﹣3x）﹣2xy2﹣2y的值，其中x＝﹣1，y＝2．四、解答题：（23题8分，24题8分，共计16分）23．如图，A、D、F、B在同一直线上，AD＝BF，且AE∥BC．求证：（1）△AEF≌△BCD；（2）EF∥CD．24．下面是某同学对多项式（x2﹣3x+1）（x2﹣3x+5）+4进行因式分解的过程．解：设x2﹣3x＝y．原式＝（y+1）（y+5）+4（第一步）．＝y2+6y+9（第二步）．＝（y+3）2（第三步）．＝（x2﹣3x+3）2（第四步）．回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的．A．提公因式法B．公式法（2）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解．五、解答题：（本题满分12分）25．在△ABC中，AB＝AC，点D是射线CB上的一动点（不与点B，C重合），使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，设∠BAC＝m，∠DCE＝n．（1）如图1，当点D在线段CB上，且m＝60°时度；（2）当m≠60°：①如图2，当点D在线段CB上时，求m与n间的数量关系；②如图3，当点D在线段CB的延长线上时，请将图3补充完整2021-2022学年辽宁省鞍山市立山区八年级第一学期期中数学试卷参考答案一、选择题（每小题2分，共20分）1．已知三角形的三边分别为2，x，13，若x为整数（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得答案．解：根据三角形的三边关系可得：13﹣2＜x＜13+2，即6＜x＜15，∵x为整数，∴x＝10，11，13，故选：D．【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．2．下面四个图形中，线段BD是△ABC的高的图形是（）A． B． C． D．【分析】根据三角形的高的定义进行判断即可．解：由三角形的高的定义可知，如果线段BD是△ABC的高，垂足是点D．四个选项中，只有D选项中BD⊥AC．故选：D．【点评】本题考查了三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．理解定义是关键．3．下列计算正确的是（）A．a3+a3＝a6 B．a3•a3＝a9 C．（a3）3＝a9 D．（3a3）3＝9a3【分析】根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘进行计算即可．解：A、a3+a3＝8a3，故原题计算错误；B、a3•a6＝a6，故原题计算错误；C、（a3）5＝a9，故原题计算正确；D、（3a8）3＝27a3，故原题计算错误；故选：C．【点评】此题主要考查了合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方，关键是掌握各计算法则．4．如图，α，β，γ三个角之间的关系正确的是（）A．α+β+γ＝180° B．β＝α+γ C．γ＝α+β D．α＝β+γ【分析】根据对顶角的性质、三角形的外角的性质计算即可．解：由对顶角的性质、三角形的外角的性质得到β＝α+γ，故选：B．【点评】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．5．小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、4的四块），你认为将其中的哪一块带去玻璃店，就能配一块与原来一样大小的三角形玻璃．应该带（）A．第4块 B．第3块 C．第2块 D．第1块【分析】根据三角形全等判定的条件可直接选出答案．解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，只有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA，是符合题意的．故选：C．【点评】本题主要考查三角形全等的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．6．如图，∠1＝∠2，PD⊥OA于D，下列结论错误的是（）A．PD＝PE B．OP平分∠DPE C．OD＝OE D．DE垂直平分OP【分析】由已知条件认真思考，首先可得△POE≌△POD，进而可得PD＝PE，∠1＝∠2，∠DPO＝∠EPO；而OD，OP是无法证明是相等的，于是答案可得．解：∵∠POB＝∠POA，PD⊥OA，∴PE＝PD，∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PEO＝∠PDO＝90°，∵OP＝OP，PE＝PD，∴由勾股定理得：OE＝OD，∵∠PEO＝∠PDO＝90°，∠POB＝∠POA，∴由三角形的内角和定理得：∠DPO＝∠EPO，∴OP平分∠DPE，根据已知不能推出PD＝OD，OD＝OE，∴OP垂直平分DE；故选：D．【点评】本题考查了线段垂直平分线性质，角平分线性质，全等三角形的性质和判定的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．7．若等式成立，则（）A．m＝﹣2 B．m＝2 C．m＝1 D．m＝﹣1【分析】根据完全平方公式把等式左边展开即可得到m的值．解：∵（2x+）2＝4x2+2x+，∴m＝2．故选：B．【点评】本题考查了完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．也考查了代数式的变形能力．8．下列运算正确的是（）A．（a+b）（a﹣2b）＝a2﹣2b2 B．（a﹣）2＝a2﹣ C．﹣2（3a﹣1）＝﹣6a+1 D．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9【分析】根据整式的乘法法则或乘法公式进行计算便可．解：A．（a+b）（a﹣2b）＝a2﹣8ab+ab﹣2b2＝a6﹣ab﹣2b2，选项错误；B．（a﹣）2＝a5﹣a+，选项错误；C．﹣8（3a﹣1）＝﹣8a+2；D．（a+3）（a﹣6）＝a2﹣9，选项正确．故选：D．【点评】本题主要考查了整式的乘法运算和乘法公式，关键是熟记运算法则和运算公式．9．三个全等三角形按如图的形式摆放，则∠1+∠2+∠3的度数是（）A．90° B．120° C．135° D．180°【分析】直接利用平角的定义结合三角形内角和定理以及全等三角形的性质得出∠4+∠9+∠6＝180°，∠5+∠7+∠8＝180°，进而得出答案．解：如图所示：由图形可得：∠1+∠4+∠5+∠8+∠6+∠5+∠3+∠9+∠2＝540°，∵三个全等三角形，∴∠4+∠9+∠6＝180°，又∵∠5+∠7+∠3＝180°，∴∠1+∠2+∠6+180°+180°＝540°，∴∠1+∠2+∠2的度数是180°．故选：D．【点评】此题主要考查了全等三角形的性质以及三角形内角和定理，正确掌握全等三角形的性质是解题关键．10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于E，F在AC上，AF＝4cm，EB＝2cm．则AB长度是（）A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm【分析】根据角平分线的性质得到DE＝DC，证明Rt△AED≌Rt△ACD，根据全等三角形的性质得到CF＝BE＝2cm，结合图形计算，得到答案．解：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∴DE＝DC，在Rt△AED和Rt△ACD中，，∴Rt△AED≌Rt△ACD（HL），∴AE＝AC，CF＝BE＝2cm，∴AC＝AF+FC＝4+6＝6（cm），∴AB＝AE+BE＝AC+BE＝6+5＝8（cm）故选：B．【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．二、填空题（每小题2分，共20分）11．如图，AD、BC表示两根长度相同的木条，若O是AD、BC的中点，则容器的内径CD为4cm．【分析】根据“AD，BC表示两根长度相同的木条，若O是AD，BC的中点”，及对顶角相等，容易判断两个三角形全等，得AC＝DB．解：由题意知：OA＝OD，∠AOB＝∠DOC，在△AOB和△DOC中，，∴△AOB≌△DOC（SAS），∴CD＝AB＝4cm．故答案为：4．【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质的应用；解答的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系．关键是要先证明△AOB≌△DOC，然后利用全等的性质求解．12．如图，在△ABC中，∠B＝50°，AD是高，AE是角平分线10度．【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠BAE，根据直角三角形两锐角互余求出∠BAD，然后求解即可．解：∵∠B＝50°，∠C＝70°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣50°﹣70°＝60°，∵AE是角平分线，∴∠BAE＝∠BAC＝，∵AD是高，∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣50°＝40°，∴∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝40°﹣30°＝10°故答案为：10．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线、高线的定义，直角三角形两锐角互余的性质，熟记定理并准确识图是解题的关键．13．如果（x﹣1）5÷（1﹣x）4＝3x+5，那么x的值为﹣3．【分析】先将（1﹣x）4变形为（x﹣1）4，然后再相除，最后解方程即可．解：∵（1﹣x）4＝（x﹣5）4，∴原方程可变形为（x﹣1）3÷（x﹣1）4＝7x+5．∴x﹣1＝5x+5．解得：x＝﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题主要考查的是整式的除法，将（1﹣x）4变形为（x﹣1）4是解题的关键．14．如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，BC＝24cm，S△ABC＝150cm2，则DE的长是5cm．【分析】过D作DF⊥AC于F，根据角平分线的性质得到DE＝DF，又S△ABC＝S△ABD+S△CBD，S△ABD＝DE•AB，S△CBD＝DF•BC，由此可以得到关于DE的方程，解方程即可求出DE．解：如图，过D作DF⊥BC于F，∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，∴DE＝DF，而S△ABC＝S△ABD+S△CBD＝DE•AB+，∴150＝DE×36+，∴150＝18DE+12DF，而DE＝DF，∴DE＝5cm．故答案为：5cm．【点评】此题主要考查了角平分线的性质；解题关键是通过作垂线利用角平分线构造全等三角形，然后利用全等三角形解决问题．15．已知a＝7﹣3b，则代数式a2+6ab+9b2的值为49．【分析】先根据完全平方公式变形，再代入，即可求出答案．解：∵a＝7﹣3b，∴a+7b＝7，∴a2+4ab+9b2＝（a+2b）2＝74＝49，故答案为：49．【点评】本题考查了完全平方公式，能熟记完全平方公式是解此题的关键，注意：（a+b）2＝a2+2ab+b2．16．如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E＝300°，则∠P＝60°．【分析】先根据五边形内角和求得∠EDC+∠BCD，再根据角平分线求得∠PDC+∠PCD，最后根据三角形内角和求得∠P的度数．解：∵在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E＝300°，∴∠EDC+∠BCD＝（5﹣2）×180°﹣300°＝240°，又∵DP、CP分别平分∠EDC，∴∠PDC+∠PCD＝120°，∴△CDP中，∠P＝180°﹣（∠PDC+∠PCD）＝180°﹣120°＝60°．故答案为：60°．【点评】本题主要考查了多边形的内角和以及角平分线的定义，解题时注意：多边形内角和＝（n﹣2）•180°（n≥3且n为整数）．17．如果（x+1）（x2﹣5ax+a）的乘积中不含x2项，则a为．【分析】先用多项式乘以多项式的运算法则展开求它们的积，并且把a看作常数合并关于x2的同类项，令x2的系数为0，求出a的值．解：原式＝x3﹣5ax4+ax+x2﹣5ax+a，＝x5+（1﹣5a）x5﹣4ax+a，∵不含x2项，∴7﹣5a＝0，解得a＝．【点评】本题考查了多项式乘多项式法则，并利用不含某一项，就是让这一项的系数等于0求解．18．有若干张如图所示的正方形A类、B类卡片和长方形C类卡片，如果要拼成一个长为（2a+b），宽为（3a+2b），则需要C类卡片7张．【分析】首先分别计算大矩形和三类卡片的面积，再进一步根据大矩形的面积应等于三类卡片的面积和进行分析所需三类卡片的数量．解：（2a+b）×（3a+6b）＝6a2+5ab+2b2，则需要C类卡片5张．故答案为：7．【点评】此题考查的是多项式乘多项式的运算法则与几何的综合题，方法较新颖．注意对此类问题的深入理解．19．如图，在△ABC中，∠C＝∠B＝65°，BF＝CD，CE＝BD65°．【分析】由SAS可得△FBD≌△DCE，可得∠BFD＝∠CDE，由平角的性质和三角形内角和定理可得∠B＝∠EDF＝65°．解：∵∠C＝∠B＝65°，∴AB＝AC，在△FBD与△DCE中，，∴△FBD≌△DCE（SAS），∴∠BFD＝∠CDE，∴∠B＝180°﹣∠BDF﹣∠BFD＝∠EDF＝180°﹣∠BDF﹣∠CDE，∵∠B＝65°，∴∠EDF＝65°．故答案为：65°．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质问题，熟练掌握全等三角形的判定是本题的关键．三、解答题：（21题每小题24分，22题8分，共计32分）21．（24分）（1）计算：（2m+3n）2﹣（2m+n）（2m﹣n）；（2）计算：（x+1）2﹣x（x+1）；（3）因式分解：（a﹣3）2+（3﹣a）；（4）因式分解：（a2+b2）2﹣4a2b2．【分析】（1）先利用完全平方公式和平方差公式计算，再合并同类项即可；（2）先利用完全平方公式和单项式乘多项式法则计算，再合并同类项即可；（3）提取公因式a﹣3即可得出答案；（4）先利用平方差公式分解，再利用完全平方公式分解即可．解：（1）原式＝4m2+12mn+2n2﹣4m8+n2＝10n2+12mn；（2）原式＝x7+2x+1﹣x8﹣x＝x+1；（3）原式＝（a﹣3）5﹣（a﹣3）＝（a﹣3）（a﹣2）；（4）原式＝（a2+b2+8ab）（a2+b2﹣6ab）＝（a+b）2（a﹣b）2．【点评】本题主要考查整式的混合运算和因式分解，解题的关键是掌握整式的混合运算顺序和运算法则及完全平方公式和平方差公式．22．先化简后求值2（x2y+xy2）﹣2（x2y﹣3x）﹣2xy2﹣2y的值，其中x＝﹣1，y＝2．【分析】根据单项式乘多项式的法则展开，再合并同类项，把xy的值代入求出即可．解：原式＝2x2y+3xy2﹣2x5y+6x﹣2xy6﹣2y＝6x﹣5y，当x＝﹣1，y＝2时，原式＝3×（﹣1）﹣2×2＝﹣10．【点评】本题考查了对整式的加减，合并同类项，单项式乘多项式等知识点的理解和掌握，注意展开时不要漏乘，同时要注意结果的符号，代入﹣1时应用括号．四、解答题：（23题8分，24题8分，共计16分）23．如图，A、D、F、B在同一直线上，AD＝BF，且AE∥BC．求证：（1）△AEF≌△BCD；（2）EF∥CD．【分析】要证△AEF≌△BCD，由已知AE∥BC，得∠A＝∠B．又因AD＝BF，所以AF＝AD+DF＝BF+FD＝BD，又因AE＝BC，所以△AEF≌△BCD．再根据全等即可求出EF∥CD．【解答】证明：（1）∵AE∥BC，∴∠A＝∠B．又∵AD＝BF，∴AF＝AD+DF＝BF+FD＝BD．又∵AE＝BC，在△AEF和△BCD中，，∴△AEF≌△BCD（SAS）．（2）∵△AEF≌△BCD，∴∠EFA＝∠CDB．∴EF∥CD．【点评】本题考查全等三角形和平行线的判定及推理论证能力，已知中有平行线能为证全等提供角相等的条件，而全等又能得到角相等从而为平行线的证明提供了条件．24．下面是某同学对多项式（x2﹣3x+1）（x2﹣3x+5）+4进行因式分解的过程．解：设x2﹣3x＝y．原式＝（y+1）（y+5）+4（第一步）．＝y2+6y+9（第二步）．＝（y+3）2（第三步）．＝（x2﹣3x+3）2（第四步）．回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的B．A．提公因式法B．公式法（2）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解．【分析】（1）由解题过程可知，利用公式法分解；（2）先换元，再用完全平方公式因式分解即可．解：（1）y2+6y+2＝（y+3）2，用到的是公式法；故答案为：B；（2）设y＝x7+2x，∴（x2+2x）（x2+2x+7）+1＝y（y+2）+6＝y2+2y+3＝（y+1）2＝（x8+2x+1）3＝（x+1）4．【点评】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，利用换元和整体的数学思想解题是关键．五、解答题：（本题满分12分）25．在△ABC中，AB＝AC，点D是射线CB上的一动点（不与点B，C重合），使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，设∠BAC＝m，∠DCE＝n．（1）如图1，当点D在线段CB上，且m＝60°时120度；（2）