数列的极限讲解课件

第二章§2.2§2.3§2.1数列的极限第

二

章

极

限连

续§2 .4函

数

的

极

限无

穷

小

量

●

无

穷

大

量函

数

的

连

续

性机动目录上页下页返回结束第二章§

2

.

1数列的极限2.1.1

问题的引入2.1.2

数列概念2.1.3

数列极限的概念2.1.4

数列极限的四则运算2.1.5

数列极限的收敛准则机动目录上页下页返回结束2.1.1

问题的引入引例.如图所示,可得：解：分别表示圆内接正n边形的周长与面积,的变化特征如何？刘徽：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”试问：当n无限增大时,设有一半径为

r的圆

,

试求其周长

l与面积

A

?机动目录上页下页返回结束2.1.2

数

列

的

概

念按自然数的顺序排列的一串实数:or由函数的概念，数列可视为自变量取自然数的或整序变量。还可理解为数轴上不断运动着的点列，随着时刻的推移在数轴上依次取 各点。从几何上看，函数（即定义域为N

的函数），故数列也常被称为整标函数称为（实）数列。记作：记作：机动目录上页下页返回结束例如：0●1●●●●

●

●●-1●●

● ●

●●●●●●●●●

●0●●

●

●

●1-1又如：再如：机动目录上页下页返回结束例如：●0●●●

●

● ●

●●●● ●

●

●

●

●再如：机动目录上页下页返回结束的变化趋势。也就是说，当n无限增大时，是如何变化的？是否与某个常数无限的接近？假若如此，这个常数该是多少？我们怎样才能找到这个常数？后者是一个方法问题，而前者则是一个理论问题。这就提出了以下急待解决的问题：Ⅰ)

如何度量两个数的接近程度？Ⅱ）如何刻画无限接近？对于用数列所描述的实际问题而言，其取值反映了所关心的量在各个时刻所处的状态，这对于研究问题无疑是有益的，但这还不够，我们不仅关心这个量在固定时刻的取值，更关注重它机动目录上页下页返回结束如对于数列：由于反映了与

“1”

的接近程度，

显然，随着

n

“越大”，要使故只要与数1的距离均小于也就是说：与

1

就

“

越接近”

，例如：只须 即可，就能保证从100项之后的各项机动目录上页下页返回结束只须即可，也就是说：完全类似地，要使只须取当时，即：有一般地，对于任意地机动目录上页下页返回结束要使2.1.3

数列极限的定义定义设总存在着自然数

N，当

n>N

时或则称数列是收敛（于a）的；常数a称为数列或或如果数列不收敛，就称之是发散的。(当n趋于无穷时)的极限。记作：是一数列，若常数

a

满足

：对于任意给定的正数的一切

都有：机动目录上页下页返回结束例如,趋势不定收敛发散机动目录上页下页返回结束例1.

设的极限为C。证:对任一自然数，都有：因此

,

取则当时,就有C为常数，验证数列机动目录上页下页返回结束例2.

设验证：证:欲使只要即取则当时,就有故故也可取不一定取最小的N.说明:

N与

ε

有关,

但不唯一也可由取机动目录上页下页返回结束验证等比数列证:欲使只要即亦即因此,取,则当

n>N

时,就有故例3.

设的极限为

0.机动目录上页下页返回结束例4.验证：证:欲使只要即即因此,取则当

n>N

时,就有故令机动目录上页下页返回结束则几何解释:但对于某个特定的若有无限多项，

x注 明：ε

取值的任意性与相对(寻求N时)的确定性；N与ε

的关联性以及N选取的多样性；改变数列 有限项之值，其敛散性不受影响，若收敛，其极限值也不变；是数列极限的一种逻辑法则，并非求极限的方法；机动目录上页下页返回结束例5.证明数列是发散的。证:

用反证法假设数列收敛

,

则有唯一极限

a存在

。取但因交替取值1与－1,而此二数不可能同时落在长度为1的开区间则存在

N,

使当

n>N

时

,有内,

因此该数列发散

.机动目录上页下页返回结束2.1.4

收敛数列的性质定理1（有界与唯一性）收敛数列必是有界的且极限是唯一的。证:

先证有界性：从而有取则有时,则

当

有收敛于a

，即设

取机动目录上页下页返回结束及且取因故存在N1同理,因故存在

N2

,使当

n>N2

时

,

有,

使当

n>

N1

时

,

有再证唯一性：

用反证法：假设则当n>N时,不妨设且机动目录上页下页返回结束这与矛盾。定理2（保序性）证:

设⇒即：ⅱ）用反证法，设均收敛，ⅰ）若ⅱ）若⇒ⅰ）取由极限的唯一性证明知，存在着

N

，当

n>N

时，有若即由ⅰ）得这与题给条件矛盾。机动目录上页下页返回结束设收敛，a,b均为常数，且⇒推论1ⅰ）若ⅱ）若⇒只要在保序性定理中，分别取再分别与作比较即得验证。说明:在ⅰ）中用的是严格的不等号；在ⅱ）中用的是非严格的不等号，即使把ⅱ）条件改为严格的不等号，其结论也未必是严格的不等号，如：显然：机动目录上页下页返回结束推论2（保号性）设显然，只须在推论1中，分别令a,b等于0即可。ⅰ）若ⅱ）若与c同号;机动目录上页下页返回结束定理（四则运算法则）

设均收敛，则ⅰ）ⅱ）ⅲ）设为常数，且收敛，则推论ⅰ）ⅱ）ⅲ）ⅳ）机动目录上页下页返回结束2.1.5

数列极限的收敛准则证:

由条件

(2),当时,当时,令则当时,

有由条件(1)即故1.

夹逼准则(准则1)

(

P30定理4)

设数列满足：机动目录上页下页返回结束且例6.证明证:利用夹逼准则

.

由机动目录上页下页返回结束综上讨论得：例7.计算解：当a=1时，显然有极限为1；当

a

>

1为一定值且

n>

[a]时，有由夹挤原理得：3）当时，有由2）得机动目录上页下页返回结束2.

单调有界收敛准则（准则Ⅱ）

(P30定理5)(证明略)设数列满足：ⅰ）机动目录上页下页返回结束ⅱ）例8.

设证明数列收敛.(P30例11)证:

利用不等式（n个正数的几何平均小于其算术平均），有由此可见数列是单调增的；n+1项相乘机动目录上页下页返回结束n+1项相加根据准则Ⅱ可知数列e为无理数,其值为：即收敛.记此极限记为e,原题 目录 上页 下页 返回 结束又内容小结数列极限的“ε

–N”定义及应用收敛数列的性质:唯一性

;

有界性

;

保号性;极限收敛准则:夹逼准则

;

单调有界准则

;机动目录上页下页返回结束思考与练习如何判断极限不存在?方法1.找一个趋于∞的子数列;方法2.找两个收敛于不同极限的子数列.已知

,求时,下述作法是否正确?

说明理由.设 由递推式两边取极限得不对!

此处机动目录上页下页返回结束作业P30 3

(2),

(3)

,

4

,

6P56 4

(