数字信号处理-面向非电类专业 课后答案汇总 李雨青 第1-8章

第一章课后习题解答1．信号是什么？系统是什么？解：信号是信息的载体和物理表现形式，信息则是信号的具体内容；系统是将信号进行处理（或变换）以达到人们要求的各种设备。2．按自变量和幅值的取值分类，信号可分为哪几类？解：一维信号按时间变量和幅值的取值，可分为连续时间信号、离散时间信号和数字信号。3．数字信号处理和模拟信号处理分别采用什么方法实现对信号的处理？解：数字信号处理采用数值计算的方法完成对信号的处理，而模拟信号处理则通过一些模拟器件（如晶体管、运算放大器、电阻、电容、电感等）组成的网络来完成对信号的处理。4．ADC的英文全称是什么？中文释义是什么？DAC的英文全称是什么？中文释义是什么？解：模数转换器A/D（AnalogtoDigitalConverter，ADC）；数模转换器D/A（DigitaltoAnalogConverter，DAC）5．如何实现ADC？如何实现DAC？解：ADC转换器包括抽样保持及量化编码两部分，由于量化编码无法瞬时完成，因此抽样保持既要实现对模拟信号进行抽样（时间离散化），又要将抽样的幅度保持以便完成量化编码（幅值离散化）。DAC转换器包括解码及抽样保持两部分内容，它的输出为阶梯形的连续时间信号（当用零阶保持电路时），需要再送入模拟低通滤波器以得到光滑的所需的模拟信号。第二章习题与上机题答案1．单项选择题。（1）在对连续时间信号均匀抽样时，要从离散抽样值不失真地恢复原信号，则抽样角频率与信号最高截止频率应满足关系（A）。A． B．C． D．（2）计算两个序列的卷积和涉及多种序列运算，以下哪种运算不包含在其中？（B）A．序列的移位 B．序列的数乘C．序列相乘 D．序列的反转（3）下列哪个单位冲激响应所表示的系统不是因果系统？（B）A． B．C． D．（4）设序列，则其（B）。A．是周期序列，周期为5 B．是周期序列，周期为2C．是周期序列，周期为 D．是非周期序列（5）设系统用差分方程描述，此系统是（B）。A．线性、时不变系统 B．线性、时变系统C．非线性、时不变系统 D．非线性、时变系统（6）设两有限长序列的长度分别是3与5，欲计算两者的卷积和，则卷积和结果的序列长度为（B）。A．8 B．7 C．9 D．16（7）设两有限长序列的长度分别是M与N，二者进行卷积和，输出结果序列的长度为（B）。A．M+N B．M+N1 C．M+N+1 D．2(M+N)2.填空题（1）任一个信号与序列做卷积和等于。（2）给定某系统的输入序列和输出序列的关系为，则该系统为

移变(时变)（移变、移不变）系统。（3）设系统的单位冲激响应为，则系统是因果系统的充要条件为。（4）数字角频率的单位是弧度(rad)，它与模拟角频率的关系是。（5）给定某系统的输入序列和输出序列的关系为，由此可判定该系统为线性（线性、非线性）系统。（6）给定某系统的输入序列和输出序列的关系为，则该系统为移不变(时不变)（移变、移不变）系统。3．用单位脉冲序列及其加权和表示如题3图所示的序列。题3图解：4.设线性时不变系统的单位脉冲响应和输入序列如题4图所示，要求画出输出序列。题4图题4答案图5.略。6.如果某线性移不变系统的输入为，单位冲激响应为，分别求以下系统的输出：（1），；（2），。解：(1)(2)7.设系统由下面差分方程描述： 设系统是因果的，利用递推解法求系统的单位脉冲响应。解：系统是因果的，所以：，，且，，，，所以：8．设系统用一阶差分方程描述，初始条件，试分析该系统是否为线性非时变系统。9．有一模拟信号，式中，。（1）计算的周期；（2）若抽样周期为，对抽样，试写出抽样信号；（3）画出对应的离散时间信号（序列）的波形，并求出的周期。解：(1)的周期为：（2）（3），所以的周期为：9题(3)答案图10．已知滑动平均滤波器的差分方程为 （1）求出该滤波器的单位脉冲响应；（2）如果输入如题10图所示，试求输出并画出它的波形。题10图解：（1）初始状态为零状态：，，且，，，，，，，所以：11．已知系统的差分方程为 其中，，。（1）编程求解系统的单位冲激响应（），并画出在的图形；（2）编程求解系统的零状态单位阶跃响应（），并画出（）的图形。解：将方程整理如下：(1)与(2)的程序如ep211_1.m所示%函数impz和dstep求解数字系统的冲击响应和阶跃响应ep211_1.mn1=0:49;n2=0:100;a1=0.6;a2=0.85;b=0.866;A=[1,a1,a2];B=[b,0,0];hn=impz(B,A,n1);gn=dstep(B,A,n1);subplot(2,1,1);stem(n1,hn,’.’);xlabel('\fontname{TimesNewRoman}\itn');ylabel('\fontname{TimesNewRoman}\ith\rm(\itn\rm)');subplot(2,1,2);stem(n2,gn,’.’);xlabel('\fontname{TimesNewRoman}\itn');ylabel('\fontname{TimesNewRoman}\itg\rm(\itn\rm)');11题答案图第三章习题与上机题答案1．选择题。（1）序列，则的收敛域为（A）。A． B． C． D．（2）序列，则的收敛域为（D）。A． B． C． D．（3）因果稳定系统的收敛域有可能是（D）。A． B． C． D．（4）若序列为，则序列的ZT和收敛域为（B）。A．， B．，C．， D．，（5）序列的DTFT是序列ZT在（C）的值。A．虚轴 B．上N点等间隔抽样C．单位圆上 D．点（6）设是实序列，且，则关于，以下叙述正确的是（A）。A．是共轭对称函数 B．是共轭反对称函数C．是实函数 D．是纯虚函数（7）设是纯虚序列，且，，则（B）。A．是共轭对称函数 B．是共轭反对称函数C．是实函数 D．是纯虚函数（8）时域离散线性时不变系统的系统函数为，和b为常数，若要求系统因果稳定，则a和b的取值域为（A）。A．0≤|a|<1,0≤|b|<1 B．0<|a|≤1,0≤|b|<1C．0<|a|≤1,0<|b|≤1 D．0≤|a|≤1,0≤|b|≤1（9）离散时间信号傅里叶变换存在的充分条件是（A）。A．序列绝对可和 B．序列为有限长序列C．序列为因果序列 D．序列为周期序列（10）关于序列的，下列说法正确的是（C）。A．非周期连续函数 B．非周期离散函数C．周期连续函数，周期为 D．周期离散函数，周期为2．填空题。（1）若序列为，则该序列的Z变换为，收敛域为.（2）设，那么该序列（3）设系统的系统函数，极点为，描述该系统的差分方程为。（4）设是因果序列，，则。（5）设，则的共轭反对称分量。（6）设，那么该序列。（7）若序列为，则该序列的Z变换为，收敛域为。3．已知，求的傅里叶反变换。解：4．设，将以4为周期进行周期延拓形成周期序列，画出和的波形，求出的离散傅里叶级数和傅里叶变换。解：题4解图5．设如题5图所示的序列的DTFT用表示，不直接求出，完成下列运算：（1）；（2）；（3）。题5图解：（1）（2）（3）。6．设系统的单位抽样响应，，输入序列为，完成下面各题：（1）求出系统的输出序列；（2）分别求出、和的傅里叶变换。解：(1)(2)7．已知，，分别求：（1）的Z变换；（2）的Z变换；（3）的Z变换。解：（1）（2）（3）.8．已知 求出对应的各种可能的序列表达式。解:根据收敛域以极点为界的原则，因此的ROC有以下三种情形。（1），对应的序列应是因果序列；（2），对应的序列应是左序列；（3）=3\*roman，对应的序列应是双边序列。下面按照不同的收敛域求其。令（1）这种情形的序列是因果序列，无须求时的值。当时，在围线内的极点为、，所以由式（3.5.8）和式（3.5.11）得 因此，序列表示为。（2）当时，在围线内没有极点 事实上，这种情形对应的序列是左序列，无须计算时的值。当时，在围线内一个高阶极点：（阶），在围线外有两个极点：、，则由式（3.5.10）得因此，序列表示为。（3）当时，在围线内有一个极点：，所以由式（3.5.8）和式（3.5.11）得当时，在围线内有两个极点：，（阶），在围线外有一个极点：，易验证满足条件式（3.5.9），所以由式

（3.5.10）得因此，序列表示为9．已知，分别求：（1）收敛域对应的原序列；（2）收敛域对应的原序列。解:（1）收敛域当时，在围线内有一个极点：，所以由式（3.5.8）和式（3.5.11）得当时，在围线内有两个极点：，（阶），在围线外有一个极点：，易验证满足条件式（3.5.9），所以由式

（3.5.10）得因此，序列表示为（2）收敛域这种情形的序列是因果序列，无须求时的值。当时，在围线内的极点为、，所以由式（3.5.8）和式（3.5.11）得 因此，序列表示为.10．用Z变换法解下列差分方程。（1）（2）解:（1）初始状态为零，且输入为因果序列，因此对方程两边求双边Z变换ROC：因此（2）两边同时求单边Z变换因此ROC：11．设系统由下面的差分方程描述 （1）求系统的系统函数，并画出零、极点分布图；（2）限定系统是因果的，写出的收敛域，并求出其单位抽样响应；（3）限定系统是稳定的，写出的收敛域，并求出其单位抽样响应。解:（1）第11题(1)图(2)由（1）知的收敛域为：，，系统是因果的则收敛域为：，通过查表得（3）系统是稳定的则收敛域为：，通过查表得12．若序列是因果序列，其傅里叶变换的实部如下 求序列及其傅里叶变换。解:序列共轭对称部分，，13.若序列是因果序列，，其傅里叶变换的虚部如下 求序列及其傅里叶变换。解:，，14．证明：若，ROC：，则 ，ROC：证明：15．证明：如果是因果序列，，则。证明：上式两边取极限16．已知网络的输入和单位脉冲响应分别为 （1）用卷积和求网络输出；（2）用Z变换解法求网络输出.解:（1）（2）由于，；，，由收敛域知为因果序列，当时，所以 17*．假设系统函数如下 试用MATLAB绘制其零、极点分布图，并判断系统是否稳定。解:MATLAB的程序如下：B=[16-27];A=[3-3.981.172.3418-1.5147];subplot(2,2,1);zplane(B,A);第17题图通过观察零、极点分布图可知系统在单位圆上有极点，因此系统不稳定.18*．假设系统函数如下 试用MATLAB绘制其零、极点分布图及系统函数的幅频响应。解:MATLAB的程序如下：B=[15-50];A=[2-2.981.172.3418-1.5147];subplot(2,2,1);zplane(B,A);%绘制相频响应曲线[H,w]=freqz(B,A);subplot(2,2,2);plot(w/pi,abs(H));%绘制幅频响应曲线axis([010max(abs(H))]);xlabel('\fontname{TimesNewRoman}\it\omega/\rm\pi');ylabel('\fontname{TimesNewRoman}|\itH\rm(e^{j\rm\omega}\rm)|');第18题图第四章习题与上机题答案1．选择题。（1）（B）。A．0 B．1 C．2 D．4（2）（B）。A．0 B．1 C． D．2（3）（B）。A．0 B．1 C．2 D．（4）（B）。A．0 B． C． D．（5）点的IDFT，需要的复数相乘次数约为（D）次。A．1024 B．1000 C．10000 D．1000000（6）设有限长序列的长度为M，取，是的点DFT，即 则（C）。A． B． C． D．（7）序列的N点DFT是序列的FT变换在（B）的值。A．虚轴 B．上N点等间隔抽样C．单位圆N点等间隔抽样 D．点2．填空题。（1）设长度分别为N、M的两个序列与，如果两个序列的线性卷积与L点循环卷积相等，那么L的取值范围为。（2）设，则。（3）设是长度为的实序列，且，，则是

共轭对称序列。（4）设是长度为的纯虚序列，且，，则是

共轭反对称序列。（5）用DFT进行谱分析可能产生误差的三种现象是混叠现象、栅栏效应、截断效应。（6）N点DFT的隐含周期是N；N点DFT与Z变换的关系是N点DFT是Z变换在单位圆上的等间隔采样。（7）用序列的N点DFT表示该序列的DTFT的内插公式为。（8）如果，则。（9）序列为，，，而 若，则序列。3．计算以下各序列的N点DFT，在变换区间内，序列定义为（1）；（2）；（3）；（4）。解：（1）（2）（3）（4）上式两边同乘以所以，，，即4．已知下列，求。（1）（2）解：（1）（2）5．利用共轭对称性，可以用一次DFT运算来计算两个实数序列的DFT，因而可以减小计算量。如果给定的两个序列都是N点实数序列，试用一次DFT来计算它们各自的DFT： 解：设给定的两个N点实数序列为：，，令N点实数序列为：根据共轭对称性知：，.6．长度为N=10的两个有限长序列作图表示、和⑩。解：题6解图7．证明DFT的对称定理：若，则。证明：因此.8．证明：（1）是长度为的实序列，且，则为共轭对称序列，即；（2）是长度为的实偶对称序列，即，则也为实偶对称序列；（3）是长度为的实奇对称序列，即，则为纯虚函数奇对称序列。证明：（1）（2）因此也为实偶对称序列。（3）因此也为纯虚奇对称序列。9．已知，与均为长度10的实序列，设 （1），求序列与；（2），求与。解：(1)根据DFT的对称性可知（2）10．用DFT对实数序列做谱分析，要求频率分辨率，信号最高频率为2.5kHz，试确定以下各参数：（1）最小持续时间；（2）最大抽样周期；（3）最小抽样点数；（4）在频带宽度不变的情况下，将频率分辨率提高为原来的2倍的N值。解：（1），因此最小持续时间。（2）因为，所以最大抽样周期。（3）因为，所以最小抽样点数。（4）在谱分析范围不变即不变时，频率分辨率提高为原来的2倍，，要求 11．两个有限长序列和的非零区间为 对每个序列都做20点DFT，即 如果 试问在哪些点上？为什么？解：，的长度为27，的长度为20，前面已推出二者的关系为只有在如上周期延拓序列中无混叠的点上，才满足，所以12*．已知序列x(n)={1,2,,3,2,1}。（1）求的傅里叶变换，利用MATLAB画出其幅频特性曲线和相频特性曲线（提示：用1024点FFT近似）；（2）计算的N（）点离散傅里叶变换，利用MATLAB画出的幅频特性曲线和相频特性曲线；（3）将和的幅频特性曲线和相频特性曲线分别画在同一幅图中，验证是的等间隔抽样，抽样间隔为2π/N；（4）利用MATLAB计算的N点IDFT，验证DFT和IDFT的唯一性（其中N=512）。解：本题程序参考课后答案相关程序eps4_12（1）(2)(3)题12解图(4)略13*．给定两个序列，={2,1,1,2}，={1,1,1,1}。（1）直接在时域计算与的卷积和；（2）用DFT计算与的卷积和，总结DFT的时域卷积定理。解：（1）（2）DFT的时域卷积定理：设有限长序列和的长度分别为、且满足式（4.2.1），如果，且则14*．已知序列h(n)=R6(n)，x(n)=nR8(n)。（1）计算=h(n)⑧x(n)；（2）计算⑯；（3）画出h(n)、x(n)、和y(n)的波形图，观察并总结循环卷积与线性卷积的关系。解：（1）（2）=[0 1 36 10 15 21 27 25 22 18 13 7 8.88178419700125e-16 01.77635683940025e-15](3)循环卷积与线性卷积的关系：设有限长序列和的长度分别为、当循环卷积的长度时，两序列的卷积和与循环卷积相等。15*．验证频域抽样定理。设离散时间信号为 其中a=0.5，L=16。（1）利用MATLAB绘制信号x(n)的波形；（2）证明：；（3）利用MATLAB按照N=60对进行抽样，得到，k=0,1,2,…,N1；（4）计算并画出周期序列的波形图，试利用频域抽样定理解释序列与的关系；（5）计算并图示周期序列，比较与，验证（4）中的解释；（6）对N=30，重复（3）～（5）。解：(1)题15解图x(n)的波形(2)证明：(3)题15解图及N=60对进行抽样(4)N=60时(5)题15解图序列(左)和序列(右)的波形图通过比较上面两幅图像可以发现：当时，满足下式：(6)题15解图及N=30对进行抽样题15解图N=30时序列(左)和序列(右)的波形图通过比较上面两幅图像可以发现：当时，即信号的长度大于采样点数时，发生时域混叠现象：第五章习题与上机题参考答案1．计算DFT通常需要做复数乘法。考虑乘积，在此式中，一次复数乘法需要4次实数乘法和2次实数加法，证明利用以下算法可以用3次实数乘法和5次实数加法完成1次复数加法。证明：在与中，需要计算3次实数乘法即，，；5次实数加法即，，，，.2．如题2图所示，给定了一个蝶形运算。这个蝶形运算是从实现某种FFT算法的信号流图中取出的，从下列说法中选择出最准确的一个：（1）这个蝶形是从一个按时间抽取的FFT算法中取出的；（2）这个蝶形是从一个按频率抽取的FFT算法中取出的；（3）由图无法判断蝶形取自何种FFT算法。解：题2图根据基2FFT算法抽取的原理可以判断最准确的一个为(1).题2图3．如果某通用单片计算机的速度为平均每次复数乘法运算需要5μs，每次复数加法运算需要2μs，用来计算N=1024点DFT，问直接计算需要多少时间？用FFT计算呢？照这样计算，在用FFT进行快速卷积来对信号进行处理时，估计可实现实时处理的信号最高频率。解：直接计算需要的时间复数加法时间：μs;复数乘法时间：μs.直接计算需要的时间为7337984μs.用FFT计算需要的时间复数乘法时间：μs;复数加法时间：μs.用FFT计算需要的时间为31941μs.用FFT进行快速卷积来对信号进行处理时,要计算一次N点FFT和一次N点IFFT及N次频域复数乘法。所以在计算1024点快速卷积的计算时间约为31941*2+1024*5=69002μs.所以每秒钟处理的采样点数(采样速率)实时处理的信号最高频率.4．已知和是两个点实序列和的DFT，希望从和求和，为提高运算效率，试设计用一次点IFFT来完成的算法。解：由于和均为实序列，其DFT分别为和均满足共轭对称性，满足共轭反对称令计算一次IFFT由DFT的共轭对称性知5．设是长度为的有限长实序列，为的点DFT。（1）试设计用一次点FFT完成计算的高效算法；（2）若已知，试设计用一次点IFFT实现求的点IDFT运算。解：（1）将按照序号的奇偶分成两组实序列与，即令则由一次蝶形运算就可以得到的点DFT，（2）将按照序号的奇偶分成两组实序列与，即且由上式可解出令，为共轭对称的，为共轭反对称的，即，对进行点IFFT，得到由DFT的共轭对称性知由与合成6．分别画出16点基2DIT-FFT和DIF-FFT运算流图，并计算其复数乘法运算次数，如果考虑三类蝶形的乘法计算，试计算复数乘法运算次数。解：基2DIT-FFT和DIF-FFT运算需要复数乘法运算次数为如果考虑三类蝶形的乘法计算，即第一次分解：减少8次复数乘法第二次分解：减少8次复数乘法第三次分解：减少4次复数乘法第四次分解：减少2次复数乘法所需的复数乘法运算次数为：16点基2DIT-FFT运算流图16点基2DIF-FFT运算流图第六章习题与上机题参考答案1．设系统用下面的差分方程描述试画出系统的直接型结构、级联型结构和并联型结构。解：直接型结构•••••••••••级联型结构与直接型相同••••••••••并联型结构与直接型相同••••••••••2．设数字滤波器的差分方程为试画出该滤波器的直接型结构、级联型结构和并联型结构。解：直接型结构••••••••••级联型结构与直接型相同••••••••••并联型结构与直接型相同••••••••••3．设系统的系统函数为试画出各种可能的级联型结构，并指出哪种最好。解：(1)•••••••••••••••••(2)••••••••••••••••••第一种级联结构要好一些，因为用的延迟单元要少一些。4．题4图中画出了3个系统，试用各子系统的单位脉冲响应分别表示各总系统的单位脉冲响应，并计算其总系统函数。题4图解：(a)该系统采用了级联结构，因此总系统的单位脉冲响应等于各子系统单位脉冲响应的卷积和，即总系统函数为(b)该系统采用了并联结构，因此总系统的单位脉冲响应等于各子系统单位脉冲响应等的卷积和，即总系统函数为(c)该系统采用了先级联然后并联结构，因此总系统的单位脉冲响应为总系统函数为5．已知滤波器的单位脉冲响应为，求滤波器的系统函数，并画出其直接型结构。解：该滤波器的系统函数的直接型结构为•••••••••••••••••6．已知FIR滤波器的系统函数为试画出其直接型结构和线性相位结构。解:直接型结构为•••••••••••••线性相位结构7．已知FIR滤波器的单位脉冲响应为（1），，，（2），，，试画出它们的线性相位结构，并分别说明它们的幅度特性和相位特性各有什么特点。解:（1）为奇数，，该滤波器具有第一类线性相位，以为周期且关于,两点偶对称，，且关于奇对称(2)为偶数，，该滤波器具有第一类线性相位，以为周期且关于,两点偶对称，，且关于奇对称8．已知FIR滤波器的单位脉冲响应为，试用频率抽样结构实现该滤波器。设抽样点数N=5，要求画出频率抽样结构，写出滤波器参数的计算公式。解：已知频率采样结构的公式为式中N=5，其频率采样结构如下图所示题8解图9．题9图画出了6种不同的流图，试分别写出它们的系统函数及差分方程。题9图解：(a)(b)(c)(d)(e)(f)10．已知FIR滤波器的16个频率抽样值为试画出其频率抽样结构，选择，可以用复数乘法器。解：11．已知FIR滤波器的16个频率抽样值为试画出其频率抽样结构，选择修正半径，要求用实数乘法器。解：12．令分别画出它们的直接型结构。解：•••••••••••••••13．对于题13图的系统，要求：（1）确定它的系统函数；（2）如果系统参数为①，，，②，，，画出系统的零、极点分布图，并检验系统的稳定性。题13图解:（1）由图可以写出该系统的差分方程为其系统函数为（2）题13解图①(左)与②(右)从图中可以看出①极点在单位圆上，所以系统是不稳定的；②图中单位圆上没有极点，所以系统是稳定的。14*．假设滤波器的系统函数为在单位圆上抽样8点，选择，试画出它的频率抽样结构，并在计算机上用DFT求出频率抽样结构中的有关系数。解：H=Columns1through410.00001.2929-8.5355i3.0000-5.0000i2.7071+1.4645iColumns5through82.0000-0.0000i2.7071-1.4645i3.0000+5.0000i1.2929+8.5355i题14解图第七章习题与上机题1．填空题。（1）。（2）数字滤波器的频率响应函数都是以为周期的，低通滤波器的通频带中心位于。（3）数字滤波器从实现的网络结构或从单位脉冲响应长度来说，又可以分为有限长单位脉冲响应（IIR）滤波器和有限长单位脉冲响应（FIR）滤波器。（4）模拟频率到数字频率的转换公式为。（5）双线性变换公式为。（6）脉冲响应不变法的优点是=1\*GB3①频率转换关系是线性的，即，如果不存在频谱混叠现象，用这种方法设计的数字滤波器会很好地重现原模拟滤波器的频率响应特性；=2\*GB3②数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位脉冲响应，时域特性逼近得好，脉冲响应不变法的最大缺点是会产生不同程度的频谱混叠现象，其适用于低通滤波器和带通滤波器的设计，不适用于高通滤波器和带阻滤波器的设计。2．已知通带截止频率，通带最大衰减，阻带截止频率，阻带最小衰减，按照以上指标设计巴特沃斯和切比雪夫Ⅰ型模拟低通滤波器。解：(1)设计巴特沃斯低通滤波器=1\*GB3①确定阶数取=2\*GB3②直接通过查表7.2.1得到归一化低通原型系统函数，即=3\*GB3③为将去归一化，先求3dB截止频率，如果取，则 将代入式（7.2.23）的左端项因此阻带指标有富余。如果取，则将代入式（7.2.22）的左端项因此通带指标有富余。=4\*GB3④将代入，得到(2)设计比雪夫Ⅰ型模拟低通滤波器=1\*GB3①滤波器的技术要求，确定阶数和参数，取=2\*GB3②按照式（7.2.54）求出归一化极点，归一化系统函数为=3\*GB3③为将去归一化，将代入，得到3．已知通带截止频率，通带最大衰减，阻带截止频率，阻带最小衰减，按照以上指标设计巴特沃斯模拟高通滤波器。解：通过映射公式（7.3.4）将高通滤波器的指标转换成相应的低通滤波器的指标，通常为了计算简单，一般选择以通带截止频率归一化，即通带截止频率，则可求得低通归一化阻带截止频率为 =1\*GB3①确定阶数取=2\*GB3②直接通过查表7.2.1得到归一化低通原型系统函数，即4．设计切比雪夫Ⅰ型模拟带通滤波器，要求通带下、上止截止频率为4kHz和7kHz，阻带下、上截止频率为3kHz和9kHz，通带最大衰减为1dB，阻带最小衰减为20dB。解：（1）根据所给的带通滤波器指标验证是否满足式（7.3.9），，，因为，所以不满足式（7.3.9），按照式（7.3.10）进行调整，增大，则修正后的为采用修正后的按如下步骤设计切比雪夫Ⅰ型模拟带通滤波器。通过映射公式（7.3.7）将带通滤波器的指标转换成相应的低通滤波器的指标，通常为了计算简单，一般选择以通带截止频率归一化，即通带截止频率，则可求得低通归一化阻带截止频率为确定阶数和参数，取=2\*GB3②按照式（7.2.54）求出归一化极点，归一化系统函数为由低通滤波器到带通滤波器的转换的计算量较大，因此可用下面程序实现。%本题低通滤波器设计程序部分省略，以下是由低通滤波器到带通滤波器的转换wo=2*pi*sqrt（28*（10^6））;%带通滤波器的中心频率Bw=2*pi*3000;%带通滤波器的通带带宽B=[0,0,0,1];A=[0.5088*4,0.5088*4*2.2309,0.5088*4*2.4884,0.5088*4*1.3878];[BT,AT]=lp2bp（B,A,wo,Bw）;fk1=0:11000/512:11000;wk=2*pi*fk1;Hk_b=freqs（BT,AT,wk）;plot(fk1,20*log10(abs(Hk_b)),’k’);gridon;axis([0,11000,-40,5]);set（gca,'xtick',0:2000:11000）;xlabel（'频率/Hz'）;ylabel（'幅度/dB'）;5．已知模拟滤波器的系统函数为，试用脉冲响应不变法将转换成数字滤波器的系统函数（设抽样周期）。解：所以6．已知模拟滤波器的系统函数为，试用双线性变换法将转换成数字滤波器的系统函数（设抽样周期）。解：根据双线性变换式（7.5.4）得到：7．分别用双线性变换法和脉冲响应不变法设计IIR巴特沃斯数字低通滤波器。抽样频率，要求模拟滤波器的通带截止频率，通带最大衰减，阻带截止频率，阻带最小衰减。解：=1\*ROMANI用脉冲响应不变法求滤波器阶数及归一化系统函数取由于，滤波器的阶数较高，同时用脉冲响应不变法到数字滤波器的转换的计算量较大，所以下部分用matlab实现(eps7_7imp.m)。%eps7_7imp.m实现用脉冲响应不变法计算数字低通滤波器。Fs=6000;wp=4.4*pi*1000;ws=6*pi*1000;ap=2;as=20;[N,wc]=buttord(wp,ws,ap,as,’s’);%计算模拟滤波器的阶数N和3dB截止频率[B,A]=butter(N,wc,’s’);%计算模拟滤波器系统函数的分子与分母多项式系数k=0:511;fk=0:4000/512:4000;wk=2*pi*fk;Hk=freqs(B,A,wk);[Bz,Az]=impinvar(B,A);%计算数字滤波器分子Bz与分母多项式系数Azwk=0:pi/512:pi;Hz=freqs(Bz,Az,wk);wk1=0:pi/512:pi;Hz=freqz(Bz,Az,wk1);subplot(2,2,1)plot(wk/(1000*pi),20*log10(abs(Hk)/max(abs(Hk))));gridon;axis([010*min(20*log10(abs(Hk)/max(abs(Hk))))max(20*log10(abs(Hk)/max(abs(Hk))))+4]);set(gca,'xtick',0:1:10);xlabel('\fontname{TimesNewRoman}\rm\Omega\rm/\pi');ylabel('幅度dB')subplot(2,2,2)plot(wk1/pi,20*log10(abs(Hz)/max(abs(Hz))));gridon;axis([01min(20*log10(abs(Hz)/max(abs(Hz))))max(20*log10(abs(Hz)/max(abs(Hz))))+5]);set(gca,'xtick',0:0.2:1);xlabel('\fontname{TimesNewRoman}\it\omega\rm/\pi');ylabel('幅度dB')第7题图脉冲响应不变法实现数字滤波器=2\*ROMANII双线性变换法由于用双线性变换法到数字滤波器的转换的计算量较大，因此可用下面程序实现(eps7_7_bil.m)。T=1/6*0.001;wp=4.4*pi*1000;ws=6*pi*1000;ap=2;as=20;[N,wc]=buttord(wp,ws,ap,as,’s’);%计算模拟滤波器的阶数N和3dB截止频率[B,A]=butter(N,wc,’s’);%计算模拟滤波器系统函数的分子与分母多项式系数k=0:511;fk=0:0.5/512:0.5;wk=2*pi:fk;Hk=freqs(B,A,wk);[Bz,Az]=impinvar(B,A);%计算数字滤波器分子Bz与分母多项式系数Azwk=0:pi/512:pi;Hz=freqs(Bz,Az,wk);wk1=0:pi/512:pi;Hz=freqz(Bz,Az,wk1);%以下画图部分参考eps7_7imp.m第7题图双线线性变换法实现数字滤波器8*．试用双线性变换法设计高通数字滤波器，并满足：通带和阻带都是频率的单调下降函数，通带截止频率为rad，通带衰减不大于1dB，阻带截止频率为rad，阻带衰减不小于15dB。解：(1)确定数字高通滤波器技术指标：，，（2）由于设计的是高通数字滤波器，所以应选用双线性变换法，所以进行预畸变校正求模拟高通边界频率（假定采样间隔T=2s）（3）将高通滤波器指标转换成模拟低通指标。高通归一化边界频率为低通指标为：（4）设计归一化低通：取查表7.2.1得归一化低通为（4）频率变换，求模拟高通，取（5）用双线性变换法将转换成9*．希望对输入模拟信号抽样并进行数字带通滤波处理，系统抽样频率为，并要求：滤除模拟信号和以上频段的频率成分，衰减大于，保留频段的频率成分，幅度失真小于。试设计满足上述要求的数字带通滤波器。解：用数字滤波器对模拟信号进行带通滤波处理（把模拟信号用ADC转换成数字信号）。首先根据给定模拟信号的要求计算数字滤波器的技术指标rad

radradrad如果考虑具有单调下降的幅频特性，可以选用巴特沃斯滤波器；如果考虑滤波器阶数最低，则可选用椭圆滤波器。这里选用椭圆滤波器并调用MATLAB信号处理工具箱函数ellipord和ellip直接设计数字带通滤波器，程序为ep7_9.m。%第9题的程序设计ep7_9.m%调用函数ellipord和ellip直接设计数字带通滤波器Fs=8000;fp1=2025;fpu=2225;fs1=1500;fsu=2700;wpz=[2*fpl/Fs,2*fpu/Fs];wsz=[2*fsl/Fs,2*fsu/Fs];Rp=3;As=30;%数字高通滤波器的技术指标[N,wpo]=ellipord(wpz,wsz,Rp,As);%计算数字滤波器的阶数N和通带截止频率[Bz,Az]=ellip(N,Rp,As,wpo');wk=0:pi/512:pi;Hz=freqz(Bz,Az,wk);程序的绘图部分省略。程序运行结果：N=2;wpo=[0.50625,0.55625];Bz=[0.0330,0.0118,0.0551,0.01188,0.03308];Az=[1,0.3823,1.9255,0.3639,0.9059];根据系数向量Bz和Az，系统函数的分子和分母是2N阶多项式10*．希望对输入模拟信号抽样并进行数字带阻滤波处理，系统抽样频率，希望滤除模拟信号频段的频率成分，幅度失真大于，保留和以上频段的频率成分，衰减小于。解：用数字滤波器对模拟信号进行带阻滤波处理（把模拟信号用ADC转换成数字信号）。首先根据给定模拟信号的要求计算数字滤波器的技术指标rad

radradrad如果考虑具有单调下降的幅频特性，可以选用巴特沃斯滤波器；如果考虑滤波器阶数最低，则可选用椭圆滤波器。这里选用椭圆滤波器并调用MATLAB信号处理工具箱函数ellipord和ellip直接设计数字带阻滤波器，程序为ep7_10.m。%第10题的程序设计ep7_10.m%调用函数ellipord和ellip直接设计数字带阻滤波器Fs=8000;fs1=2025;fsu=2225;fp1=1500;fpu=2700;wpz=[2*fpl/Fs,2*fpu/Fs];wsz=[2*fsl/Fs,2*fsu/Fs];Rp=3;As=30;%数字带阻滤波器的技术指标[N,wpo]=ellipord(wpz,wsz,Rp,As);%计算数字滤波器的阶数N和通带截止频率[Bz,Az]=ellip(N,Rp,As,wpo,’stop’);wk=0:pi/512:pi;Hz=freqz(Bz,Az,wk);程序的绘图部分省略。程序运行结果：N=2;wpo=[0.375,0.675];Bz=[[0.4006,0.1389,0.7884,0.1389,0.4006];Az=[[1,0.2393,0.7351,0.1531,0.5102];根据系数向量Bz和Az，系统函数的分子和分母是2N阶多项式第八章习题与上机题参考答案1．已知线性相位FIR数字滤波器的单位脉冲响应满足第一类线性相位条件，，，，，求。解：由于满足第一类线性相位条件，即因此2．已知线性相位FIR数字滤波器的单位脉冲响应满足第二类线性相位条件，，，，，求系统函数。解：由于满足第二类线性相位条件，即因此3．已知FIR数字滤波器的单位脉冲响应为（1）长度（2）长度试分别说明它们的幅度特性和相位特性各有什么特点。解：（1）由已知条件可知相位特性满足：，.当为偶数时，满足第一类线性相位，其幅度特性满足：关于,两点偶对称，，且关于奇对称。（2）由已知条件可知相位特性满足：，，.当为奇数时，满足第二类线性相位，其幅度特性满足：关于,,三点奇对称，当时，，所以该情况只能实现带通滤波器。4．已知第一类线性相位FIR数字滤波器的单位脉冲响应的长度为16，其16个频域幅度抽样值中的前9个为，，，，，根据第一类线性相位FIR数字滤波器的幅度特性的特点，求其余7个频域幅度抽样值。解：第一类线性相位FIR数字滤波器的幅度特性即5．设FIR数字滤波器的系统函数为求出该滤波器的单位脉冲响应，判断是否具有线性相位，求出其幅度特性函数和相位特性函数。解：由式子可知满足，于是具有第一类线性相位，相位特性函数，.中的特点为：关于,,三点偶对称。因此这种情况可以实现各种滤波器（低通、高通、带通、带阻滤波器）.6．设FIR数字滤波器的系统函数有6个零点，其中一个实数零点为，一个复数零点为，试确定其他4个零点。解：,,,7．用三角窗设计线性相位低通FIR数字滤波器，要求过渡带宽度不超过π/8。希望逼近的理想低通FIR数字滤波器的频率响应函数为（1）求出理想低通FIR数字滤波器的单位脉冲响应；（2）计算加三角窗设计的低通FIR数字滤波器的单位脉冲响应，确定与N之间的关系；（3）简述N取奇数或偶数时对滤波特性的影响。解：（1）（2）N表示的长度为了满足线性相位条件，要求（3）N取奇数时，幅度特性函数关于三点偶对称，可实现各类幅频特性；N取偶数时，关于奇对称，即所以不能实现高通，带阻滤波器。8．用哈明窗设计线性相位高通FIR数字滤波器，要求过渡带宽度不超过π/10。希望逼近的理想高通FIR数字滤波器的频率响应函数为（1）求出理想高通FIR数字滤波器的单位脉冲响应；（2）计算加哈明窗设计的高通FIR数字滤波器的单位脉冲响应，确定与N之间的关系；（3）N的取值有什么限制？为什么？解：（1）（2）N表示的长度为了满足线性相位条件，要求（3）N取奇数时，可以设计线性相位高通FIR数字滤波器，当N取偶数时，，不能实现高通。9．试用窗函数设计一个线性相位FIR数字滤波器，并满足以下技术指标：在低通截止频率处衰减不大于3dB，在阻带截止频率处衰减不小于40dB，对模拟信号的抽样周期。解：（1），，根据阻带最小衰减不小于40dB，选择汉宁窗，，，(2)构造：(3)计算。(4)加窗10．设计一个低通FIR数字滤波器，其理想频率特性为矩形并已知，抽样点数为奇数，，要求滤波器具有线性相位。解：（1），选择矩形窗窗(2)构造：(3)计算。(4)加窗11．对下面的每种滤波器指标，选择满足FIR数字滤波器设计要求的窗函数类型和长度：（1）阻带衰减为20dB，过渡带宽度为1000Hz，抽样频率为12kHz；（2）阻带衰减为50dB，过渡带宽度为2000Hz，抽样频率为50kHz；（3）阻带衰减为50dB，过渡带宽度为500Hz，抽样频率为5000Hz。解：（1）rad,根据阻带衰减选择矩形窗.（2）rad,根据阻带衰减选择哈明窗.（2）rad,根据阻带衰减选择哈明窗.12．分别用矩形窗、改进余弦窗和布莱克曼窗设计线性相位低通FIR数字滤波器，要求希望逼近的理想低通滤波器，过渡带宽度不超过π/10。计算对应的单位脉冲响应，并利用MATLAB画出的损耗函数曲线和相频特性曲线。解:（1）,,,取奇数(2)构造：（2）N表示的长度为了满足线性相位条件，要求矩形窗：改进余弦窗：布莱克曼窗:13．用频率抽样法设计一个线性相位低通FIR数字滤波器。已知，通带截止频率为，通带外侧边沿上设一点过渡带，其模值为。过渡点加在第几点？解：(1),(2)构造：为保证FIR数字滤波器为线性相位因此过渡点加在第3点。(3)用matlab计算FIR数字滤波器的单位脉冲响应T=0.4;%输入过渡带抽样值wp=0.15*pi;%通带截止频率0.15*pim=1;N=15;%滤波器的长度N=N+mod（N+1,2）;%使滤波器的长度为奇数Np=fix（wp/（2*pi/N））；%Np为通带[0,wp]上的抽样点数Ns=N-2*Np-1;%Ns为阻带[wp,2*pi-wp]上的抽样点数Hk=[ones（1,Np+1）,zeros（1,Ns）,ones（1,Np）];%N为奇数，幅度抽样向量偶对称Hk（Np+2）=T;Hk（N-Np）=T;%加一个过渡抽样thetak=-pi*（N-1）*（0:N-1）/N;%相位抽样向量(k)=（N-1）k/NHdk=Hk.*exp（j*thetak）;%构造频域抽样向量Hd（k）hn=real（ifft（Hdk））;%只取实部，忽略计算误差引起的虚部程序运行结果为hn=Columns1through9-0.0150-0.0247-0.02670.00060.06470.15030.22420.25330.2242Columns10through150.15030.06470.0006-0.0267-0.0247-0.0150题13解图14．用频率抽样法设计一个线性相位低通FIR数字滤波器。已知，设希望逼近的滤波器的幅度抽样值为解：(1),(2)用matlab计算FIR数字滤波器的单位脉冲响应T=0.389;%输入过渡带抽样值N=15;%滤波器的长度N=15;%使滤波器的长度为奇数Np=3；%Np为通带[0,wp]上的抽样点数Ns=N-2*Np-1;%Ns为阻带[wp,2*pi-wp]上的抽样点数Hk=[ones（1,Np+1）,zeros（1,Ns）,ones（1,Np）];%N为奇数，幅度抽样向量偶对称Hk（Np+2）=T;Hk（N-Np）=T;%加一个过渡抽样thetak=-pi*（N-1）*（0:N-1）/N;%相位抽样向量(k)=（N-1）k/NHdk=Hk.*exp（j*