福建省莆田市第九中学2024届数学高二上期末经典试题含解析

福建省莆田市第九中学2024届数学高二上期末经典试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知“”的必要不充分条件是“或”，则实数的最小值为（）A. B.C. D.2．已知是偶函数的导函数，．若时，，则使得不等式成立的的取值范围是（）A. B.C. D.3．已知函数，则函数在区间上的最小值为（）A. B.C. D.4．在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为点，则点到直线的距离为（）A. B.C. D.65．新冠肺炎疫情的发生，我国的三大产业均受到不同程度的影响，其中第三产业中的各个行业都面临着很大的营收压力.2020年7月国家统计局发布了我国上半年国内经济数据，如图所示，图1为国内三大产业比重，图2为第三产业中各行业比重下列关于我国上半年经济数据的说法正确的是（）A.第一产业的生产总值与第三产业中“其他服务业”的生产总值基本持平B.第一产业的生产总值超过第三产业中“金融业”的生产总值C.若“住宿和餐饮业”生产总值为7500亿元，则“房地产”生产总值为22500亿元D.若“金融业”生产总值为41040亿元，则第二产业生产总值为166500亿元6．已知直线是圆的对称轴，过点A作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（）A.1 B.2C.4 D.87．世界上最早在理论上计算出“十二平均律”的是我国明代杰出的律学家朱载堉，他当时称这种律制为“新法密率”十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它前一个单音的频率的比都相等，且最后一个单音是第一个单音频率的2倍.已知第十个单音的频率，则与第四个单音的频率最接近的是（）A.880 B.622C.311 D.2208．已知满约束条件，则的最大值为（）A.0 B.1C.2 D.39．设是等差数列的前n项和，若，，则（）A.26 B.－7C.－10 D.－1310．如果一个矩形长与宽的比值为，那么称该矩形为黄金矩形.如图，已知是黄金矩形，，分别在边，上，且也是黄金矩形.若在矩形内任取一点，则该点取自黄金矩形内的概率为（）A. B.C. D.11．①命题设“，若，则或”；②若“”为真命题，则p，q均为真命题；③“”是函数为偶函数的必要不充分条件；④若为空间的一个基底，则构成空间的另一基底；其中正确判断的个数是（）A.1 B.2C.3 D.412．总体有编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取3个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第3个个体的编号为（）7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A.08 B.02C.63 D.14二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．某教师组织本班学生开展课外实地测量活动，如图是要测山高.现选择点A和另一座山顶点C作为测量观测点，从A测得点M的仰角，点C的仰角，测得，，已知另一座山高米，则山高_______米.14．已知数列为严格递增数列，且对任意，都有且．若对任意恒成立，则________15．已知三角形OAB顶点，，，则过B点的中线长为______.16．双曲线的焦距为____________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，已知在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，.（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由.18．（12分）曲线与曲线在第一象限的交点为.曲线是()和()组成的封闭图形.曲线与轴的左交点为、右交点为.（1）设曲线与曲线具有相同的一个焦点，求线段的方程；（2）在（1）的条件下，曲线上存在多少个点，使得，请说明理由.（3）设过原点的直线与以为圆心的圆相切，其中圆的半径小于1，切点为.直线与曲线在第一象限的两个交点为..当对任意直线恒成立，求的值.19．（12分）已知抛物线上的点到其焦点F的距离为5.（1）求C的方程；（2）过点的直线l交C于A，B两点，且N为线段的中点，求直线l的方程.20．（12分）已知点是圆：上任意一点，是圆内一点，线段的垂直平分线与半径相交于点（1）当点在圆上运动时，求点的轨迹的方程；（2）设不经过坐标原点，且斜率为的直线与曲线相交于，两点，记，的斜率分别是，．当，都存在且不为时，试探究是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由21．（12分）已知O为坐标原点，点P在抛物线C：上，点F为抛物线C的焦点，记P到直线的距离为d，且.（1）求抛物线C的标准方程；（2）若过点的直线l与抛物线C相切，求直线l的方程.22．（10分）如图，在平面直角坐标系上，已知圆的直径，定直线到圆心的距离为，且直线垂直于直线，点是圆上异于、的任意一点，直线、分别交与、两点（1）求过点且与圆相切的直线方程；（2）若，求以为直径的圆方程；（3）当点变化时，以为直径的圆是否过圆内的一定点，若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】首先解不等式得到或，根据题意得到，再解不等式组即可.【详解】，解得或，因为“”的必要不充分条件是“或”，所以.实数的最小值为.故选：A2、C【解析】构造函数，分析函数在上的单调性，将所求不等式变形为，可得出关于的不等式，即可得解.【详解】构造函数，其中，则，所以，函数为上的奇函数，当时，，且不恒为零，所以，函数在上为增函数，且该函数在上也为增函数，故函数在上为增函数，因为，则，由得，可得，解得故选：C.3、B【解析】根据已知条件求得以及，利用导数判断函数的单调性，即可求得函数在区间上的最小值.【详解】因为，故可得，则，又，令，解得，令，解得，故在单调递减，在单调递增，又，故在区间上的最小值为.故选：.4、C【解析】按照空间中点到直线的距离公式直接求解.【详解】由题意，，，的方向向量，，则点到直线的距离为.故选：C.5、D【解析】根据扇形图及柱形图中的各产业与各行业所占比重，得到第三产业中“其他服务业”及“金融业”的生产总值占总生产总值的比重，进而比较出AB选项，利用“住宿和餐饮业”生产总值和“房地产”生产总值的比值，求出“房地产”生产总值，判断出C选项，利用第三产业中“金融业”的生产总值与第二产业的生产总值比值，求出第二产业生产总值，判断D选项.【详解】A选项，第三产业中“其他服务业”的生产总值占总生产总值的，因为，所以第三产业中“其他服务业”的生产总值明显高于第一产业的生产总值，A错误；B选项，第三产业中“金融业”的生产总值占总生产总值的，因为，故第一产业的生产总值少于第三产业中“金融业”的生产总值，B错误；“住宿和餐饮业”生产总值和“房地产”生产总值的比值为，若“住宿和餐饮业”生产总值为7500亿元，则“房地产”生产总值为亿元，故C错误；第三产业中“金融业”的生产总值占总生产总值的，与第二产业的生产总值比值为，若“金融业”生产总值为41040亿元，则第二产业生产总值为166500亿元，D正确.故选：D6、C【解析】首先将圆心坐标代入直线方程求出参数a，求得点A的坐标，由切线与圆的位置关系构造直角三角形从而求得.【详解】圆即，圆心为，半径为r=3，由题意可知过圆的圆心，则，解得，点A坐标为，，切点为B则，故选:C【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题.7、C【解析】依题意，每一个单音的频率构成一个等比数列，由，算出公比，结合，即可求出.【详解】设第一个单音的频率为，则最后一个单音的频率为，由题意知，且每一个单音的频率构成一个等比数列，设公比为，则，解得：又，则与第四个单音的频率最接近的是311,故选：C【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列通项公式的运算，解题的关键是分析题意将其转化为等比数列的知识，考查学生的计算能力，属于基础题.8、B【解析】作出给定不等式表示的平面区域，再借助几何意义即可求出的最大值.【详解】画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影，其中，，目标函数，即表示斜率为2，纵截距为的平行直线系，作出直线，平移直线到直线，使其过点A时，的纵截距最小，最大，则，所以的最大值为1.故选：B9、C【解析】直接利用等差数列通项和求和公式计算得到答案.【详解】，，解得，故.故选：C.10、B【解析】由几何概型的面积型，只需求小矩形的面积和大矩形面积之比.【详解】由题意，不妨设，则，又也是黄金矩形，则，又，解得，于是大矩形面积为：，小矩形的面积为，由几何概型的面积型，概率为若在矩形内任取一点，则该点取自黄金矩形内的概率为：.故选：B.11、B【解析】利用逆否命题、含有逻辑联结词命题的真假性、充分和必要条件、空间基底等知识对四个判断进行分析，由此确定正确答案.【详解】①，原命题的逆否命题为“，若且，则”，逆否命题是真命题，所以原命题是真命题，①正确.②，若“”为真命题，则p，q至少有一个真命题，②错误.③，函数为偶函数的充要条件是“”.所以“”是函数为偶函数的充分不必要条件，③错误.④，若为空间的一个基底，即不共面，若共面，则存在不全为零的，使得，故，因为为空间的一个基底，，故，矛盾，故不共面，所以构成空间的另一基底，④正确.所以正确的判断是个.故选：B12、D【解析】由随机数表法抽样原理即可求出答案.【详解】根据题意，依次读出的数据为65（舍去）,72（舍去）,08,02,63（舍去）,14，即第三个个体编号为14.故选：D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】利用正弦定理可求出各个三角形的边长，进而求出山高.【详解】解：在中，，，，可得在中，，所以由正弦定理可得：即，得在直角中，所以故答案为：.14、66【解析】根据恒成立和严格递增可得，然后利用递推求出，的值，不难发现在此两项之间的所有项为连续正整数，于是可得，，然后可解.【详解】因为，且数列为严格递增数列，所以或，若，则（矛盾），故由可得：，，，，，，，，，，，，，因，，，且数列为严格递增数列，，所以，，所以，所以故答案为：6615、【解析】先求出中点坐标，再由距离公式得出过B点的中线长.【详解】由中点坐标公式可得中点，则过B点的中线长为.故答案为：16、【解析】根据双曲线的方程求出，再求焦距的值.【详解】因为双曲线方程为，所以，.双曲线的焦距为.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）存在，为上靠近点的三等分点【解析】（1）分别以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出的坐标以及平面的一个法向量，计算即可求解；（2）假设线段上存在点符合题意，设可得，求出平面的法向量和平面的法向量，利用即可求出的值，即可求解.【详解】（1）分别以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示：则，，，.不妨设平面的一个法向量,则有，即，取.设直线与平面所成的角为，则,所以直线与平面所成角的正弦值为；（2）假设线段上存在点，使得二面角的余弦值.设，则,从而，，.设平面的法向量,则有，即，取.设平面的法向量,则有，即，取.,解得：或（舍）,故存在点满足条件，为上靠近点的三等分点【点睛】求空间角的常用方法：（1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）余弦值，即可求出结果.18、（1）或；（2）一共2个，理由见解析；（3）答案见解析.【解析】（1）先求曲线的焦点，再求点的坐标，分焦点为左焦点或右焦点，求线段的方程；（2）分点在双曲线或是椭圆的曲线上，结合条件，说明点的个数；（3）首先设出直线和圆的方程，利用直线与圆相切，以及直线与曲线相交，分别表示，并计算得到的值.【详解】（1）两个曲线相同的焦点，，解得：，即双曲线方程是，椭圆方程是，焦点坐标是,联立两个曲线，得，，即，当焦点是右焦点时，线段的方程当焦点时左焦点时，，，线段的方程（2），假设点在曲线上单调递增∴所以点不可能在曲线上所以点只可能在曲线上，根据得可以得到当左焦点，，同样这样的使得不存在所以这样的点一共2个（3）设直线方程，圆方程为直线与圆相切，所以，，根据得到补充说明：由于直线的曲线有两个交点，受参数的影响，蕴含着如下关系，∵，当，存在，否则不存在这里可以不需讨论，因为题目前假定直线与曲线有两个交点的大前提，当共焦点时存在不存在.【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆和双曲线相交的综合应用，本题的关键是曲线由椭圆和双曲线构成，所以研究曲线上的点时，需分两种情况研究问题.19、（1）（2）【解析】（1）根据抛物线的定义可得，求得，即可得出答案；（2）设，利用点差法求出直线l的斜率，再利用直线的点斜式方程即可得出答案.【小问1详解】解：由抛物线定义可知：，解得：，∴C的方程为；【小问2详解】解：设，则，两式作差得，∴直线l的斜率，∵为的中点，∴，∴，∴直线l的方程为，即（经检验，所求直线符合条件）.20、（1）；（2）是定值，.【解析】(1)根据给定条件探求得，再借助椭圆定义直接求得轨迹的方程.(2)设出直线的方程，再与轨迹的方程联立，借助韦达定理计算作答.【小问1详解】圆：的圆心，半径，因线段的垂直平分线与半径相交于点，则，而，于是得，因此，点的轨迹是以C，A为左右焦点，长轴长为4的椭圆，短半轴长有，所以轨迹的方程为.【小问2详解】依题意，设直线的方程为：，，由消去y并整理得：，，则且，设，则有，，因直线，的斜率，都存在且不为，因此，且，，，所以直线，的斜率，都存在且不为时，是定值，这个定值是.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值21、（1）；（2）或.【解析】（1）根据抛物线的定义进行求解即可；（2）根据直线l是否存在斜率分类讨论，结合一元二次方程根的判别式进行求解即可.【小问1详解】因为，所以P到直线的距离等于，所以抛物线C的准线为，所以，，所以抛物线C的标准方程为；【小问2详解】当直线l的斜率不存在时，方程为，此时直线l恰与抛物线