福建省南那时华侨中学2024届高二上数学期末考试试题含解析

福建省南那时华侨中学2024届高二上数学期末考试试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图，矩形BDEF所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直，，，点P在线段EF上.给出下列命题：①存在点P，使得直线平面ACF；②存在点P，使得直线平面ACF；③直线DP与平面ABCD所成角的正弦值的取值范围是；④三棱锥的外接球被平面ACF所截得的截面面积是.其中所有真命题的序号（）A.①③ B.①④C.①②④ D.①③④2．设R，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3．已知是定义在上的函数，且对任意都有，若函数的图象关于点对称，且，则（）A. B.C. D.4．数列满足，，，则数列的前10项和为（）A.60 B.61C.62 D.635．设，则“”是“直线与直线平行”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件6．设函数，则（）A.4 B.5C.6 D.77．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待18秒才出现绿灯的概率为（）A B.C. D.8．椭圆的离心率为（）A. B.C. D.9．函数在和处的导数的大小关系是（）A. B.C. D.不能确定10．如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点、，交其准线于点，若，且，则的值为（）A. B.C. D.11．对于实数a，b，c，下列命题为真命题的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则12．已知直线与直线平行，且直线在轴上的截距比在轴上的截距大，则直线的方程为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数，是其导函数，若曲线的一条切线为直线：，则的最小值为___________.14．已知圆，直线与圆C交于A，B两点，且，则______15．若＝，则x的值为_______16．《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题．“今有城墙厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半……”题意是：“两只老鼠从城墙的两边相对分别打洞穿墙．大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半……”则小老鼠第三天穿城墙______尺；若城墙厚40尺，则至少在第________天相遇三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设椭圆：（）的离心率为，椭圆上一点到左右两个焦点、的距离之和是4.（1）求椭圆的方程；（2）已知过的直线与椭圆交于、两点，且两点与左右顶点不重合，若，求四边形面积的最大值.18．（12分）已知等比数列的公比，，.（1）求数列的通项公式；（2）令，若，求满足条件的最大整数n.19．（12分）如图，在三棱柱中，平面ABC，，，，点D，E分别在棱和棱上，且，，M为棱的中点（1）求证：；（2）求直线AB与平面所成角的正弦值20．（12分）已知函数，记f（x）的导数为f′（x）．若曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为﹣3，且x＝2时y＝f（x）有极值，（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值21．（12分）某学校高一、高二、高三的三个年级学生人数如下表，按年级分层抽样的方法评选优秀学生50人，其中高三有10人.高三高二高一女生100150z男生300450600（1）求z的值；（2）用分层抽样的方法在高一学生中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1名女生的概率；（3）用随机抽样的方法从高二女生中抽取8人，经检测她们的得分如图所示，把这8人的得分看作一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过5分的概率.22．（10分）已知函数（）（1）讨论函数的单调区间；（2）若有两个极值点，（），且不等式恒成立，求实数m的取值范围

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】当点P是线段EF中点时判断①；假定存在点P，使得直线平面ACF，推理导出矛盾判断②；利用线面角的定义转化列式计算判断③；求出外接圆面积判断④作答.【详解】取EF中点G，连DG，令，连FO，如图，在正方形ABCD中，O为BD中点，而BDEF是矩形，则且，即四边形DGFO是平行四边形，即有，而平面ACF，平面ACF，于是得平面ACF，当点P与G重合时，直线平面ACF，①正确；假定存在点P，使得直线平面ACF，而平面ACF，则，又，从而有，在中，，DG是直角边EF上中线，显然在线段EF上不存在点与D连线垂直于DG，因此，假设是错的，即②不正确；因平面平面，平面平面，则线段EF上的动点P在平面上的射影在直线BD上，于是得是直线DP与平面ABCD所成角的，在矩形BDEF中，当P与E不重合时，，，而，则，当P与E重合时，，，因此，，③正确；因平面平面，平面平面，，平面，则平面，，在中，，显然有，，由正弦定理得外接圆直径，，三棱锥的外接球被平面ACF所截得的截面是的外接圆，其面积为，④正确，所以所给命题中正确命题的序号是①③④.故选：D【点睛】结论点睛：两个平面互相垂直，则一个平面内任意一点在另一个平面上的射影都在这两个平面的交线上.2、A【解析】根据不等式性质判断即可.【详解】若“”，则成立；反之，若，当，时，不一定成立.如，但.故“”是“”的充分不必要条件.故答案为：A.【点睛】本题考查充分条件、必要调价的判断，考查不等式与不等关系，属于基础题.3、D【解析】令，代入可得，即得，再由函数的图象关于点对称，判断得函数的图象关于点对称，即，则化简可得，即函数的周期为，从而代入求解.【详解】令，得，即，所以，因为函数的图象关于点对称，所以函数的图象关于点对称，即，所以，即，可得，则，故选：D.第II卷（非选择题4、B【解析】讨论奇偶性，应用等差、等比前n项和公式对作分组求和即可.【详解】当且为奇数时，，则，当且为偶数时，，则，∴.故选：B.5、A【解析】根据两直线平行的充要条件求出a的值，然后可判断.【详解】当时，，所以两直线平行；若两直线平行，则且，解得或，所以，“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件.故选：A6、D【解析】求出函数的导数，将x=1代入即可求得答案.【详解】,故，故选：D.7、B【解析】由几何概型公式求解即可.【详解】红灯持续时间为40秒，则至少需要等待18秒才出现绿灯的概率为，故选：B8、A【解析】由椭圆标准方程求得，再计算出后可得离心率【详解】在椭圆中，，，，因此，该椭圆的离心率为.故选：A.【点睛】本题考查求椭圆的离心率，根据椭圆标准方程求出即可9、A【解析】求出函数导数即可比较.【详解】，，所以，即.故选：A.10、B【解析】分别过点、作准线的垂线，垂足分别为点、，设，根据抛物线的定义以及直角三角形的性质可求得，结合已知条件求得，分析出为的中点，进而可得出，即可得解.【详解】如图，分别过点、作准线的垂线，垂足分别为点、，设，则由己知得，由抛物线的定义得，故，在直角三角形中，，，因为，则，从而得，所以，，则为的中点，从而.故选：B.11、D【解析】判断不等式的真假，就是要考虑在不等式的变形过程中是否遵守不等式变形的规则.【详解】若，令，，，，，故A错误；若，令c=0，则，故B错误；若，令a=-1，b=-2，，，故C错误；∵，故，根据不等式运算规则，在不等式的两边同时乘以或除以一个正数，不等式的方向不变，故D正确.故选：D.12、A【解析】分析可知直线不过原点，可设直线的方程为，其中且，利用斜率关系可求得实数的值，化简可得直线的方程.【详解】若直线过原点，则直线在两坐标轴上的截距相等，不合乎题意，设直线的方程为，其中且，则直线的斜率为，解得，所以，直线的方程为，即.故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】设直线与曲线相切的切点为，借助导数的几何意义用表示出m，n即可作答.【详解】设直线与曲线相切的切点为，而，则直线的斜率，于是得，即，由得，而，于是得，即因，则，，当且仅当时取“=”，所以的最小值为.故答案为：【点睛】结论点睛：函数y=f(x)是区间D上的可导函数，则曲线y=f(x)在点处的切线方程为：.14、-2【解析】将圆的一般方程化为标准方程，结合垂径定理和勾股定理表示出圆心到弦的距离，再由点到直线的距离公式表示出圆心到弦的距离，解方程即可求得的值.【详解】解：将圆的方程化为标准方程可得，圆心为，半径圆C与直线相交于、两点,且，由垂径定理和勾股定理得圆心到直线的距离为，由点到直线距离公式得，所以，解得，故答案为：.15、4或9.【解析】分析：先根据组合数性质得，解方程得结果详解：因为＝，所以因此点睛：组合数性质：16、①.##0.25②.6【解析】由题意知小老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以为公比的等比数列，大老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以2为公比的等比数列，即可算出小老鼠第三天穿城墙的厚度，再根据等比数列求和公式，构造等式，即可得解.【详解】由题意知，小老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以为公比的等比数列，前天打洞之和为，∴小老鼠第三天穿城墙的厚度为；大老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以2为公比的等比数列，前天打洞之和为，∴两只老鼠第天打洞穿墙的厚度之和为，且数列为递增数列，而，，又城墙厚40尺，所以这两只老鼠至少6天相遇.故答案为：；6.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）6.【解析】（1）本小题根据题意先求，，，再求椭圆的标准方程；（2）本小题先设过的直线的方程，再根据题意表示出四边形的面积，最后求最值即可.【详解】解：（1）∵椭圆上一点到左右两个焦点、的距离之和是4，∴即，∵，∴，又∵，∴.∴椭圆的标准方程为；（2）设点、的坐标为，，因为直线过点，所以可设直线方程为，联立方程，消去可得：，化简整理得，其中，所以，，因为，所以四边形是平行四边形，设平面四边形的面积为，则，设，则（），所以，因为，所以，，所以四边形面积的最大值为6.【点睛】本题考查椭圆的标准方程，相交弦等问题，是偏难题.18、（1）（2）【解析】(1)由等比数列的性质可得，结合条件求出，得出公比，从而得出通项公式.(2)由（1）可得，再求出的前项和，从而可得出答案.【小问1详解】由题意可知，有，，得或∴或又，∴∴【小问2详解】，∴∴，又单调递增,所以满足条件的的最大整数为19、（1）证明见解析；（2）【解析】（1）由线面垂直、等腰三角形的性质易得、，再根据线面垂直的判定及性质证明结论；（2）构建空间直角坐标系，确定相关点坐标，进而求的方向向量、面的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示求直线与平面所成角的正弦值.【小问1详解】在三棱柱中，平面，则平面，由平面，则，，则，又为的中点，则，又，则平面，由平面，因此，.【小问2详解】以为原点，以，，为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，可得：，，，，，，.∴，，，，设为面的法向量，则，令得，设与平面所成角为，则，∴直线与平面所成角的正弦值为.20、（Ⅰ）f（x）＝x3﹣3x2+1；（Ⅱ）最大值为1，最小值为﹣3【解析】（Ⅰ）求导可得f′（x）的解析式，根据导数的几何意义，可得k=f′（1）=-3，又在x＝2处有极值，所以f′（2）＝0，即可求得a，b的值，即可得答案；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f′（x）的解析式，令f′（x）=0，解得x＝0或x＝2，讨论f（x）在﹣1＜x＜0，0＜x＜1上的单调性，即可求得f（x）的极值，检验边界值，即可得答案.【详解】（Ⅰ）由题意得：f′（x）＝3x2+2ax+b，所以k=f′（1）＝3+2a+b＝﹣3，f′（2）＝12+4a+b＝0，解得a＝﹣3，b＝0，所以f（x）＝x3﹣3x2+1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，令f′（x）＝3x2﹣6x＝0，解得x＝0或x＝2，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣1，0）是增函数，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）在（0，1）是减函数，所以f（x）的极大值为f（0）＝1，又f（1）＝﹣1，f（﹣1）＝﹣3，所以f（x）在[﹣1，1]上的最大值为1，最小值为﹣321、（1）400（2）（3）【解析】（1）根据分层抽样的方法，列出关系式计算即可；（2）根据分层抽样的方法，求出抽取的女生人数，进而列举出从样本中抽取2人的所有情况，可根据古典概型的概率公式计算即可；（3）求出样本平均数，进而求出与样本平均数之差的绝对值不超过5的数，从而利于古典概型的概率公式计算即可.【小问1详解