三角形的外心内心垂心重心

三角形的“四心”所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心.当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心.一、外心【定义】三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心.的重心一般用字母表示.【性质】外心到三顶点等距，即.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即.3..二、内心【定义】三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心.的内心一般用字母表示.【性质】1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角.2.三角形的面积＝三角形的周长内切圆的半径．3.；三角形的周长的一半.4.，.三、垂心【定义】三角形三条高的交点叫重心.的重心一般用字母表示.【性质】顶点与垂心连线必垂直对边，即.△的垂心为，△的垂心为，△的垂心为.四、重心【定义】三角形三条中线的交点叫重心.的重心一般用字母表示.【性质】1.顶点与重心的连线必平分对边.2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的倍.即重心的坐标是三顶点坐标的平均值．即.向量性质：（1）；（2），5..三角形“四心”的向量形式：结论1：若点为所在的平面内一点，满足，则点为的垂心.结论2：若点为△ABC所在的平面内一点，满足，则点为的垂心.结论3：若点满足，则点为的重心.结论4：若点为所在的平面内一点，满足，则点为的重心.结论5：若点为所在的平面内一点，并且满足（其中为三角形的三边），则点为△ABC的内心.结论6：若点为所在的平面内一点，满足，则点为的外心.结论7：设，则向量，则动点的轨迹过的内心.同理可证：平分，平分．从而是的内心，如图⑸.【命题6】已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的内心．【解析】由题意得，∴当时，表示的平分线所在直线方向的向量，故动点的轨迹一定通过的内心，如图⑹.四、“外心”的向量风采【命题7】已知是所在平面上一点，若，则是的外心．图⑺图⑺图⑻【解析】若，则，∴，则是的外心，如图⑺.【命题7】已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的外心.【解析】由于过的中点，当时，表示垂直于的向量，所以在垂直平分线上，动点的轨迹一定通过的外心，如图⑻.练习：1.已知三个顶点及平面内一点，满足，若实数满足：，则的值为（）A．2B．C．3D．62．若的外接圆的圆心为O，半径为1，，则()A．B．0C．1D．3．点在内部且满足，则面积与凹四边形面积之比是（）A．0B．C．D．4．的外接圆的圆心为O，若，则是的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心5．是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，若，则是的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心6.的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,，则实数m=7．（06陕西）已知非零向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))满足(eq\f(\o(AB,\s\up5(→)),|\o(AB,\s\up5(→))|)+eq\f(\o(AC,\s\up5(→)),|\o(AC,\s\up5(→))|))·eq\o(BC,\s\up6(→))=0且eq\f(\o(AB,\s\up5(→)),|\o(AB,\s\up5(→))|)·eq\f(\o(AC,\s\up5(→)),|\o(AC,\s\up5(→))|)=eq\f(1,2),则△ABC为()A．三边均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰非等边三角形D．等边三角形8．已知三个顶点，若，则为（）A．等腰三角