北京市石景山2023年九年级上学期《数学》期末试卷与参考答案

北京市石景山区2023年九年级上学期《数学》期末试卷与参考答案一、选择题共16分，每题2分。第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。1.如果，那么的值是（）A. B. C. D.答案：C2.如图，在中，．若，，则的长为（）A.2 B. C. D.6答案：D3.如图，点在上，若，则的度数为（）A. B. C. D.答案：C4.如图，在菱形中，点E在上，与对角线交于点F．若，，则为（）A. B. C. D.答案：D5.将抛物线向上平移2个单位长度，平移后的抛物线的表达式为（）A. B.C. D.答案：A6.若圆的半径为9，则的圆心角所对的弧长为（）A.3 B.6 C. D.答案：D7.若二次函数的图象与x轴有交点，则m的取值范围是（）A. B. C. D.答案：B8.如图，线段，点在线段上（不与点重合），以为边作正方形，设，，正方形的面积为，则与，与满足的函数关系分别为（）A.一次函数关系，二次函数关系 B.反比例函数关系，二次函数关系C.一次函数关系，反比例函数关系 D.反比例函数关系，一次函数关系答案：A二、填空题共16分，每题2分。9.如图，在中，D、E分别是边AB、AC的中点，若的面积是1，则的面积是______；答案：410.如图，在中，，点D在边上，点E在边上且．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是___________（写出一个即可）．答案：11.如图，，分别与相切于A，B两点．若，，则的长为___________．答案：12.抛物线的对称轴为直线___________．答案：13.在平面直角坐标系中，若点，在反比例函数的图象上，则___________（填“>”，“=”或“＜”）．答案：>14.如图，线段，分别表示甲、乙建筑物的高，于点B，于点D，两座建筑物间的距离为．若甲建筑物的高为，在点A处测得点C的仰角为，则乙建筑物的高为___________m．答案：5515.如图，点A，B，C在上，．若点D为上一点（不与点A，C重合），则的度数为___________．答案：或16.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，B两点，对称轴是直线，下面四个结论中，①②当时，y随x的增大而增大③点B的坐标为④若点，在函数的图象上，则所有正确结论的序号是___________．答案：①④三、解答题共68分，第17-21题，每题5分，第22题6分，第23题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17.计算：．答案：18.如图，A是直线上一点，，过点B作于点D，过点C作于点E．[1]求证：；[2]若，，求的长．答案：[1]∵，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，∴[2]在中，，由勾股定理得，，∵，∴，∴∴19.已知：如图1，P为上一点．求作：直线，使得与相切．作法：如图2，①连接；②以点P为圆心，长为半径作弧，与的一个交点为A，作射线；③以点A为圆心，长为半径作圆，交射线于点Q（不与点O重合）；④作直线．直线就是所求作的直线．[1]使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；[2]完成下面的证明．证明：连接．由作法可知，∴点P在以为直径的上．∴___________°（___________）（填推理的依据）．∴．又∵是的半径，∴是的切线（___________）（填推理的依据）．答案：[1]如图，[2]证明：连接．由作法可知，∴点P在以为直径的上．∴（直径所对的圆周角是直角）．（填推理的依据）∴．又∵是的半径，∴是的切线（过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线）（填推理的依据）．故答案为：90，直径所对的圆周角是直角；过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线【点睛】本题主要考查了复杂作图，圆周角定理，切线的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．20.《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代的语言表述如下，请解答：如图，是的直径，弦于点E，寸，寸，求直径的长．答案：连接，

∵弦，为圆O的直径，

∴E为的中点，

又∵寸，

∴寸，

设寸，则寸，寸，

由勾股定理得：，

即，

解得：，

∴寸，

即直径的长为26寸．21.在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），顶点为C．[1]直接写出点B，点C的坐标；[2]画出这个二次函数的图象；[3]若点，在此二次函数的图象上，则m的值为___________．答案：[1]∵二次函数，

∴当时，；当时，；该函数的顶点坐标是，

∵二次函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），顶点为C，

∴点A的坐标为，点，点；[2]如图所示．【小问3详解】∵点，∴直线轴，∴点，关于直线对称，∴，解得，故答案为：422.如图，在中，，，，求的长．答案：如图所示：过作于，，，，，，，，，，，，∴的长为4．23.在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，一次函数的图象与y轴交于点B．[1]求反比例函数的表达式并直接写出点的坐标；[2]当时，对于的每一个值，都有，直接写出的取值范围．答案：[1]依题意，把点，代入得，∴反比例函数的表达式为；由的图象与y轴交于点B，令，得，∴；[2]如图，令中，，解得：，当直线经过点时，解得：，根据函数图象可知，当时，当时，对于的每一个值，都有，∴24.为了在校运动会的推铅球项目中取得更好的成绩，小石积极训练，铅球被推出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，从铅球出手（点A处）到落地的过程中，铅球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系．小石进行了两次训练．[1]第一次训练时，铅球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：水平距离012345678竖直高度1.62.12.42.52.42.11.60.90根据上述数据，求出满足的函数关系，并直接写出小石此次训练的成绩（铅球落地点的水平距离）；[2]第二次训练时，小石推出的铅球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系．记小石第一次训练的成绩为，第二次训练的成绩为，则___________（填“>”，“=”或“＜”）．答案：[1]根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：，，，即该运动员竖直高度的最大值为，根据表格中的数据可知，当时，，代入得：，解得：，函数关系式为：，由表格数据可知：第一次训练时的水平距离为8m；[2]根据表格可知，第一次训练时的水平距离，第二次训练时，当时，，解得，（舍）水平距离，，故答案为：．25.如图，是的直径，C，D是上的点且，过点D作交的延长线于点E．[1]求证：是的切线；[2]连接，若，，求的长．答案：[1]证明：如图，连接.∵，∴，∵，∴.∴，∴∵，∴，∵为的半径，∴是的切线．[2]如图，连接，∵，∴，∵是直径，∴∴，∵，∴，26.在平面直角坐标系中，点在抛物线上，抛物线与x轴有两个交点，，其中．[1]当时，求抛物线的表达式及顶点坐标；[2]点在抛物线上，若，求的取值范围．答案：[1]当，将点代入得：，解得：，故抛物线的解析式为：，顶点坐标为；[2]∵，是抛物线与x轴的两个交点，，∴，∵点在抛物线上，∴在抛物线上∵点在抛物线上，∴，∴，∴，∵，∴，∴，又∵时，y随x增大而增大，，∴，∴，∴．27.如图，四边形是正方形，以点A为中心，将线段顺时针旋转，得到线段，连接，．[1]求的度数；[2]过点B作于点F，连接，依题意补全图形，用等式表示线段与的数量关系，并证明．答案：[1]在正方形ABCD中，AB=AD=BC，，，，，[2]，理由：根据题意补全图形，连接BD，，，由[1]知，，，在中，，，又，，，，，，28.在平面直角坐标系中，图形上任意两点间的距离若有最大值，将这个最大值记为．对于点和图形给出如下定义：点是图形上任意一点，若两点间的距离有最小值，且最小值恰好为，则称点为图形的“关联点”．[1]如图1，图形是矩形，其中点的坐标为，点的坐标为，则___________．在点，，，中，矩形的“关联点”是___________；[2]如图2，图形是中心在原点的正方形，其中点的坐标为．若直线上存在点，使点为正方形的“关联点”，求的取值范围；[3]已知点，．图形是以为圆心，1为半径的，若线段上存在点，使点为的“关联点”，直接写出的取值范围．答案：[1]由题意得，，，，到矩形的最小距离为：1，，不符合题意；到矩形的最小距离为：，符合题意；到矩形的最小距离为：1，，不符合题意；到矩形的最小距离为：，符合题意，故是矩形“关联点”；[2]根据题意可得，正方形