关于映射均为左逆的讨论

关于映射均为左逆的讨论

0f有右逆双射且左、右逆共犯,且讨论的映射是左的。在集合理论中指定了理由。f:A→B.f:A→B.(1)f是单的,当且仅当f有左逆;(2)f是满的,当且仅当f有右逆;(3)f是双射,当且仅当f既有左逆又有右逆且左、右逆相等(参见文).任意一个映射或变换τ,它的左、右逆究竟有多少个?由此定理知:当τ为双射时,τ有且仅有一个左、右逆;当τ不单不满时,它没有左、右逆;但当τ单而不满或满而不单时,情况如何?以下我们将从非空集A上的变换幺半群T(A)着手,给出变换和映射的这种情形下的左、右逆的个数的完满结论.1满而旋,a型为引进结论,引入两个记号:(1)A的势(或计数)为|A|;(2)τ:A→A,A={[a]|[a]=A→A,A={[a]|[a]={x∈A|τ(x)=a},a∈A}.定理1A为无限集,τ∈T(A),则下列结论成立:(1)τ单而不满时,τ无右逆,τ有无限个左逆;(2)τ满而不单时,τ无左逆,τ有右逆,个数如下确定:若∀c∈A有|c|<+∞且满足1<|c|<+∞的c只有有限个,记为c1,c2,…,cn,则τ有有限个右逆元,右逆个数为|c1||c2|…|cn|;否则τ有无限个右逆元.证明(1)τ单而不满时,τ(A)⫋A,A\τ(A)≠《.τ:A→A,a|→a′=τ(a)‚τ:A→A,a|→a′=τ(a)‚规定τl:A→A,a′|→a,当且仅当a′=τ(a)时,x|→a0,当x∈A\τ(A)时,(1)其中,a0是A中固定元.则有∀a∈A,τlτ(a)=τl(τ(a))=τl(a′)=a=1A(a),从而τlτ=1A,即τl为τ的左逆.注意到(1)式中a0是临时固定的,它可以跑遍A,从而x的象可为任意元,从而τl有无限多个.τ无右逆是显然的.(2)τ满而不单时,∀a∈A,[a]≠《,由选择公理,取一个a0∈[a]‚则τ(a0)=a.(2)a0∈[a]‚则τ(a0)=a.(2)规定τr:A→A,a|→a0=τr(a),τr:A→A,a|→a0=τr(a),其中a0取法由(2)决定.则∀a∈A,ττr(a)=τ[τ(a)]=τ(a0)=a=1A(a),从而ττr=1A,即τr为τ的右逆.在(2)式中,a0的取法有|[a]|种,每一取法对应一个τr,所以当∀a∈A,|[a]|<+∞且满足1<|[a]|<+∞的A中的元只有c1,c2,…,cn时,由乘法原理知共有|c1||c2|…|cn|种不同的右逆;不满足上述条件,即要么至少有一个|[a]|=+∞或1<|[a]|<+∞的有无限个,则右逆有无限个.例A={1,2,3,…},τ∈T(A)且τ满而不单:τ:A→A,1‚2‚3|→1‚i|→i−2(i＞3)‚τ:A→A,1‚2‚3|→1‚i|→i-2(i＞3)‚规定τr如下:τr1:A→A,i|→i+2(i＞1)‚1|→1；τr2:A→A,i|→i+2(i＞1)‚1|→2；τr3:A→A,i|→i+2(i＞1)‚1|→3τr1:A→A,i|→i+2(i＞1)‚1|→1；τr2:A→A,i|→i+2(i＞1)‚1|→2；τr3:A→A,i|→i+2(i＞1)‚1|→3均有ττrj(i)=τ(i+2)=2(i＞1),ττrj(1)=1,ττrj(i)=τ(i+2)=2(i＞1),ττrj(1)=1,其中,j=1,2,3.即τ有3个右逆元τr1,τr2,τr3.注由此断言,无限集上的变换幺半群不能嵌入环中,因为在环中若一个元的右逆不唯一,则右逆必无限,而此处τ的右逆有可能有限,参见文.为讨论有限集,先引入一个引理:引理1A为有限集,τ∈T(A)则τ单⇔τ满.τ单⇔τ满.证明由τ(A)⊆A且|A|<+∞,知τ单⇔|τ(A)|=|A|⇔τ(A)=A⇔τ满.τ单⇔|τ(A)|=|A|⇔τ(A)=A⇔τ满.定理2A为有限集,τ∈T(A),则τ单(或满)时,τ有唯一的左、右逆且左、右逆相等.证明由引理1及引言定理知其成立.在集范畴中,映射的左、右逆也有类似结论:定理3A,B为非空集,τ∈Mor(A,B)(符号意义参见文)有下列结论:(1)τ单而不满时,τ无右逆,其左逆个数为|A||B\τ(A)|;(2)τ满而不单时,τ无左逆,其右