2024版新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式2.3二次函数与一元二次方程不等式习题课不等式恒成立能成立问题导学案新人教A版必修第一册

习题课不等式恒成立、能成立问题【学习目标】掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法．题型1在R上的恒成立问题例1若不等式ax2＋(1－a)x＋a－2≥－2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围．学霸笔记：(1)不等式ax2＋bx＋c>0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c>0；当a≠0时，a(2)不等式ax2＋bx＋c<0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c<0；当a≠0时，a(3)不等式ax2＋bx＋c≥0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c≥0；当a≠0时，a(4)不等式ax2＋bx＋c≤0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c≤0；当a≠0时，a跟踪训练1已知关于x的不等式2kx2＋kx－38<0的解集为R，求实数k题型2在给定范围内恒成立的问题例2当－1≤x≤2时，不等式x2＋(m－4)x－5≤0恒成立，求实数m的取值范围．一题多变当x>0时，不等式x2－5x＋4>kx恒成立，求实数k的取值范围．学霸笔记：(1)转化为对应的二次函数图象与x轴的交点问题．①当a>0时，ax2＋bx＋c<0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时小于0.②当a<0时，ax2＋bx＋c>0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时大于0.(2)用分离参数法转化为相应二次函数的最值或用基本不等式求最值．跟踪训练2已知关于x的方程x2＋x－a－1>0在0≤x≤1上恒成立，求实数a的取值范围．题型3不等式能成立问题例3已知关于x的方程x2＋x－a－1>0在0≤x≤1上有解，求实数a的取值范围．学霸笔记：(1)结合二次函数图象，将问题转化为端点值的问题解决．(2)对一些简单的问题，可转化为m>ymin或m<ymax的形式，通过求y的最小值与最大值，求得参数的取值范围．跟踪训练3若存在12≤x≤2，使得xx2+k>13(k随堂练习1.∀x∈R，不等式ax2＋4x－1<0恒成立，则a的取值范围为()A．a<－4B．a<－4或a＝0C．a≤－4D．－4<a<02．已知不等式x2－ax＋1≥0，在0<x<2上恒成立，则实数a的取值范围是()A．a≤2B．a≤1C．0<a≤2D．0<a≤13．若关于x的不等式x2－6x＋11－a<0在2<x<5内有解，则实数a的取值范围是()A．a>－2B．a>3C．a>6D．a>24．若关于x的不等式x2－x＋m<0的解集是∅，则实数m的取值范围是____________．课堂小结1.会使用判别式法、分离参数法、数形结合等方法解决不等式恒成立、能成立问题．2．正确区分不等式恒成立与能成立问题．习题课不等式恒成立、能成立问题例1解析：由题意，ax2＋(1－a)x＋a≥0恒成立，当a＝0时，不等式可化为x≥0，不满足题意；当a≠0时，满足a>0即a>01-a2故实数a的取值范围是a≥13跟踪训练1解析：不等式2kx2＋kx－38<0的解集为R若k＝0，不等式为－38<0若k≠0，则有k<0Δ=k2所以不等式的解集为R，实数k的取值范围为－3<k≤0.例2解析：令y＝x2＋(m－4)x－5，∵y≤0在－1≤x≤2上恒成立，y＝0的根一个小于等于－1，一个大于等于2，如图可得1+4-m-∴实数m的取值范围为{m|0≤m≤92}一题多变解析：由题意得，k<x2-5x+4x在x>0上恒成立，令y＝x2-由基本不等式得g(x)＝x＋4x－5≥24－5＝－1，当且仅当x＝4x，即x＝所以k<－1，则k的取值范围是{k|k<－1}．跟踪训练2解析：由题可知a<x2＋x－1在0≤x≤1上恒成立，令y＝x2＋x－1，只需a<ymin，而ymin＝－1，所以a<－1.例3解析：由x2＋x－a－1>0可得a<x2＋x－1，所以a<x2＋x－1在0≤x≤1上有解，只需a<ymax，因为y＝x2＋x－1＝(x＋12)2－54，0≤x≤所以ymax＝1，所以a<1.跟踪训练3解析：依题意，存在12≤x≤2，使得xx2+k>1所以3x>x2＋k，k<－x2＋3x，由于函数y＝－x2＋3x的开口向下，对称轴为x＝32所以k<－322＋3×32即k的取值范围是{k|k<94}[随堂练习]1．解析：∀x∈R，不等式ax2＋4x－1<0恒成立，当a＝0时，显然不恒成立，所以a<0Δ=16+4a<0，解得：a<答案：A2．解析：依题意得x2－ax＋1≥0，ax≤x2＋1，a≤x＋1x，在0<x<2上，x＋1x≥2x·1x＝2，当且仅当x＝1x，x＝1答案：A3．解析：设y＝x2－6x＋11，开口向上，对称轴为直线x＝3，所以要使不等式x2－6x＋11－a<0在2<x<5内有解，只要a>ymin即可，即a>f(3)