三角恒等变换教案

3.1两角和与差的三角函数第1课时【学习目标】1、理解向量法推导两角和与差的余弦公式，并能初步运用解决具体问题；2、应用公式，求三角函数值.3．培养探索和创新的能力和意识.【自学评价】探究cos()的公式【精典范例】练习计算1、sin752、coscossinsin【解】练习不查表，求下列各式的值.（1）（2）（3）看例2练习127页1、2、3、4、【追踪训练】：1．sinsin=，coscos=，(0,),(0,),求cos()的值。2．求cos75的值3．计算：cos65cos115cos25sin1154计算：cos70cos20+sin110sin205．已知锐角,满足cos=cos(+)=求cos.6．已知cos()=,求(sin+sin)2+(cos+cos)2的值.【选修延伸】例5已知，是第三象限角，求的值.例6，且，求的值.【追踪训练】：1．满足的一组的值是（）A.B.C.D.2．若，则的值为（）A.0B.1C.D.—1第2课时【学习要求】掌握两角和与差的正弦公式及其推导方法。通过公式的推导，了解它们的内在联系，培养逻辑推理能力。并运用进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形。掌握诱导公式重点难点重点：由两角和的余弦公式推导出两角和的正弦公式难点：进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形【自学评价】两角和的正弦公式的推导sin(+)=cos[(+)]=cos[()]=cos()cos+sin()sin=sincos+cossin即：以代得：2公式的分析，结构解剖：正余余正符号同。【精典范例】例1求值【解】例2：已知，求的值.例3已知sin(+)=,sin()=求的值.【解】例4（1）已知，求tanα:tanβ的值.【解】思维点拔：由两角和的余弦公式推导出两角和的正弦公式，并进而推得两角和的正弦公式，并运用进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形。【追踪训练一】：1.在△ABC中，已知cosA=，cosB=，则cosC的值为（）（A）（B）（C）（D）2.已知，，，，求sin(+)的值.3.已知sin+sin=，求cos+cos的范围.4.已知sin(+)=，sin()=，求的值.已知sin+sin=①cos+cos=②求cos()【解】【选修延伸】例5化简.【解】思维点拔：我们得到一组有用的公式：⑴sinα±cosα＝sin＝cos．(2)sinα±cosα＝2sin＝2cos．asinα＋bcosα＝sin（α＋φ）＝cos（α－）【追踪训练二】：1．化简2．求证：cosx+sinx=cos(x).3.求证：cos+sin＝2sin(+).4.已知，求函数的值域.5.求的值.【师生互动】第3课时【学习导航】掌握两角和与差的正切公式及其推导方法。通过公式的推导，了解它们的内在联系，培养逻辑推理能力。3．能正确运用三角公式，进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形。教学重点：学习重点能根据两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式学习难点进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形【自学评价】1．两角和与差的正、余弦公式2．tan(+)公式的推导∵cos(+)0tan(+)=当coscos0时,分子分母同时除以coscos得：以代得：其中都不等于注意：1必须在定义域范围内使用上述公式tan，tan，tan(±)只要有一个不存在就不能使用这个公式，只能用诱导公式.2注意公式的结构，尤其是符号.4．请大家自行推导出cot(±)的公式—用cot，cot表示当sinsin0时,cot(+)=同理，得：cot()=【精典范例】例1已知tan=，tan=2求cot()，并求+的值，其中0<<90,90<<180.【解】例2求下列各式的值：（1）（2）tan17+tan28+tan17tan28（3）tan20°tan30°＋tan30°tan40°＋tan40°tan20°【解】点评：可在△ABC中证明例3已知求证tan=3tan(+).【证】例4已知tan和是方程的两个根，证明：pq+1=0.【证】例5已知tan=，tan()=(tantan+m),又,都是钝角，求+的值.【解】思维点拔：两角和与差的正弦及余弦公式,解题时要多观察，勤思考，善于联想，由例及类归纳解题方法，如适当进行角的变换，灵活应用基本公式，特殊角函数的应用等是三角恒等到变换中常用的方法和技能．【追踪训练一】1.若tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，则cos（A＋B）的值为()2.在△ABC中，若0＜tanA·tanB＜1则△ABＣ一定是()A.等边三角形B.直角三角形Ｃ.锐角三角形Ｄ.钝角三角形3.在△ABC中，tanA＋tanB＋tanＣ＝3，tan2B＝tanAtanＣ，则∠B等于.4.＝.5.已知.6.已知（１）求；（２）求的值（其中）．【选修延伸】例6已知A、B为锐角，证明的充要条件是（1＋tanA）（1＋tanB）＝2.【证】思维点拔：可类似地证明以下命题：(1)若α＋β＝，则（1－tanα）（1－tanβ）＝2；(2)若α＋β＝，则（1＋tanα）（1＋tanβ）＝2；(3)若α＋β＝，则（1－tanα）（1－tanβ）＝2.【追踪训练二】1.an67°30′－tan22°30′等于()A.1B.Ｃ.2Ｄ.42.an17°tan43°＋tan17°tan30°＋tan30°tan43°的值为(B)A.－1B.1Ｃ.Ｄ.－3.(1＋tan1°)(1＋tan2°)(1＋tan3°)…(1＋tan44°)(1＋tan45°)＝.4.＝5.已知3sinβ＝sin（2α＋β）且tanα＝1，则tan（α＋β）=6.已知方程x2＋4ax＋3a＋1＝0（a＞1）的两根分别为tanα，tanβ且α，β（－)，求sin2（α＋β）＋sin（α＋β）cos（α＋β）＋2cos2（α＋β)的值.7.已知函数的图象与轴交点为、，求证：.【师生互动】3.2二倍角的三角函数第1课时【学习导航】知识网络1.二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三角函数之间的互化问题.2.二倍角公式不只限于是的二倍的形式，其它如是的两倍，是的两倍，是的两倍，是的两倍等，所有这些都可以应用二倍角公式.因此，要理解“二倍角”的含义，即当时，就是的二倍角.凡是符合二倍角关系的就可以应用二倍角公式.尤其是“倍角”的意义是相对的.3.二倍角公式是从两角和的三角函数公式中，取两角相等时推导出，记忆时可联想相应角的公式.4.公式成立的条件是学习要求1.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；2.能用上述公式进行简单的求值、化简、恒等证明.重点难点重点：1.二倍角公式的推导；2.二倍角公式的简单应用.难点：理解倍角公式，用单角的三角函数表示二倍角的三角函数.【自学评价】1.复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式：2.二倍角公式的推导在公式，，中，当时，得到相应的一组公式：；；；注意：1°在中2°在因为，所以公式可以变形为或公式，，，统称为二倍角的三角函数公式，简称为二倍角公式.【精典范例】倍角公式的简单运用例1不查表．求下列各式的值（１）（２）（３）（４）【解】例2若tan=3，求sin2cos2的值【解】例3用表示【解】点评：1、加深对“二倍角”的理解，即角的变换；2、进一步体会“化归思想”（三倍角化归为两角和与二倍角）。例4已知，求的值。【解】点评：进一步体会角的变换的妙处。二、之间的关系例5已知，，求，，，的值。【解】三、倍角公式的进一步运用例6求证：【解】例7求的值。【解】进一步探讨的值。思维点拔：要理解并掌握二倍角公式以及推导，能正确运用二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明.二倍角公式是由和角公式由一般化归为特殊而来的，要注重这种基本数学思想方法，学会怎样去发现数学规律.【追踪训练】：1.若270°＜α＜360°，则等于()A.sinB.cosC.－sinＤ.－cos2.求值：(1)sin2230’cos2230’=(2)(3)(4)3.求值(1)sin10°sin30°sin50°sin70°(2)cos200cos400cos600cos8004.已知，求sin2，cos2，tan2的值.5.已知，，且，求的值。6.已知求的值．7.已知求的值．【师生互动】第2课时【学习导航】知识网络1．熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角—降次，降角—升次）2．特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形：这两个形式今后常用。学习要求要求学生能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明，增强灵活运用数学知识和逻辑推理能力重点难点重点：理解倍角公式，用单角的三角函数表示二倍角的三角函数难点：灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式【自学评价】1．有关公式：（1）；（2）；（3）。说明：1、在倍角公式中，以代替，以代替，即得；则将（1）（2）相除即得。2、如果知道cosα的值和α角的终边所在象限，就可以将右边开方，从而求得；3、这三个公式的开方形式称为半角公式，不要求记忆，但推导方法要掌握。4、。说明：1、用正切的半角公式显然行不同（带正负号），回到基本关系式，并向右边看齐；2、这种形式的正切半角公式不需考虑符号，要简单。【精典范例】例1化简：【解】例2求证：[sin(1+sin)+cos(1+cos)]×[sin(1sin)+cos(1cos)]=sin2【证明】【思维点拨】关于“升幂”“降次”的应用:在二倍角公式中，“升次”“降次”与角的变化是相对的。在解题中应视题目的具体情况灵活掌握应用。例3求函数的值域。【解】例4求证：的值是与无关的定值。【证】例5化简：【解】例6求证：【证明】例7利用三角公式化简：