2020-2021学年天津市红桥区高一(下)期末数学试卷(解析版)

2020-2021学年天津市红桥区高一（下）期末数学试卷一、选择题（共9小题）.1．i是虚数单位，计算的结果为（）A．﹣i B．i C．﹣2i D．2i2．已知平面向量＝（1，2），＝（﹣2，m），且∥，则m的值为（）A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣43．i是虚数单位，若复数z＝2+i，则z的共轭复数＝（）A．﹣2+i B．B﹣i C．2﹣i D．﹣2﹣i4．为了了解全校240名高一学生的身高情况，从中抽取40名学生进行测量，下列说法正确的是（）A．总体是240 B．个体是每一个学生 C．样本是40名学生 D．样本容量是405．已知向量＝（3，﹣1，2），＝（x，y，﹣4），且∥，则x+y＝（）A．8 B．4 C．﹣4 D．﹣86．已知一组数据为20，30，40，50，50，60，70，80，其中平均数、中位数和众数的大小关系是（）A．平均数＞中位数＞众数 B．平均数＜中位数＜众数 C．中位数＜众数＜平均数 D．众数＝中位数＝平均数7．已知向量＝（1，x），＝（﹣1，x），若2﹣与垂直，则||＝（）A． B． C．2 D．48．设l是直线，α、β是两个不同的平面，则下列结论正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β C．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β9．长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120，若E为CC1的中点，则三棱锥E﹣BCD的体积为（）A．10 B．20 C．30 D．40二、填空题：共6个小题，每小题4分，共24分．10．某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家，为掌握各类超市的营业情况．现按分层抽样方法抽取一个容最为200的样本，应抽取中型超市家．11．i是虚数单位，若复数（1﹣2i）（a+i）是纯虚数，则实数a的值为．12．已知||＝3，||＝2，若•＝﹣3，则与夹角的大小为．13．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a2+c2﹣b2＝ac，则角B的大小为．14．棱长为1的正方体的八个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积为．15．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC＝3BE，DC＝λDF，若•＝1，则λ的值为．三、解答题：共4个小题，共40分．16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若b＝6，a＝2c，B＝．（Ⅰ）求a，c的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．17．在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且2asinB＝b．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a＝3，△ABC的面积为，求△ABC的周长．18．四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，DC＝SD＝2，点M是侧棱SC的中点，AD＝．（Ⅰ）求异面直线CD与BM所成角的大小；（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的正弦值．19．如图，四边形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，EA∥PD，AD＝PD＝2EA＝2，F，G，H分别为PB，EB，PC的中点．（1）求证：FG∥平面PED；（2）求平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小；（3）在线段PC上是否存在一点M，使直线FM与直线PA所成的角为？若存在，求出线段PM的长；若不存在，请说明理由．

参考答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．i是虚数单位，计算的结果为（）A．﹣i B．i C．﹣2i D．2i解：＝．故选：A．2．已知平面向量＝（1，2），＝（﹣2，m），且∥，则m的值为（）A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣4解：∵∥∴1×m＝2×（﹣2）∴m＝﹣4故选：D．3．i是虚数单位，若复数z＝2+i，则z的共轭复数＝（）A．﹣2+i B．B﹣i C．2﹣i D．﹣2﹣i解：因为z＝2+i，所以z的共轭复数＝2﹣i．故选：C．4．为了了解全校240名高一学生的身高情况，从中抽取40名学生进行测量，下列说法正确的是（）A．总体是240 B．个体是每一个学生 C．样本是40名学生 D．样本容量是40解：本题考查的对象是240名高一学生的身高情况，故总体是240名高一学生的身高情况；个体是每个学生的身高情况；样本是40名学生的身高情况，故样本容量是40．故选：D．5．已知向量＝（3，﹣1，2），＝（x，y，﹣4），且∥，则x+y＝（）A．8 B．4 C．﹣4 D．﹣8解：∵向量＝（3，﹣1，2），＝（x，y，﹣4），且∥，∴，解得x＝﹣6，y＝2，x+y＝﹣6+2＝﹣4．故选：C．6．已知一组数据为20，30，40，50，50，60，70，80，其中平均数、中位数和众数的大小关系是（）A．平均数＞中位数＞众数 B．平均数＜中位数＜众数 C．中位数＜众数＜平均数 D．众数＝中位数＝平均数解：一组数据为20，30，40，50，50，60，70，80，它的平均数为×（20+30+40+50+50+60+70+80）＝50，中位数为×（50+50）＝50，众数为50；∴它们的大小关系是平均数＝中位数＝众数．故选：D．7．已知向量＝（1，x），＝（﹣1，x），若2﹣与垂直，则||＝（）A． B． C．2 D．4【解答】解∵，，∴2＝（3，x），由⇒3×（﹣1）+x2＝0，解得x＝﹣，或x＝，∴或，∴||＝，或||＝．故选：C．8．设l是直线，α、β是两个不同的平面，则下列结论正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β C．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β解：若l∥α，l∥β，则α∥β或α，β相交，故A不正确；根据线面平行的性质可得：若l∥α，经过l的直线与α的交线为m，则l∥m，∵l⊥β，∴m⊥β，根据平面与平面垂直的判定定理，可得α⊥β，故B正确；若l⊥α，α⊥β，则l⊂β或l∥β，故C错误；作出正方体ABCD﹣A′B′C′D′，设平面ABCD为α，ADD′A′为β，则α⊥β，观察正方体，得到：B′C′∥α，且B′C′∥β；A′D′∥α，且A′D′⊂β；A′B′∥α，且A′B′与β相交．∴面α、β及直线l满足：α⊥β，l∥α，则一定有l∥β或l⊂β或l与β相交，故D不正确．故选：B．9．长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120，若E为CC1的中点，则三棱锥E﹣BCD的体积为（）A．10 B．20 C．30 D．40解：如图，不妨设AB＝a，BC＝b，CC1＝c，则abc＝120，则＝．故选：A．二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．10．某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家，为掌握各类超市的营业情况．现按分层抽样方法抽取一个容最为200的样本，应抽取中型超市40家．解：依题意，抽样比为＝，而中型超市有400家，故应抽取中型超市400×＝40家．故填：40．11．i是虚数单位，若复数（1﹣2i）（a+i）是纯虚数，则实数a的值为﹣2．解：由（1﹣2i）（a+i）＝（a+2）+（1﹣2a）i为纯虚数，得，解得：a＝﹣2．故答案为：﹣2．12．已知||＝3，||＝2，若•＝﹣3，则与夹角的大小为．解：设与夹角的大小为θ，θ∈[0，π]，∵＝||•||•cosθ＝3•2•cosθ＝﹣3，∴cosθ＝﹣，θ＝，故答案为：．13．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a2+c2﹣b2＝ac，则角B的大小为．解：cosB＝，又B∈（0，π），所以．故答案为．14．棱长为1的正方体的八个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积为3π．解：∵棱长为1的正方体的八个顶点都在同一个球面上，∴球的直径是正方体的对角线，∴球的半径是r＝，∴球的表面积是4×＝3π故答案为：3π．15．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC＝3BE，DC＝λDF，若•＝1，则λ的值为2．解：∵BC＝3BE，DC＝λDF，∴＝，＝，＝+＝+＝+，＝+＝+＝+，∵菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，∴||＝||＝2，•＝2×2×cos120°＝﹣2，∵•＝1，∴（+）•（+）＝++（1+）•＝1，即×4+×4﹣2（1+）＝1，整理得，解得λ＝2，故答案为：2．三、解答题：本大题共4个小题，共40分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若b＝6，a＝2c，B＝．（Ⅰ）求a，c的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．解：（Ⅰ）由余弦定理知，b2＝a2+c2﹣2accosB，所以36＝4c2+c2﹣2•2c2•，即c2＝12，所以c＝2，a＝2c＝4．（Ⅱ）△ABC的面积S＝acsinB＝•4•2•＝6．17．在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且2asinB＝b．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a＝3，△ABC的面积为，求△ABC的周长．解：（I）∵2asinB＝b，∴由正弦定理，可得，∵B∈（0，π），∴sinB≠0，sinA＝，∵△ABC为锐角三角形，∴．（II）∵△ABC的面积为，∴＝＝，解得bc＝，在△ABC中，运用余弦定理，可得a2＝b2+c2﹣2bc•cosA，∴，即（b+c）2＝25，∴△ABC的周长a+b+c＝3+5＝8．18．四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，DC＝SD＝2，点M是侧棱SC的中点，AD＝．（Ⅰ）求异面直线CD与BM所成角的大小；（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的正弦值．解：（Ⅰ）以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，M（0，1，1），所以，则＝，因为异面直线所成的角为，所以异面直线CD与BM所成角的大小为；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，，设平面SAM的法向量为，则，即，令z＝1，则，设平面AMB的法向量为，则，即，令a＝1，则，所以＝＝，故二面角S﹣AM﹣B的正弦值为＝．19．如图，四边形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，EA∥PD，AD＝PD＝2EA＝2，F，G，H分别为PB，EB，PC的中点．（1）求证：FG∥平面PED；（2）求平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小；（3）在线段PC上是否存在一点M，使直线FM与直线PA所成的角为？若存在，求出线段PM的长；若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：因为F，G分别为PB，BE的中点，所以FG∥PE．又FG⊄平面PED，PE⊂平面PED，所以FG∥平面PED．（2）解：因为EA⊥平面ABCD，所以PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AD，PD⊥CD．又因为四边形ABCD是正方形，所以AD⊥CD．如图建立空间直角坐标系，因为AD＝PD＝2EA，所以D（0，0，0），P（0，0，2），A（2，0，0），C（0，2，0），B（2，2，0），E（2，0，1）．因为F，G，H分别为PB，EB，PC的中点，所以F（1，1，1），G（2，1，），H（0，1，1）．所以，