2023届高考数学复习圆锥曲线微专题-椭圆双曲线抛物线的基本性质专项训练二选择题含解析

Page212023届高考复习圆锥曲线微专题——椭圆、双曲线、抛物线的基本性质专项训练二（选择题）1、(2022·晋中新一双语学校模拟)设F1，F2同时为椭圆C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)与双曲线C2：eq\f(x2,aeq\o\al(2,1))－eq\f(y2,beq\o\al(2,1))＝1eq\b\lc\((\a\vs4\al\co1(a1>0，b1>0)))的左、右焦点，设椭圆C1与双曲线C2在第一象限内交于点M，椭圆C1与双曲线C2的离心率分别为e1，e2，O为坐标原点，若eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))＝2eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MO))，则eq\f(1,eeq\o\al(2,1))＋eq\f(1,eeq\o\al(2,2))＝()A．2eq\r(2)B.eq\r(2)C.eq\f(3,2)D．22、过椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点.若以AB为直径的圆与l存在公共点，则C的离心率的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(5),5))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)，1))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))3、(2021·安徽蚌埠质检)已知双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(\r(3),3)x，一个焦点F(2,0)，则该双曲线的虚轴长为()A．1 B．eq\r(3)C．2 D．2eq\r(3)4、(2021·云南、贵州、四川、广西联考)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M为C左支上一点，N为线段MF2上一点，且|MN|＝|MF1|，P为线段NF1的中点．若|F1F2|＝4|OP|(O为坐标原点)，则C的渐近线方程为()A．y＝±x B．y＝±eq\r(2)xC．y＝±eq\r(3)x D．y＝±2x5、(2021·河北省衡水中学调研)已知点F是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点，点E是该双曲线的左顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若∠AEB是钝角，则该双曲线的离心率e的取值范围是()A．(1＋eq\r(2)，＋∞) B．(1,1＋eq\r(2))C．(2，＋∞) D．(2,1＋eq\r(2))6、设双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为()A.±eq\f(1,2) B.±eq\f(\r(2),2) C.±1 D.±eq\r(2)7、已知M(x0，y0)是双曲线C：eq\f(x2,2)－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))<0，则y0的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),6)，\f(\r(3),6)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(2),3)，\f(2\r(2),3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(3),3)，\f(2\r(3),3)))8、(2020·全国Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点.若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为()A.4 B.8 C.16 D.329、(多选)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率为eq\f(2\r(3),3)，右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，则()A.渐近线方程为y＝±eq\r(3)xB.渐近线方程为y＝±eq\f(\r(3),3)xC.∠MAN＝60°D.∠MAN＝120°10、(2022·苏北四市调研)椭圆G：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点为F1(－c，0)，F2(c，0)，M是椭圆上一点，且满足eq\o(F1M,\s\up6(→))·eq\o(F2M,\s\up6(→))＝0.则椭圆离心率e的取值范围为()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))11、(多选)如图，两个椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1，eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1内部重叠区域的边界记为曲线C，P是曲线C上的任意一点，下列四个说法正确的为()A．P到F1(－4,0)，F2(4,0)，E1(0，－4)，E2(0,4)四点的距离之和为定值B．曲线C关于直线y＝x，y＝－x均对称C．曲线C所围区域面积必小于36D．曲线C总长度不大于6π12、在平面直角坐标系xOy中，点P为椭圆C：eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)的下顶点，M，N在椭圆上，若四边形OPMN为平行四边形，α为直线ON的倾斜角，若α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,4)))，则椭圆C的离心率的取值范围为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(6),3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)，\f(\r(3),2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)，\f(2\r(2),3)))13、已知点F1，F2分别是椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的左、右焦点，点M是该椭圆上的一个动点，那么|eq\o(MF1,\s\up6(→))＋eq\o(MF2,\s\up6(→))|的最小值是()A．4 B．6C．8 D．1014、设A，B是椭圆C：eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,m)＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是()A．(0，1]∪[9，＋∞) B．(0，eq\r(3)]∪[9，＋∞)C．(0，1]∪[4，＋∞) D．(0，eq\r(3)]∪[4，＋∞)15、设F为双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点.若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为()A.eq\r(2) B.eq\r(3) C.2 D.eq\r(5)16、(2022·长春市质量监测)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两个顶点分别为A，B，点P为双曲线上除A，B外任意一点，且点P与点A，B连线的斜率分别为k1，k2，若k1k2＝3，则双曲线的渐近线方程为()A．y＝±x B．y＝±eq\r(2)xC．y＝±eq\r(3)x D．y＝±2x17、(2022·安徽皖南名校联考)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，其右支上存在一点M，使得eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝0，直线MF2平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线C的离心率为()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C．2 D.eq\r(5)18、(2021·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为()A．eq\f(\r(7),2) B．eq\f(\r(13),2)C．eq\r(7) D．eq\r(13)19、(2020·全国Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为()A．4 B．8C．16 D．3220、已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点为F1，F2，在双曲线上存在点P满足2|eq\o(PF1,\s\up7(→))＋eq\o(PF2,\s\up7(→))|≤|eq\o(F1F2,\s\up7(→))|，则此双曲线的离心率e的取值范围是()A．(1,2] B．[2，＋∞)C．(1，eq\r(2)] D．[eq\r(2)，＋∞)21、(2020·高考天津卷)设双曲线C的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，过抛物线y2＝4x的焦点和点(0，b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,4)＝1 B．x2－eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(x2,4)－y2＝1 D．x2－y2＝122、已知离心率为eq\f(\r(5),2)的双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OM⊥MF2，O为坐标原点，若S△OMF2＝16，则双曲线的实轴长是()A．32 B．16C．84 D．423、(2020·新高考卷Ⅰ改编)已知曲线C：mx2＋ny2＝1，下列说法错误的是()A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m＝n>0，则C是圆，其半径为eq\r(n)C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±eq\r(－\f(m,n))xD．若m＝0，n>0，则C是两条直线24、(多选)设F1，F2分别是双曲线C：eq\f(x2,m＋n)－eq\f(y2,m－n)＝1的左、右焦点，且|F1F2|＝4，则下列结论正确的有()A．m＝2B．当n＝0时，C的离心率是2C．F1到渐近线的距离随着n的增大而减小D．当n＝1时，C的实轴长是虚轴长的两倍25、(多选)设F1，F2分别是双曲线C：x2－eq\f(y2,b)＝1的左、右焦点，过F2作x轴的垂线与C交于A，B两点，若△ABF1为正三角形，则()A．b＝2 B．C的焦距为2eq\r(5)C．C的离心率为eq\r(3) D．△ABF1的面积为4eq\r(3)26、(多选)已知椭圆C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1，椭圆C1的上顶点为M，且eq\o(MF1,\s\up7(→))·eq\o(MF2,\s\up7(→))＝0，双曲线C2和椭圆C1有相同焦点，且双曲线C2的离心率为e2，P为曲线C1与C2的一个公共点．若∠F1PF2＝eq\f(π,3)，则下列各项正确的是()A．eq\f(e2,e1)＝2 B．e1e2＝eq\f(\r(3),2)C．eeq\o\al(2,1)＋eeq\o\al(2,2)＝eq\f(5,2) D．eeq\o\al(2,2)－eeq\o\al(2,1)＝127、已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为()A.eq\r(2) B.eq\r(3) C.2 D.eq\r(5)28、已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，一条渐近线为l，过点F2且与l平行的直线交双曲线C于点M，若|MF1|＝2|MF2|，则双曲线C的离心率为()A.eq\r(2) B.eq\r(3) C.eq\r(5) D.eq\r(6)29、已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的焦距为4eq\r(2)，且两条渐近线互相垂直，则该双曲线的实轴长为()A．2 B．4C．6 D．830、已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C．2 D.eq\r(5)31、(2021·高考全国卷甲)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为()A.eq\f(\r(7),2) B.eq\f(\r(13),2)C.eq\r(7) D.eq\r(13)32、(2021·新高考卷Ⅱ)若抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点到直线y＝x＋1的距离为eq\r(2)，则p＝()A．1B．2C．2eq\r(2)D．433、已知O为坐标原点，M(2，2)，P，Q是抛物线C：y2＝2px上两点，F为其焦点，若F到准线的距离为2，则下列说法正确的有()A．△PMF周长的最小值为2eq\r(5)B．若eq\o(PF,\s\up6(→))＝λeq\o(FQ,\s\up6(→))，则eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PQ))最小值为2eq\r(2)C．若直线PQ过点F，则直线OP，OQ的斜率之积恒为－2D．若△POF外接圆与抛物线C的准线相切，则该圆面积为eq\f(9π,4)34、(2021·吉林省吉林市调研)已知抛物线y2＝4x的焦点F，点A(4,3)，P为抛物线上一点，且P不在直线AF上，则△PAF周长取最小值时，线段PF的长为()A．1 B．eq\f(13,4)C．5 D．eq\f(21,4)35、(2021·湖北荆州模拟)从抛物线y2＝4x在第一象限内的一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝9，设抛物线的焦点为F，则直线PF的斜率为()A．eq\f(6\r(2),7) B．eq\f(18\r(2),7)C．eq\f(4\r(2),7) D．eq\f(2\r(2),7)36、(2017·全国)椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，点P在C上，|F2P|＝2，∠F1F2P＝eq\f(2π,3)，则C的长轴长为()A．2 B．2eq\r(3)C．2＋eq\r(3) D．2＋2eq\r(3)2023届高考复习圆锥曲线微专题——椭圆、双曲线、抛物线的基本性质专项训练二（选择题）（解析版）1、(2022·晋中新一双语学校模拟)设F1，F2同时为椭圆C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)与双曲线C2：eq\f(x2,aeq\o\al(2,1))－eq\f(y2,beq\o\al(2,1))＝1eq\b\lc\((\a\vs4\al\co1(a1>0，b1>0)))的左、右焦点，设椭圆C1与双曲线C2在第一象限内交于点M，椭圆C1与双曲线C2的离心率分别为e1，e2，O为坐标原点，若eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))＝2eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MO))，则eq\f(1,eeq\o\al(2,1))＋eq\f(1,eeq\o\al(2,2))＝()A．2eq\r(2)B.eq\r(2)C.eq\f(3,2)D．2解析：选D.如图，设eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MF1))＝m，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MF2))＝n，焦距为2c，由椭圆定义可得m＋n＝2a，由双曲线定义可得m－n＝2a1，解得m＝a＋a1，n＝a－a1.当eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))＝2eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MO))时，则∠F1MF2＝90°，所以m2＋n2＝4c2，即a2＋aeq\o\al(2,1)＝2c2，由离心率的公式可得eq\f(1,eeq\o\al(2,1))＋eq\f(1,eeq\o\al(2,2))＝2.2、过椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点.若以AB为直径的圆与l存在公共点，则C的离心率的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(5),5))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)，1))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))解析：由题设知，直线l：eq\f(x,－c)＋eq\f(y,b)＝1，即bx－cy＋bc＝0，以AB为直径的圆的圆心为(c，0)，根据题意，将x＝c代入椭圆C的方程，得y＝±eq\f(b2,a)，即圆的半径r＝eq\f(b2,a).又圆与直线l有公共点，所以eq\f(2bc,\r(b2＋c2))≤eq\f(b2,a)，化简得2c≤b，平方整理得a2≥5c2，所以e＝eq\f(c,a)≤eq\f(\r(5),5).又0＜e＜1，所以0＜e≤eq\f(\r(5),5).3、(2021·安徽蚌埠质检)已知双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(\r(3),3)x，一个焦点F(2,0)，则该双曲线的虚轴长为()A．1 B．eq\r(3)C．2 D．2eq\r(3)解析：因为双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(\r(3),3)x，一个焦点F(2,0)，所以a2＋b2＝c2＝4，①eq\f(b,a)＝eq\f(\r(3),3)，②联立①、②可得：a2＝3，b2＝1，∴b＝1，从而2b＝2，∴该双曲线的虚轴长2，故选C．4、(2021·云南、贵州、四川、广西联考)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M为C左支上一点，N为线段MF2上一点，且|MN|＝|MF1|，P为线段NF1的中点．若|F1F2|＝4|OP|(O为坐标原点)，则C的渐近线方程为()A．y＝±x B．y＝±eq\r(2)xC．y＝±eq\r(3)x D．y＝±2x解析：因为|F1F2|＝4|OP|，所以|OP|＝eq\f(c,2)，所以|NF2|＝2|OP|＝c，又|MF2|－|MF1|＝|NF2|＝2a，所以c＝2a，所以a2＋b2＝4a2，则eq\f(b,a)＝eq\r(3).故C的渐近线方程为y＝±eq\r(3)x.故选C．5、(2021·河北省衡水中学调研)已知点F是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点，点E是该双曲线的左顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若∠AEB是钝角，则该双曲线的离心率e的取值范围是()A．(1＋eq\r(2)，＋∞) B．(1,1＋eq\r(2))C．(2，＋∞) D．(2,1＋eq\r(2))解析：由题意，得AB为双曲线的通径，其长度为|AB|＝eq\f(2b2,a)，因为∠AEB>eq\f(π,2)，所以∠AEF>eq\f(π,4)，则tan∠AEF＝eq\f(|AF|,|EF|)>1，即eq\f(b2,aa＋c)>1，即c2－a2>a(a＋c)，即e2－e－2>0，解得e>2.故选C．6、设双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为()A.±eq\f(1,2) B.±eq\f(\r(2),2) C.±1 D.±eq\r(2)解析：不妨令B在x轴上方，因为BC过右焦点F(c，0)，且垂直于x轴，所以可求得B，C两点的坐标分别为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，－\f(b2,a)))，又A1，A2的坐标分别为(－a，0)，(a，0)，所以eq\o(A1B,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c＋a，\f(b2,a)))，eq\o(A2C,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c－a，－\f(b2,a)))，因为A1B⊥A2C，所以eq\o(A1B,\s\up6(→))·eq\o(A2C,\s\up6(→))＝0，即(c＋a)(c－a)－eq\f(b2,a)·eq\f(b2,a)＝0，即c2－a2－eq\f(b4,a2)＝0，所以b2－eq\f(b4,a2)＝0，故eq\f(b2,a2)＝1，即eq\f(b,a)＝1，又双曲线的渐近线的斜率为±eq\f(b,a)，故该双曲线的渐近线的斜率为±1.7、已知M(x0，y0)是双曲线C：eq\f(x2,2)－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))<0，则y0的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),6)，\f(\r(3),6)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(2),3)，\f(2\r(2),3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(3),3)，\f(2\r(3),3)))解析：因为F1(－eq\r(3)，0)，F2(eq\r(3)，0)，eq\f(xeq\o\al(2,0),2)－yeq\o\al(2,0)＝1，所以eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝(－eq\r(3)－x0，－y0)·(eq\r(3)－x0，－y0)＝xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)－3<0，即3yeq\o\al(2,0)－1<0，解得－eq\f(\r(3),3)<y0<eq\f(\r(3),3).8、(2020·全国Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点.若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为()A.4 B.8 C.16 D.32解析：不妨设D位于第一象限，双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，分别与x＝a联立，可得D(a，b)，E(a，－b)，则|DE|＝2b.∴S△ODE＝eq\f(1,2)×a×|DE|＝eq\f(1,2)a×2b＝ab＝8，∴c2＝a2＋b2≥2ab＝16.当且仅当a＝b＝2eq\r(2)时，等号成立.∴c2的最小值为16，∴c的最小值为4，∴C的焦距的最小值为2×4＝8.9、(多选)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率为eq\f(2\r(3),3)，右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，则()A.渐近线方程为y＝±eq\r(3)xB.渐近线方程为y＝±eq\f(\r(3),3)xC.∠MAN＝60°D.∠MAN＝120°解析：由题意可得e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2\r(3),3)，设c＝2t，a＝eq\r(3)t，t＞0，则b＝eq\r(c2－a2)＝t，所以圆A的圆心为(eq\r(3)t，0)，半径长为t，双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，即y＝±eq\f(\r(3),3)x，圆心A到渐近线的距离d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)×\r(3)t)),\r(1＋\f(1,3)))＝eq\f(\r(3),2)t，所以弦长|MN|＝2eq\r(t2－d2)＝2eq\r(t2－\f(3,4)t2)＝t＝b，可得△MNA是边长为b的等边三角形，即有∠MAN＝60°.故选BC.10、(2022·苏北四市调研)椭圆G：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点为F1(－c，0)，F2(c，0)，M是椭圆上一点，且满足eq\o(F1M,\s\up6(→))·eq\o(F2M,\s\up6(→))＝0.则椭圆离心率e的取值范围为()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))解析：法一设点M的坐标为(x0，y0)，∵eq\o(F1M,\s\up6(→))·eq\o(F2M,\s\up6(→))＝0，F1(－c，0)，F2(c，0)，∴(x0＋c)·(x0－c)＋yeq\o\al(2,0)＝0，即xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝c2.①又知点M在椭圆G上，∴eq\f(xeq\o\al(2,0),a2)＋eq\f(yeq\o\al(2,0),b2)＝1，②由①②联立结合a2－b2＝c2解得xeq\o\al(2,0)＝eq\f(a2（c2－b2）,c2)，由椭圆的性质可得0≤xeq\o\al(2,0)≤a2，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a2（c2－b2）,c2)≥0，,\f(a2（c2－b2）,c2)≤a2，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c2≥b2，,c2－b2≤c2，))所以c2≥b2，又知b2＝a2－c2，∴c2≥a2－c2，即2c2≥a2，解得e2≥eq\f(1,2)，又知0<e<1，∴eq\f(\r(2),2)≤e<1.法二∵椭圆G上存在点M使eq\o(F1M,\s\up6(→))·eq\o(F2M,\s\up6(→))＝0，∴MF1⊥MF2，即△MF1F2是以M为直角顶点的直角三角形，∵|MF1|＋|MF2|＝2a，|F1F2|＝2c，(|MF1|＋|MF2|)2≤2(|MF1|2＋|MF2|2)＝2|F1F2|2＝8c2，∴|MF1|＋|MF2|≤2eq\r(2)c，∴e＝eq\f(|F1F2|,|MF1|＋|MF2|)≥eq\f(2c,2\r(2)c)＝eq\f(\r(2),2)，当且仅当|MF1|＝|MF2|＝eq\r(2)c时，等号成立，又知0<e<1，∴e∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)).11、(多选)如图，两个椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1，eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1内部重叠区域的边界记为曲线C，P是曲线C上的任意一点，下列四个说法正确的为()A．P到F1(－4,0)，F2(4,0)，E1(0，－4)，E2(0,4)四点的距离之和为定值B．曲线C关于直线y＝x，y＝－x均对称C．曲线C所围区域面积必小于36D．曲线C总长度不大于6π解析：易知F1(－4,0)，F2(4,0)分别为椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的两个焦点，E1(0，－4)，E2(0,4)分别为椭圆eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1的两个焦点．若点P仅在椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1上，则P到F1(－4,0)，F2(4,0)两点的距离之和为定值，到E1(0，－4)，E2(0,4)两点的距离之和不为定值，故A错误；两个椭圆关于直线y＝x，y＝－x均对称，则曲线C关于直线y＝x，y＝－x均对称，故B正确；曲线C所围区域在边长为6的正方形内部，所以面积必小于36，故C正确；曲线C所围区域在半径为3的圆外部，所以曲线的总长度大于圆的周长6π，故D错误．故选B、C12、在平面直角坐标系xOy中，点P为椭圆C：eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)的下顶点，M，N在椭圆上，若四边形OPMN为平行四边形，α为直线ON的倾斜角，若α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,4)))，则椭圆C的离心率的取值范围为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(6),3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)，\f(\r(3),2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)，\f(2\r(2),3)))解析：因为OPMN是平行四边形，所以MN∥OP且MN＝OP，故yN＝eq\f(a,2)，代入椭圆方程可得xN＝eq\f(\r(3)b,2)，所以kON＝eq\f(\r(3)a,3b)＝tanα.又α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,4)))，所以eq\f(\r(3),3)<eq\f(\r(3)a,3b)<1，所以a<eq\r(3)b，a2<3(a2－c2)，解得0<eq\f(c,a)<eq\f(\r(6),3)，故选A.13、已知点F1，F2分别是椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的左、右焦点，点M是该椭圆上的一个动点，那么|eq\o(MF1,\s\up6(→))＋eq\o(MF2,\s\up6(→))|的最小值是()A．4 B．6C．8 D．10解析：设M(x0，y0)，F1(－3，0)，F2(3，0)．则eq\o(MF1,\s\up6(→))＝(－3－x0，－y0)，eq\o(MF2,\s\up6(→))＝(3－x0，－y0)，所以eq\o(MF1,\s\up6(→))＋eq\o(MF2,\s\up6(→))＝(－2x0，－2y0)，|eq\o(MF1,\s\up6(→))＋eq\o(MF2,\s\up6(→))|＝eq\r(4xeq\o\al(2,0)＋4yeq\o\al(2,0))＝eq\r(4×25（1－\f(yeq\o\al(2,0),16)）＋4yeq\o\al(2,0))＝eq\r(100－\f(9,4)yeq\o\al(2,0))，因为点M在椭圆上，所以0≤yeq\o\al(2,0)≤16，所以当yeq\o\al(2,0)＝16时，|eq\o(MF1,\s\up6(→))＋eq\o(MF2,\s\up6(→))|取最小值为8.故选C.14、设A，B是椭圆C：eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,m)＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是()A．(0，1]∪[9，＋∞) B．(0，eq\r(3)]∪[9，＋∞)C．(0，1]∪[4，＋∞) D．(0，eq\r(3)]∪[4，＋∞)解析：当0＜m＜3时，焦点在x轴上，要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，则eq\f(a,b)≥tan60°＝eq\r(3)，即eq\f(\r(3),\r(m))≥eq\r(3)，解得0＜m≤1.当m＞3时，焦点在y轴上，要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，则eq\f(a,b)≥tan60°＝eq\r(3)，即eq\f(\r(m),\r(3))≥eq\r(3)，解得m≥9.故m的取值范围为(0，1]∪[9，＋∞)．15、设F为双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点.若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为()A.eq\r(2) B.eq\r(3) C.2 D.eq\r(5)解析：设双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点F的坐标为(c，0).则c＝eq\r(a2＋b2)，如图所示，由圆的对称性及条件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQ⊥OF.设垂足为M，连接OP，则|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝eq\f(c,2).在Rt△OPM中，|OM|2＋|MP|2＝|OP|2得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)))eq\s\up12(2)＝a2，故eq\f(c,a)＝eq\r(2)，即e＝eq\r(2).16、(2022·长春市质量监测)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两个顶点分别为A，B，点P为双曲线上除A，B外任意一点，且点P与点A，B连线的斜率分别为k1，k2，若k1k2＝3，则双曲线的渐近线方程为()A．y＝±x B．y＝±eq\r(2)xC．y＝±eq\r(3)x D．y＝±2x解析：选C.设点P(x，y)，由题意知k1·k2＝eq\f(y,x－a)·eq\f(y,x＋a)＝eq\f(y2,x2－a2)＝eq\f(y2,\f(a2y2,b2))＝eq\f(b2,a2)＝3，所以其渐近线方程为y＝±eq\r(3)x，故选C.17、(2022·安徽皖南名校联考)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，其右支上存在一点M，使得eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝0，直线MF2平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线C的离心率为()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C．2 D.eq\r(5)解析：选D.由eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝0，得MF1⊥MF2.不妨设直线MF2平行于双曲线的渐近线l：bx＋ay＝0，如图所示，从而得l是线段MF1的垂直平分线，且直线MF1的方程为y＝eq\f(a,b)(x＋c)．设MF1与l相交于点N(x，y)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(a,b)（x＋c），,y＝－\f(b,a)x，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(a2,c)，,y＝\f(ab,c)，))即Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a2,c)，\f(ab,c))).又F1(－c，0)，由中点坐标公式，得Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c－\f(2a2,c)，\f(2ab,c)))，将点M的坐标代入eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，得eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c－\f(2a2,c)))\s\up12(2),a2)－eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2ab,c)))\s\up12(2),b2)＝1，化简得c2＝5a2，则离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(5).故选D.18、(2021·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为()A．eq\f(\r(7),2) B．eq\f(\r(13),2)C．eq\r(7) D．eq\r(13)解析：设|PF2|＝m，|PF1|＝3m，则|F1F2|＝eq\r(m2＋9m2－2×3m×m×cos60°)＝eq\r(7)m，所以C的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(|F1F2|,|PF1|－|PF2|)＝eq\f(\r(7)m,2m)＝eq\f(\r(7),2)．19、(2020·全国Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为()A．4 B．8C．16 D．32解析：由题意知双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x．因为D，E分别为直线x＝a与双曲线C的两条渐近线的交点，所以不妨设D(a，b)，E(a，－b)，所以S△ODE＝eq\f(1,2)×a×|DE|＝eq\f(1,2)×a×2b＝ab＝8，所以c2＝a2＋b2≥2ab＝16，所以c≥4，所以2c≥8，所以C的焦距的最小值为8，故选B．20、已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点为F1，F2，在双曲线上存在点P满足2|eq\o(PF1,\s\up7(→))＋eq\o(PF2,\s\up7(→))|≤|eq\o(F1F2,\s\up7(→))|，则此双曲线的离心率e的取值范围是()A．(1,2] B．[2，＋∞)C．(1，eq\r(2)] D．[eq\r(2)，＋∞)解析：当P不是双曲线与x轴的交点时，连接OP(图略)，因为OP为△PF1F2的边F1F2上的中线，所以eq\o(PO,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(PF1,\s\up7(→))＋eq\o(PF2,\s\up7(→)))；当P是双曲线与x轴的交点时，同样满足上述等式．因为双曲线上存在点P满足2|eq\o(PF1,\s\up7(→))＋eq\o(PF2,\s\up7(→))|≤|eq\o(F1F2,\s\up7(→))|，所以4|eq\o(PO,\s\up7(→))|≤2c，由|eq\o(PO,\s\up7(→))|≥a，所以a≤|eq\o(PO,\s\up7(→))|≤eq\f(c,2)，所以a≤eq\f(c,2)，所以e≥2．故选B．21、(2020·高考天津卷)设双曲线C的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，过抛物线y2＝4x的焦点和点(0，b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,4)＝1 B．x2－eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(x2,4)－y2＝1 D．x2－y2＝1解析：由题知y2＝4x的焦点坐标为(1，0)，则过焦点和点(0，b)的直线方程为x＋eq\f(y,b)＝1，而eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的渐近线方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝0和eq\f(x,a)－eq\f(y,b)＝0，由l与一条渐近线平行，与另一条渐近线垂直，得a＝1，b＝1，故选D.22、已知离心率为eq\f(\r(5),2)的双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OM⊥MF2，O为坐标原点，若S△OMF2＝16，则双曲线的实轴长是()A．32 B．16C．84 D．4解析：选B.由题意知F2(c，0)，不妨令点M在渐近线y＝eq\f(b,a)x上，由题意可知|F2M|＝eq\f(bc,\r(a2＋b2))＝b，所以|OM|＝eq\r(c2－b2)＝a.由S△OMF2＝16，可得eq\f(1,2)ab＝16，即ab＝32，又a2＋b2＝c2，eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),2)，所以a＝8，b＝4，c＝4eq\r(5)，所以双曲线C的实轴长为16.故选B.23、(2020·新高考卷Ⅰ改编)已知曲线C：mx2＋ny2＝1，下列说法错误的是()A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m＝n>0，则C是圆，其半径为eq\r(n)C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±eq\r(－\f(m,n))xD．若m＝0，n>0，则C是两条直线解析：选B.对于A，若m＞n＞0，则mx2＋ny2＝1可化为eq\f(x2,\f(1,m))＋eq\f(y2,\f(1,n))＝1，因为m>n>0，所以0<eq\f(1,m)＜eq\f(1,n)，即曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；对于B，若m＝n>0，则mx2＋ny2＝1可化为x2＋y2＝eq\f(1,n)，此时曲线C表示圆心在原点，半径为eq\f(\r(n),n)的圆，故B不正确；对于C，若mn<0，则mx2＋ny2＝1可化为eq\f(x2,\f(1,m))＋eq\f(y2,\f(1,n))＝1，此时曲线C表示双曲线．由mx2＋ny2＝0可得y＝±eq\r(－\f(m,n))x，故C正确；对于D，若m＝0，n>0，则mx2＋ny2＝1可化为y2＝eq\f(1,n)，y＝±eq\f(\r(n),n)，此时曲线C表示平行于x轴的两条直线，故D正确．故选B.＝－1，b＝1，故选D.24、(多选)设F1，F2分别是双曲线C：eq\f(x2,m＋n)－eq\f(y2,m－n)＝1的左、右焦点，且|F1F2|＝4，则下列结论正确的有()A．m＝2B．当n＝0时，C的离心率是2C．F1到渐近线的距离随着n的增大而减小D．当n＝1时，C的实轴长是虚轴长的两倍解析：AC对于选项A：由双曲线的方程可得a2＝m＋n，b2＝m－n，所以c2＝a2＋b2＝m＋n＋m－n＝2m，因为2c＝4，所以c＝2，所以c2＝2m＝4，可得m＝2，故选项A正确；对于选项B：当n＝0时，双曲线C：eq\f(x2,2)－eq\f(y2,2)＝1，此时a2＝b2＝2，c2＝4，所以离心率e＝eq\r(\f(c2,a2))＝eq\r(2)，故选项B不正确；对于选项C：双曲线C：eq\f(x2,m＋n)－eq\f(y2,m－n)＝1中，由选项A知：m＝2，a2＝2＋n，b2＝2－n，双曲线C的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，不妨取焦点F1(－2,0)，则F1到渐近线的距离d＝eq\f(|－2b|,\r(4))＝b＝eq\r(2－n)，所以F1到渐近线的距离随着n的增大而减小，故选项C正确；对于选项D：当n＝1时，a＝eq\r(2＋1)＝eq\r(3)，b＝eq\r(2－1)＝1，所以实轴长为2eq\r(3)，虚轴长为2，不满足C的实轴长是虚轴长的两倍，故选项D不正确．故选A、C．25、(多选)设F1，F2分别是双曲线C：x2－eq\f(y2,b)＝1的左、右焦点，过F2作x轴的垂线与C交于A，B两点，若△ABF1为正三角形，则()A．b＝2 B．C的焦距为2eq\r(5)C．C的离心率为eq\r(3) D．△ABF1的面积为4eq\r(3)解析：ACD设|AF2|＝t，则|AF1|＝2t，|F1F2|＝eq\r(3)t，离心率e＝eq\f(|F1F2|,|AF1|－|AF2|)＝eq\r(3)，选项C正确．因此eq\r(1＋\f(b,1))＝eq\r(3)，b＝2，选项A正确．|F1F2|＝2eq\r(1＋b)＝2eq\r(3)，选项B错误．△ABF1的面积为eq\f(1,2)|F1F2|eq\f(2b,1)＝4eq\r(3)，选项D正确．故选A、C、D．26、(多选)已知椭圆C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1，椭圆C1的上顶点为M，且eq\o(MF1,\s\up7(→))·eq\o(MF2,\s\up7(→))＝0，双曲线C2和椭圆C1有相同焦点，且双曲线C2的离心率为e2，P为曲线C1与C2的一个公共点．若∠F1PF2＝eq\f(π,3)，则下列各项正确的是()A．eq\f(e2,e1)＝2 B．e1e2＝eq\f(\r(3),2)C．eeq\o\al(2,1)＋eeq\o\al(2,2)＝eq\f(5,2) D．eeq\o\al(2,2)－eeq\o\al(2,1)＝1解析：BD因为eq\o(MF1,\s\up7(→))·eq\o(MF2,\s\up7(→))＝0且|eq\o(MF1,\s\up7(→))|＝|eq\o(MF2,\s\up7(→))|，所以△MF1F2为等腰直角三角形．设椭圆的半焦距为c，则c＝b＝eq\f(\r(2),2)a，所以e1＝eq\f(\r(2),2)．在三角形PF1F2中，∠F1PF2＝eq\f(π,3)，设PF1＝x，PF2＝y，双曲线C2的实半轴长为a′，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－xy＝4c2，,x＋y＝2\r(2)c，,|x－y|＝2a′，))故xy＝eq\f(4,3)c2，故(x－y)2＝x2＋y2－xy－xy＝eq\f(8c2,3)，所以(a′)2＝eq\f(2c2,3)，即e2＝eq\f(\r(6),2)，故eq\f(e2,e1)＝eq\r(3)，e1e2＝eq\f(\r(3),2)，eeq\o\al(2,1)＋eeq\o\al(2,2)＝2，eeq\o\al(2,2)－eeq\o\al(2,1)＝1，故选B、D．27、已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为()A.eq\r(2) B.eq\r(3) C.2 D.eq\r(5)解析：由题意，可得F(1，0)，直线l的方程为x＝－1，双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x.将x＝－1代入y＝±eq\f(b,a)x，得y＝±eq\f(b,a)，所以点A，B的纵坐标的绝对值均为eq\f(b,a).由|AB|＝4|OF|可得eq\f(2b,a)＝4，即b＝2a，b2＝4a2，故双曲线的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(a2＋b2,a2))＝eq\r(5).28、已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，一条渐近线为l，过点F2且与l平行的直线交双曲线C于点M，若|MF1|＝2|MF2|，则双曲线C的离心率为()A.eq\r(2) B.eq\r(3) C.eq\r(5) D.eq\r(6)解析：不妨设渐近线l的方程为y＝eq\f(b,a)x，则点M在第四象限，由双曲线的定义知|MF1|－|MF2|＝2a，又|MF1|＝2|MF2|，所以|MF1|＝4a，|MF2|＝2a.设过点F2且与l平行的直线的倾斜角为α，则tanα＝eq\f(b,a)，所以cosα＝eq\f(a,\r(a2＋b2))＝eq\f(a,c)，所以cos∠F1F2M＝eq\f(a,c).在△F1F2M中，由余弦定理cos∠F1F2M＝eq\f(|F1F2|2＋|MF2|2－|F1M|2,2|F1F2|·|MF2|)，得eq\f(a,c)＝eq\f(（2c）2＋（2a）2－（4a）2,2·2c·2a)，整理得c2＝5a2，即c＝eq\r(5)a，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\r(5).29、已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的焦距为4eq\r(2)，且两条渐近线互相垂直，则该双曲线的实轴长为()A．2 B．4C．6 D．8解析：选B.因为双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线为y＝±eq\f(b,a)x，两条渐近线互相垂直，所以－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))eq\s\up12(2)＝－1，得a＝b.因为双曲线的焦距为4eq\r(2)，所以c＝2eq\r(2)，由c2＝a2＋b2可知2a2＝8，所以a＝2，所以实轴长2a＝4.故选B.30、已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C．2 D.eq\r(5)解析：选D.由题意，可得F(1，0)，直线l的方程为x＝－1，双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x.将x＝－1代入y＝±eq\f(b,a)x，得y＝±eq\f(b,a)，所以点A，B的纵坐标的绝对值均为eq\f(b,a).由|AB|＝4|OF|可得eq\f(2b,a)＝4，即b＝2a，b2＝4a2，故双曲线的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(a2＋b2,a2))＝eq\r(5).31、(2021·高考全国卷甲)已知F