人教版数学八年级上册 12.2 三角形全等的判定

12.2三角形全等的判定第1课时边边边1.掌握三角形全等的“边边边”条件，了解三角形的稳定性.2.经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程.3.通过对问题的共同探讨，培养学生的协作精神.【教学重点】掌握三角形全等的“边边边”条件.【教学难点】三角形全等条件的探索过程.一、情境导入，初步认识1.复习全等三角形的性质，归纳得出：三条边对应相等，三个角对应相等的两个三角形全等.2.提出问题:两个三角形全等,一定需要六个条件吗?如果只满足其中部分条件的两个三角形,是否也能全等呢?指导学生探究下列两个问题:探究1先任意画出一个△ABC.再画一个△A′B′C′，使△ABC与△A′B′C′满足六个条件中的一个（一边或一角分别相等）或两个（两边、一边一角或两角分别相等）.你画出的△A′B′C′与△ABC一定全等吗？通过画图可以发现，满足六个条件中的一个或两个，△ABC与△A′B′C′不一定全等.探究2先任意画出一个△ABC.再画一个△A′B′C′，使A′B′=AB，B′C′=BC，C′A′=CA.把画好的△A′B′C′剪下来，放到△ABC上，它们全等吗？在充分的观察、讨论、交流后,引导学生总结出:三边对应相等的两个三角形全等,即“边边边”公理，或写成“SSS”.【教学说明】利用提出的问题激发学生的探究发现兴趣,教师应根据学生观察发现的结论,无论对与错,多给予肯定与鼓励,并引导学生最终得出正确的结果.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.二、思考探究，获取新知教师操作演示:由三根木条钉成的一个三角形的框架,大小和形状固定不变,由此归纳出:(1)三边对应相等的两个三角形全等;(2)三角形具有稳定性.例1如图,△ABC是一个钢架,AB=AC,AD是连接点A与BC中点D的支架,求证:△ABD≌△ACD.（由学生思考后表述思路，教师指导并展示证题过程.）证明:∵D是BC中点,∴BD=CD.在△ABD和△ACD中,∴△ABD≌△ACD(SSS).例2如图,已知AC=FE,BC=DE,点A\,D,B\,F在一条直线上,AD=FB.要用“边边边”证明△ABC≌△FDE，除了已知中的AC=FE，BC=DE外，还应有什么条件？怎样才能得到这个条件？答：还需要AB=FD，这个条件可由AD=FB得到.证明：∵AD=FB,∴AD+BD=BD+FB,即AB=FD.在△ABC和△FDE中,∴△ABC≌△FDE(SSS)【教学说明】由以上两例,应让学生掌握:1.证明题的基本格式,做到每一步推理有根有据,并正确用几何语言表述出来.2.积累分析问题的经验,逐步学会怎样探寻未知条件,为证题提供足够的依据.三、运用新知，深化理解1.如图,E是AC上一点,AB=AD,BE=DE,可应用“SSS”证明三角形全等的是（）A.△ABC≌△ADCB.△ABE≌△ADEC.△CBE≌△CDED.以上选项都对2.如图，△ABC中，AD=DE，AB=BE，∠A=100°，则∠DEC=度.3.如图,AB=AC,AD=AE,BE=CD.求证:△ABD≌△ACE.证明:在△ABD和△ACE中,∴△ABD≌△ACE(SSS)上述的证明过程正确吗?若不正确,请写出正确的推理过程.4.如图,已知A,F,C,D在同一直线上,AB=DE,BC=EF,AF=DC,求证:BC∥EF.【教学说明】学生在教师指导下完成上述习题时,教师应提醒学生注意:1.善于利用题中已知条件和隐含条件(如题3的公共线段DE后),联想“SSS”证得三角形全等.2.要灵活地结合三角形全等性质,以证出线段相等或角相等,进而推得两线平行、或互相垂直等位置关系.3.熟悉证题格式.完成上述题目后,引导学生做本课时创优作业“课堂自主演练”中的题.【答案】1.B2.803.不正确.其证明过程如下:∵BE=CD,∴BE-DE=CD-DE,即BD=CE.在△ABD和△ACE中,∴△ABD≌△ACE(SSS).4.先证△ABC≌△DEF(SSS),∴∠BCA=∠EFD,∴BC∥EF.四、师生互动，课堂小结教师引导学生反思:本节课我们有哪些收获?【指导要点】回顾反思本节课重要知识,探究过程,并归纳方法和结论,并领悟其中所包含的数学思想与规律.1.布置作业：从教材“习题12.2”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.本课时教学时应抓住以下重点：1.分类问题：教师让学生从实践入手，给定三角形三边，学生在薄纸上画，然后小组的同学看所画三角形是否重合，探索归纳、形成结论.2.教师可用多媒体展示现实生活中的实际例子：如桥梁、铁塔、自行车的三角架等，从中体验三角形的稳定性，认识“边边边”可作为三角形全等的判定依据.3.强调思路分析和书写规范.第2课时边角边1.掌握证明三角形全等的“边角边”定理.2.经历探索三角形全等条件的过程，培养学生观察\,分析图形的能力及动手能力.3.在探索三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理.4.通过对问题的共同探讨，培养学生的协作精神.【教学重点】应用“边角边”证明两个三角形全等，进而得出线段或角相等.【教学难点】指导学生分析问题，寻找判定三角形全等的条件.一、情境导入，初步认识问题1教材探究3:已知任意△ABC,画△A′B′C′,使AB=A′B′,A′C′=AC,∠A′=∠A.【教学说明】要求学生规范地用作图工具画图,纠正学生的错误做法,并让学生剪出画好的△ABC,△A′B′C′,把它们放在一起,观察出现的结果,引导学生间交流结论.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.问题2请各学习小组间交流,并总结出规律.二、思考探究，获取新知根据学生交流情况,教师作出如下归纳总结.1.两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等,简写成“边角边”或“SAS”.2.其中的角必须是两条相等的对应边的夹角,边必须是夹相等角的两条对应边.例1如图,有一池塘,要测池塘两端A,B的距离,可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C,连接AC并延长到D,使CD=CA,连接BC并延长到E,使CE=CB.连接DE,那么量出DE的长就是A,B的距离,为什么?【教学说明】让学生思考后,书写推理过程,教师引导分析.要想证AB=DE,只需要证△ABC≌△DEC.而证这两个三角形全等,已有条件,还需条件.证明:在△ABC和△DEC中,∴△ABC≌△DEC(SAS).∴AB=DE.【归纳结论】证明分别属于两个三角形的线段相等或角相等的问题,常常通过证明这两个三角形全等来得到答案.例2如图,已知AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.求证:△ABD≌△ACE.【教学说明】由学生依题意寻找条件,涉及三角形边的条件有AB=AC,AD=AE,但∠BAC=∠DAE只是对应边夹角的一部分,怎么办?以此引导学生思考,理清解题思路.证明：∵∠BAC=∠DAE(已知),∴∠BAC+CAD=∠DAE+CAD,即∠BAD=∠CAE.在△ABD与△ACE中,AB=AC(已知),∠BAD=∠CAE(已证),AD=AE(已知),∴△ABD≌△ACE.【归纳结论】用来证明三角形全等的边、角条件,必须是这两个三角形的边、角,而不是其中的一部分,如∠BAC=∠DAE不能直接用于证△ABD与△ACE的全等.三、运用新知，深化理解1.如图,已知∠1=∠2,如果用SAS证明△ABC≌△BAD,还需要添加的条件是.2.如图，已知OA=OB,OC=OD,∠O=50°,∠D=35°,则∠AEC等于().A.60°B.50°C.45°D.30°3.如图,已知AB∥DE,AB=DE,BE=CF,如果∠B=50°,∠A=70°,则∠F=().A.70°B.65°C.60°D.55°4.如图,点B,D,C,F在一条直线上,且BC=FD,AB=EF.(1)请你添加一个条件(不再加辅助线),使△ABC≌△EFD,你添加的条件是.(2)添加了条件后,证明△ABC≌△EFD.5.如图,C是线段AB的中点,CD平分∠ACE,CE平分∠BCD,CD=CE.(1)求证:△ACD≌△BCE.(2)若∠D=50°，求∠B的度数.【教学说明】引导学生应用“SAS”解答上述习题，巩固对“SAS”的认识和提升应用能力.可让学生在黑板上写出4\,5题的过程,强化学生书写证明过程的能力.在完成上述习题的解答后,请学生探究:“两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形是否全等？”，指导学生画图分析、共同讨论，形成结论.教师出示下列材料帮助学生探究:如图,在△ABC和△ABD中,∠B=∠B,AB=AB,AC=AD,由图可知,△ABC与△ABD并不全等.完成上述题目后,引导学生做本课时创优作业“课堂自主演练”中的题.【答案】1.AC=BD2.A3.C4.(1)∠B=∠F或AB∥EF或AC=ED.(2)当∠B=∠F时,在△ABC和△EFD中,AB=EF,∠B=∠F,BC=FD,∴△ABC≌△EFD(SAS).其它证明略.5.(1)∵点C是线段AB的中点,∴AC=BC,又∵CD平分∠ACE,CE平分∠BCD,∴∠1=∠2,∠2=∠3,∴∠1=∠3.在△ACD和△BCE中,CD=CE,∠1=∠3,AC=BC,∴△ACD≌△BCE(SAS).(2)∵∠1+∠2+∠3=180,∴∠1=∠2=∠3=60.∵△ACD≌△BCE,∴∠E=∠D=50°.∴∠B=180°-∠E-∠3=70°.四、师生互动，课堂小结先归纳“SAS”，并强调：“两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等”.再提出问题供同学思考\,交流\,探讨.1.判定三角形全等的方法有哪些?2.证明线段相等\,角相等的常见方法有哪些?1.布置作业：从教材“习题12.2”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.本节课的引入，可采用探究的方式，引导学生通过操作、观察、探索、交流、发现思索的过程，得出判定三角形全等的“SAS”条件，同时利用一个联系生活实际的问题——测量池塘两端的距离，对得到的知识加以运用，最后再通过实际图形让学生认识到“两边及其中一边的对角对应相等”的条件不能判定两个三角形全等.第3课时角边角和角角边1.掌握两个三角形全等的条件:“ASA”与“AAS”，并指出用它们判别三角形是否全等.2.经历作图、比较、证明等探究过程，提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理等能力；并通过对知识方法的总结，培养反思问题的能力，形成理性思维.3.敢于面对教学活动中的困难，能通过合作交流解决遇到的困难.【教学重点】理解、掌握三角形全等的条件：“ASA”、“AAS”.【教学难点】探究出“ASA”“AAS”及它们的应用.一、情境导入，初步认识问题1一张教学用的三角形硬纸板不小心被撕成了如图形状，你能制作出与原来同样大的纸板吗？鼓励学生提出不同的思路方法，并要求学生用纸片对自己的思路操作实验.【教学说明】教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.问题2教材探究4.先任意画出一个△ABC.再画一个△A′B′C′，使A′B′=AB，∠A′=∠A，∠B′=∠B（即两角和它们的夹边分别相等）.把画好的△A′B′C′剪下来，放到△ABC上，它们全等吗？要求每个学生先独立动手画图并思考，再在小组内交流.把画好的△A′B′C′剪下,放在△ABC上,观察出现的情形,并根据结果总结规律,说出每个人的发现并交流.二、思考探究，获取新知【归纳结论】根据学生的发言,予以不同的点评,重在鼓励,最后归纳出新知识点:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等,简称“角边角”或“ASA”.强调注意:“边”必须是“两角的夹边”.例1如图,点D在AB上,点E在AC上,BE和CD相交于点O,AB=AC,∠B=∠C.求证:AD=AE.证明:△ABE和△ACD中,∠B=∠C,AB=AC,∠A=∠A,∴△ABE≌△ACD(ASA).∴AD=AE.【课堂练习】由学生在黑板上完成证明过程.如图,AB=A′C,∠A=∠A′,∠B=∠C,求证:△ABE≌△A′CD.【分析】本例可直接应用“ASA”证得两个三角形全等，关键是准确地书写证明过程.例2在△ABC和△DEF中,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF.证明△ABC≌△DEF.【教学说明】由已知条件并联想“ASA”不难证明结论，教师关键通过本例引导学生发现：“两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等”.上述判定三角形全等的定理简写成“角角边”或“AAS”.【课堂练习】如图，要测量河两岸相对的两点A，B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C，D，使BC=CD，再定出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长，为什么？【答案】利用三角形全等得到DE=AB.证明：在△ABC和△EDC中,∠B=∠EDC=90°,BC=DC,∠ACB=∠ECD.∴△ABC≌△EDC.∴DE=AB.三、运用新知，深化理解1.如图,B是CE的中点，AD=BC，AB=DC，DE交AB于F点.求证:(1)AD∥BC;(2)AF=BF.2.如图，在△ABC中，D是BC边上的点(不与B,C重合),F,E分别是AD及其延长线上的点,CF∥BE,请你添加一个条件,使△BDE≌△CDF(不再添加其它线段,不再标注或使用其他字母),并给出证明.【教学说明】教师引导学生通过上述习题的解答归纳证明三角形全等的方法,并总结证明线段相等(或两线平行\,垂直)或两角相等的常见方法.同时,让学生探究“两个三角形中三个角分别相等，这两个三角形全等吗？”的问题，同学间互相交流探究出来.【答案】1.(1)连接BD,∵AD=CB,AB=DC,BD=DB,∴△ABD≌△CDB(SSS),∴∠ADB=∠CBD.∴AD∥BC.(2)∵B为CE中点,∴EB=BC.由(1)知AD∥BC,AD=BC,∴AD=BE,∠A=∠FBE,又∠AFD=∠BFE,∴△ADF≌△BEF(AAS).∴AF=BF.2.添加条件:BD=DC(或点D是线段BC中点),FD=ED或CF=BE.以BD=DC为例证明如下:∵CF∥BE,∴∠FCD=∠EBD.又∵BD=DC,∠FDC=∠EDB.∴△BDE≌△CDF(ASA).四、师生互动，课堂小结1.证明三角形全等的方法有:SSS,SAS,ASA,AAS.2.三个角对应相等的两个三角形不一定相等.如:大小不同的两个等腰直角三角形不全等.3.证两线相等(或两角相等)的常用方法是证它们所在的两个三角形全等.1.布置作业：从教材“习题12.2”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.本课时教学以“自主探究——合作交流”为主体形式，先给学生独立思考的时间，提供学生创新的空间与可能，再给不同层次的学生提供一个交流合作的机会，培养学生独立探究，合作学习的能力.同时，注重让学生用自己的语言归纳和表达发现的规律，指引学生对知识与方法进行回顾总结，形成良好的反思习惯，获取优秀的学习方法.第4课时斜边、直角边1.掌握两个直角三角形全等的条件,并能应用它证明两个直角三角形全等.2.通过对知识方法的归纳总结,加深对三角形全等的判定的理解.培养反思习惯,形成理性思维.3.通过探究与交流,解决问题,获得成功的体验,进一步激发探究的积极性.【教学重点】理解、掌握直角三角形全等的条件:HL.【教学难点】熟练选择判定方法,判定两个直角三角形全等.一、情境导入，初步认识问题1舞台的背景形状是两个直角三角形,工作人员想知道这两个直角三角形是否全等,但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.(1)请你设法帮工作人员找到解决问题的方式.(2)如果工作人员只带了一卷尺,他能完成这个任务吗?全体学生思考,并互相交流每个人的想法,组长收集每组的结论.问题2教材探究5任意画出一个Rt△ABC，使∠C=90°，再画一个Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，B′C′=BC，A′B′=AB.要求:每个学生都动手画图,并剪下所画的直角三角形,每两人把剪下的直角三角形,重叠在一起,观察它们是否重合.【教学说明】教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.二、思考探究，获取新知教师根据学生操作、交流情况,引导学生一起归纳上述两个问题的结果.对于问题1,(1)方法有:测量斜边和一个对应的锐角(AAS),或测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐角(ASA或AAS);(2)可以完成这个条件,其依据正是本节所要学的知识,以此激发学生探究的兴趣.对于问题2,归纳得到:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等,简写成“斜边、直角边”或“HL”.例1如图,已知AC⊥BC,BD⊥AD,AC=BD.求证:BC=AD.【教学说明】由学生思考\,交流讨论后,指定学生表述思路,并由教师板书证明过程,引导学生正确书写解题步骤.证明:∵AC⊥BC,BD⊥AD,∴∠C=∠D=90°.在Rt△ABC和Rt△BAD中,AB=BA,AC=BD,∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).例2如图,两根长度为12m的绳子,一端系在旗杆上,另一端分别固定在地面两个木桩上,两个木桩离旗杆底部的距离相等吗?请说明你的理由.解：相等.理由如下:由图形及实际情形可知,△ABD和△ACD均为直角三角形.又AB=AC,AD为公共边,∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL),∴BD=CD.例3如图,有两个长度相同的滑梯,左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等,两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么关系?解：∠ABC+∠DFE=90°.理由如下:在Rt△ABC和Rt△DEF中,BC=EF,AC=DF,∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).又∠DEF+∠DFE=90°,∴∠ABC+∠DFE=90°.三、运用新知，深化理解1.如图,已知AC⊥BD于点P,AP=CP,请增加一个条件,使△ABP≌△CDP,你增加的条件是(不再添加辅助线)