高三北师大版数学（理）一轮导学案 2.7 函数的图像

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学案10函数的图象导学目标：1.掌握作函数图象的两种基本方法：描点法，图象变换法.2。掌握图象变换的规律，能利用图象研究函数的性质．自主梳理1．应掌握的基本函数的图象有：一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数等．2．利用描点法作图:①确定函数的定义域；②化简函数的解析式;③讨论函数的性质(__________、__________、__________);④画出函数的图象．3．利用基本函数图象的变换作图：(1）平移变换：函数y＝f(x＋a）的图象可由y＝f（x)的图象向____(a〉0)或向____（a〈0)平移____个单位得到；函数y＝f(x）＋a的图象可由函数y＝f（x）的图象向____（a〉0)或向____(a〈0)平移____个单位得到．（2）伸缩变换：函数y＝f（ax)(a〉0）的图象可由y＝f(x）的图象沿x轴伸长（0<a〈1）或缩短(____)到原来的eq\f(1，a）倍得到；函数y＝af(x)(a〉0）的图象可由函数y＝f(x）的图象沿y轴伸长(____）或缩短（________）为原来的____倍得到．（可以结合三角函数中的图象变换加以理解)（3）对称变换：①奇函数的图象关于________对称；偶函数的图象关于____轴对称；②f（x)与f（－x)的图象关于____轴对称；③f（x)与－f（x）的图象关于____轴对称;④f（x)与－f(－x)的图象关于________对称；⑤f（x)与f(2a－x)的图象关于直线________⑥曲线f(x，y)＝0与曲线f(2a－x，2b－y）＝0关于点________⑦|f（x)|的图象先保留f（x）原来在x轴________的图象，作出x轴下方的图象关于x轴的对称图形,然后擦去x轴下方的图象得到；⑧f（｜x|）的图象先保留f（x）在y轴________的图象，擦去y轴左方的图象,然后作出y轴右方的图象关于y轴的对称图形得到．自我检测1．(2009·北京)为了得到函数y＝lgeq\f(x＋3，10)的图象，只需把函数y＝lgx的图象上所有的点（）A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度2．(2011·烟台模拟）已知图1是函数y＝f（x）的图象，则图2中的图象对应的函数可能是()A．y＝f(|x｜） B．y＝｜f(x）｜C．y＝f（－｜x｜) D．y＝－f（－｜x|）3．函数f(x）＝eq\f(1，x)－x的图象关于（)A．y轴对称 B．直线y＝－x对称C．坐标原点对称 D．直线y＝x对称4．使log2(－x)<x＋1成立的x的取值范围是 ()A．(－1，0) B．［－1,0)C．(－2，0） D．［－2,0)5．（2011·潍坊模拟）已知f（x)＝ax－2,g（x）＝loga|x｜（a>0且a≠1)，若f(4)·g(－4)<0，则y＝f(x)，y＝g(x)在同一坐标系内的大致图象是 （）探究点一作图例1（1)作函数y＝｜x－x2｜的图象;（2)作函数y＝x2－｜x｜的图象；（3)作函数的图象．变式迁移1作函数y＝eq\f（1,|x|－1)的图象．探究点二识图例2(1）函数y＝f（x）与函数y＝g（x）的图象如图,则函数y＝f（x）·g(x)的图象可能是()（2）已知y＝f（x)的图象如图所示，则y＝f（1－x）的图象为 （）变式迁移2(1)(2010·山东)函数y＝2x－x2的图象大致是（)(2)函数f（x）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式是()A．f（x）＝x＋sinxB．f(x)＝eq\f(cosx,x）C．f(x）＝xcosxD．f(x）＝x·(x－eq\f(π，2）)·(x－eq\f（3π,2）)探究点三图象的应用例3若关于x的方程|x2－4x＋3｜－a＝x至少有三个不相等的实数根,试求实数a的取值范围．变式迁移3(2010·全国Ⅰ)直线y＝1与曲线y＝x2－|x｜＋a有四个交点，则a的取值范围是________．数形结合思想的应用例（5分）(2010·北京东城区一模)定义在R上的函数y＝f（x)是减函数，且函数y＝f（x－1）的图象关于（1，0）成中心对称，若s,t满足不等式f（s2－2s）≤－f(2t－t2）．则当1≤s≤4时,eq\f（t，s）的取值范围是 (）A.eq\b\lc\[\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4），1）） B。eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f（1,4),1)）C。eq\b\lc\［\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f（1，2），1）） D。eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1(－\f（1，2），1））【答题模板】答案D解析因函数y＝f（x－1）的图象关于（1，0）成中心对称，所以该函数的图象向左平移一个单位后的解析式为y＝f（x)，即y＝f（x)的图象关于（0，0）对称，所以y＝f（x）是奇函数．又y＝f(x)是R上的减函数，所以s2－2s≥t2－2t，令y＝x2－2x＝(x－1）2－1，图象的对称轴为x＝1，当1≤s≤4时，要使s2－2s≥t2－2t，即s－1≥｜t－1|,当t≥1时，有s≥t≥1,所以eq\f（1，4)≤eq\f(t,s)≤1；当t<1时，即s－1≥1－t，即s＋t≥2，问题转化成了线性规划问题，画出由1≤s≤4，t<1，s＋t≥2组成的不等式组的可行域.eq\f（t,s)为可行域内的点到原点连线的斜率，易知－eq\f(1，2)≤eq\f（t,s)<1。综上可知选D.【突破思维障碍】当s,t位于对称轴x＝1的两边时，如何由s2－2s≥t2－2t判断s，t之间的关系式，这时s，t与对称轴x＝1的距离的远近决定着不等式s2－2s≥t2－2t成立与否,通过数形结合判断出关系式s－1≥1－t,从而得出s＋t≥2，此时有一个隐含条件为t〈1,再结合1≤s≤4及要求的式子的取值范围就能联想起线性规划，从而突破了难点．要画出s，t所在区域时,要结合eq\f（t,s)的几何意义为点(s,t)和原点连线的斜率，确定s为横轴，t为纵轴．【易错点剖析】当得到不等式s2－2s≥t2－2t后，如果没有函数的思想将无法继续求解，得到二次函数后也容易只考虑s,t都在二次函数y＝x2－2x的增区间［1，＋∞)内,忽略考虑s,t在二次函数对称轴两边的情况，考虑了s，t在对称轴的两边,也容易漏掉隐含条件t<1及联想不起来线性规划．1．掌握作函数图象的两种基本方法（描点法,图象变换法），在画函数图象时，要特别注意到用函数的性质（如单调性、奇偶性等)解决问题．2．合理处理识图题与用图题（1）识图．对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性．(2)用图．函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具,要重视数形结合解题的思想方法,常用函数图象研究含参数的方程或不等式解集的情况．(满分：75分）一、选择题(每小题5分，共25分）1．(2010·重庆）函数f（x）＝eq\f（4x＋1，2x)的图象 （）A．关于原点对称 B．关于直线y＝x对称C．关于x轴对称 D．关于y轴对称2．(2010·湖南)用min{a，b｝表示a,b两数中的最小值．若函数f（x）＝min{|x|，|x＋t｜}的图象关于直线x＝－eq\f(1,2）对称，则t的值为 ()A．－2 B．2C．－1 D．13．（2011·北京海淀区模拟)在同一坐标系中画出函数y＝logax,y＝ax，y＝x＋a的图象，可能正确的是 (）4．（2011·深圳模拟）若函数y＝f(x）的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为(）5．设b〉0，二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1的图象为下列之一，则a的值为()A．1 B．－1 C.eq\f（－1－\r(5)，2) D.eq\f(－1＋\r(5）,2)题号12345答案二、填空题（每小题4分，共12分)6．为了得到函数y＝3×(eq\f（1,3)）x的图象，可以把函数y＝(eq\f(1，3））x的图象向________平移________个单位长度．7．(2011·黄山月考)函数f（x）＝eq\f(2x－1，x＋1）的图象对称中心是________．8．(2011·沈阳调研）如下图所示，向高为H的水瓶A、B、C、D同时以等速注水，注满为止．（1)若水量V与水深h函数图象是下图的（a)，则水瓶的形状是________；（2）若水深h与注水时间t的函数图象是下图的（b)，则水瓶的形状是________．（3)若注水时间t与水深h的函数图象是下图的（c)，则水瓶的形状是________；（4）若水深h与注水时间t的函数的图象是图中的（d)，则水瓶的形状是________．三、解答题(共38分）9．(12分)已知函数f（x）＝x|m－x｜（x∈R），且f（4)＝0。(1）求实数m的值；（2)作出函数f（x）的图象;（3）根据图象指出f(x)的单调递减区间;（4)根据图象写出不等式f(x）>0的解集；(5）求当x∈［1，5)时函数的值域．10．（12分）(2011·三明模拟)当x∈（1,2)时,不等式(x－1）2〈logax恒成立，求a的取值范围．11．(14分）已知函数f(x）＝－x2＋2ex＋m－1，g（x）＝x＋eq\f（e2，x）（x>0)．（1）若g（x）＝m有根，求m的取值范围；(2)确定m的取值范围，使得g（x）－f(x)＝0有两个相异实根．答案自主梳理2．③奇偶性单调性周期性3。（1)左右｜a|上下|a｜（2)a>1a〉10<a<1a（3）①原点y②y③x④原点⑤x＝a⑥(a，b)⑦上方自我检测1．C［A项y＝lg（x＋3)＋1＝lg［10（x＋3）],B项y＝lg（x－3)＋1＝lg［10（x－3）］，C项y＝lg（x＋3)－1＝lgeq\f（x＋3,10）,D项y＝lg(x－3）－1＝lgeq\f(x－3,10).］2．C3．C[∵f(－x）＝－eq\f(1，x)＋x＝－eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1，x)－x））＝－f(x），∴f（x)是奇函数，即f(x）的图象关于原点对称．］4．A[作出y＝log2(－x)，y＝x＋1的图象知满足条件的x∈(－1，0）．]5．B［由f（4）·g(－4）〈0得a2·loga4<0,∴0〈a〈1。]课堂活动区例1解（1）y＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x－x2，0≤x≤1，,－x－x2，x〉1或x〈0,））即y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f（1，2)））2＋\f(1，4),0≤x≤1，，\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(x－\f（1，2))）2－\f(1,4)，x>1或x<0，)）其图象如图所示．(2）y＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（x－\f(1,2）））2－\f(1,4），x≥0,，\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（x＋\f(1,2)））2－\f(1,4)，x〈0,）)其图象如图所示．（3)作出y＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1，2）））x的图象，保留y＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1,2）))x图象中x≥0的部分，加上y＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1,2))）x的图象中x>0的部分关于y轴的对称部分,即得y＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1，2））)｜x|的图象．变式迁移1解定义域是｛x｜x∈R且x≠±1｝,且函数是偶函数．又当x≥0且x≠1时，y＝eq\f（1，x－1)。先作函数y＝eq\f(1,x）的图象，并将图象向右平移1个单位，得到函数y＝eq\f（1，x－1）（x≥0且x≠1）的图象（如图（a）所示）．又函数是偶函数,作关于y轴对称图象,得y＝eq\f（1，｜x|－1)的图象(如图(b）所示）．例2解题导引对于给定的函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系．(1）A[从f(x)、g（x）的图象可知它们分别为偶函数、奇函数，故f(x）·g(x）是奇函数,排除B.又x<0时，g(x）为增函数且为正值,f(x)也是增函数，故f(x）·g(x)为增函数，且正负取决于f(x)的正负，注意到x→（从小于0趋向于0），f（x)·g（x)→+∞，可排除C、D。］（2）A[因为f(1-x）=f（-（x-1)）,故y=f（1—x)的图象可以由y=f（x）的图象按照如下变换得到：先将y=f（x）的图象关于y轴翻折，得y=f（-x）的图象，然后将y=f（—x）的图象向右平移一个单位，即得y=f（—x+1)的图象.］变式迁移2(1）A[考查函数y＝2x与y＝x2的图象可知：当x〈0时,方程2x－x2＝0仅有一个零点，且→－∞；当x〉0时,方程2x－x2＝0有两个零点2和4,且→＋∞。］（2）C[由图象知f（x)为奇函数,排除D；又0，±eq\f(π，2），±eq\f(3,2)π为方程f（x)＝0的根，故选C。]例3解题导引原方程重新整理为|x2－4x＋3|＝x＋a，将两边分别设成一个函数并作出它们的图象，即求两图象至少有三个交点时a的取值范围．方程的根的个数问题转化为函数图象交点个数问题，体现了《考纲》中函数与方程的重要思想方法．解原方程变形为|x2－4x＋3|＝x＋a,于是,设y＝|x2－4x＋3|，y＝x＋a,在同一坐标系下分别作出它们的图象．如图．则当直线y＝x＋a过点(1，0）时a＝－1；当直线y＝x＋a与抛物线y＝－x2＋4x－3相切时，由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(y＝x＋a,y＝－x2＋4x－3）),得，x2－3x＋a＋3＝0，由Δ＝9－4(3＋a）＝0,得a＝－eq\f（3，4）.由图象知当a∈[－1，－eq\f(3,4)]时方程至少有三个根．变式迁移3（1，eq\f(5,4）)解析y＝x2－|x｜＋a＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)2＋a－\f(1,4）,x≥0,，x＋\f（1，2)2＋a－\f(1，4)，x〈0.）)当其图象如图所示时满足题意．由图知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a〉1，，a－\f（1,4)<1，））解得1〈a<eq\f（5,4）.课后练习区1．D［f（x）＝2x＋2－x，因为f(－x)＝f（x)，所以f(x）为偶函数．所以f(x)图象关于y轴对称．］2.D［令y＝|x|,y＝｜x＋t｜，在同一坐标系中作出其图象，如图，所以t＝1.]3．D[选项A、B、C中直线方程中的a的范围与对数函数中的a的范围矛盾．]4．C[函数y＝f（x)的图象与函数y＝－f(x)关于x轴对称，函数y＝－f（x）的图象向左平移1个单位即得到函数y＝－f(x＋1)的图象．］5．B[∵b>0,∴前两个图象不是给出的二次函数图象，又后两个图象的对称轴都在y轴右边，∴－eq\f(b,2a)>0,∴a<0，又∵图象过原点,∴a2－1＝0,∴a＝－1。］6．右1解析∵y＝3×（eq\f(1,3))x＝(eq\f（1，3））x－1，∴y＝(eq\f（1，3））x向右平移1个单位便得到y＝(eq\f(1,3）)x－1。7．(－1,2）解析∵f（x）＝eq\f（2x－1,x＋1)＝eq\f（2x＋1－3，x＋1)＝2－eq\f（3,x＋1)，∴函数f(x)图象的对称中心为（－1,2)．8．（1)A(2)D（3）B（4）C9．解(1)∵f（4)＝0，∴4|m－4｜＝0，即m＝4.…………(2分）（2）f（x)＝x|x－4|＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(xx－4＝x－22－4，x≥4，,－xx－4＝－x－22＋4，x〈4.))………………(4分)f(x)的图象如右图所示．（3）由图可知，f（x)的减区间是［2，4]．……………………（8分)（4)由图象可知f(x）>0的解集为{x|0〈x〈4或x>4｝．………………………(10分）(5)∵f（5）＝5〉4，由图象知，函数在[1,5）上的值域为[0，5）．……………（12分)10.解设f1（x)＝（x－1)2，f2（x)＝logax，要使当x∈(1，2)时，不等式（x－1)2<logax恒成立，只需f1(x)＝（x－1)2在(1，2)上的图象在f2（x）＝logax的下方即可．当0<a<1时，由图象知显然不成立．……………………（4分)当a>1时，如图，要使在(1，2)上,f1(x）＝（x－1)2的图象