历年高中数学联赛真题分类汇编33不等式

1/2历年高中数学联赛真题分类汇编专题33不等式第二缉1．【2018年贵州预赛】若实数a使得不等式x−2a+2x−a≥a2【答案】−【解析】设x=ka（k∈R），则ka−2a+即对∀k∈R，恒有k−2+2k−1≥a≤故答案为：−2．【2018年广西预赛】设a∈R，若x>0时均有(x2+ax−5)(ax−1)≥0【答案】1【解析】当a=0时，显然不能使原不等式对任意的x>0恒成立.因此a≠0.注意到y=x2+ax−5的开口向上，所以必然要求a>0.对于方程x2+ax−5=0，设其两根为x1、x2，且x解得a=13．【2018年湖北预赛】设正实数x、y满足x2+y【答案】6【解析】由三元均值不等式，可得x≥33xy≥33y当且仅当x=2时，①中等号成立；当且仅当y=12时，①+②，得x2又已知x2+y2+1x+14．【2018年甘肃预赛】设x,y满足2x+y≥4,x−y≥1,x−2y≤2.若z=ax+y只在点【答案】−【解析】画出平面区域如下：由数形结合可得−2<−a<12，即5．【2018年甘肃预赛】若正实数x,y满足y>2x，则y2【答案】4【解析】y>2x得yxy=t当且仅当t=3时等号成立，故y26．【2018年吉林预赛】若实数a,b满足a+b−2≥0b−a−1≤0a≤1，则【答案】7【解析】试题分析：由a+2b2a+b=12(2a+b)+32b2a+b=12+32考点：线性规划．7．【2018年天津预赛】实数x、y满足x2+y【答案】42【解析】注意xy≤14x当x=4，y=2时等号成立，所以也可以直接用柯西（Cauchy）不等式xy+8x+y2故答案为：428．【2018年河南预赛】已知a、b、【答案】2【解析】记M=min1a于是M3≤8abc又M≤3abc由①②可得M≤2M，所以M≤2，即M9．【2018年河北预赛】若实数x、y、z满足x2+y【答案】−【解析】由柯西不等式得(x2+y2)(1+22)≥(x+2y)2，由已知得x10．【2018年河北预赛】已知x⩾1，y⩾1且lg2【答案】2+22【解析】由已知得lg2所以lgx−1因为x⩾1、y⩾1，所以lgx⩾0、lgy⩾0由线性规划知识直线u=s+t与圆弧相切于点2+1,211．【2018年辽宁预赛】若正实数x、y满足x3【答案】1【解析】设x=ky,则y=4k−5k3+1.令故f(k)≤f(2)=13，因此y的最大值为故答案为:112．【2018年江西预赛】设x，y，z∈R【答案】18【解析】根据条件得，y+z=xyz−1，因此yz−1=同理有zx−1=z+x又因xyz=x+y+z≥33xyz，得所以fx,y,z当x=y=z=3故答案为：1813．【2018年山西预赛】若正整数n使得3恒介于1+3【答案】4【解析】当n为正整数是，易知3n+1<3n，由3−1<3n，得n<14．【2018年湖南预赛】设a+b=1,b>0,a≠0，则1|a|【答案】22【解析】1|a|其中等号成立的条件是b|a|=2|a|当a>0时，1|a|+2|a|当a<0时，1|a|+2|a|b≥2故答案为：215．【2018年福建预赛】最近网络上有一篇文章很火．源于一道常见题目：（见图），这貌似易解的题目，里面竟然蕴藏了深奥的大道理．（本题不作为本次考试的试题，本次试题如下）设a，b∈2,3,4,5,6,7,8【答案】89287【解析】不妨设a≥b，x=aa=1−99x因为1≤x≤4，当x=4时，10x+1x所以当x=4时，1−9910x+所以当a=8，b=2（或a=2，b=8）时，16．【2017高中数学联赛B卷（第01试）】若正整数a、b、c满足2017≥10a≥100b≥1000c，则数组(a，b，c)的个数为 .【答案】574【解析】由条件知c⩽2017当c=1时，有10≤b≤20.对于每个这样的正整数b，由10b≤a≤201知，相应的a的个数为202－10b.从而这样的正整数组的个数为b=1020当c=2时，由20⩽b⩽2017100，知b=20.进而故a=200，201.此时共有两组(a，b，c)综上所述，满足条件的正整数组的个数为572+2=574.17．【2017年天津预赛】如果不等式x3−ax+1≥0对一切x【答案】0【解析】提示：当x=当x≠0时,记fx=x注意fx在[−1,0)若x∈(0注意到x2+1x=x2综上,a的取值范围是0,3318．【2017年河北预赛】已知x,y∈R,2x【答案】22【解析】提示：根据柯西不等式得x+故x+2y≤即2x=32故x+2y另解:x26+所以x+其中cosφ=422,sinφ=6此时x=3故x+2y的最大值为19．【2017年吉林预赛】在平面直角坐标系中,由不等式x+y+x+【答案】3【解析】在第一、三象限内是直角边长为1的等腰直角三角形,在第二、四象限内是边长为1的正方形,面积是3.20．【2017年吉林预赛】已知x,y,z∈Z,且x【答案】3或57【解析】由x+y=从而x、y为关于t的方程于是Δ=3−当z=1当z=4当z=−5时,综上,x221．【2017年山东预赛】设a,b,c是非负实数,满足a+b+c=【答案】16【解析】提示：不失一般性,设c≥b≥a由0≤a−因为bc≥ca≥而ab=16−ca因此m≤16922．【2017年山东预赛】已知x,y,z∈R+,且【答案】3【解析】提示：如图,构造直角三角形△ABC,其中设F为△ABC内一点,满足∠AFB=∠BFC=∠令BF=x,CF=则x+作三角形△AFC的外接圆,连结BF并延长交圆于点D,连结DA、DC,在DF上取点E满足FE=FA考虑△AFC和△AED,由AD=AC,AE=因此BD=FA+FB因此x+23．【2017年福建预赛】A,B,C为圆O上不同的三点,且∠AOB=120∘,点C在劣弧AB内(点C与A,B不重合【答案】(【解析】提示：解法一如图1,连结OC交AB于点D.设OD=mOC,则由因为A、D,不妨设圆的半径为1,作OE⊥AB于E,由∠AOB因为OD≥OE=12,且点C在劣弧AB内(点C于是,1<所以λ+μ的取值范围为解法二如图2,以O为原点,线段AB的垂直平分线所在直线为y轴建立直角坐标系.不妨设圆O半径为2,则由∠AOB=120设C2cosα,2sinα因为点C在劣弧AB内(点C与A,B不重合),所以于是1所以λ+μ的取值范围为24．【2017年河南预赛】实数x、y满足4x2−5xy+4y2=5.若S【答案】8【解析】提示:不妨设x=代入4x2−则p=10325．【2017年河南预赛】若a≥b≥c,a+b+c=【答案】3【解析】提示:由a+b+c不妨设x1=1而a≥b≥c则−2≤ca≤−故最大值与最小值的和为3.26．【2017年湖北预赛】已知正实数a、b满足aba+b=4【答案】2【解析】提示：由aba+b则2a在b2=8b,即所以2a+b的最小值为27．【2017年四川预赛】已知实数x1,x2,x3满足:【答案】2【解析】由条件知x注意到,x12+x1+x当x1=x28．【2017年陕西预赛】设a,b,c是互不相同的正整数,则abca【答案】1【解析】提示：不妨设a>b从而,ab