高三北师大版数学（理）一轮复习小题专项集训（5）导数及其应用 含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精小题专项集训(五)导数及其应用（时间：40分钟满分：75分)一、选择题(每小题5分,共50分）1．（2013·西安十校联考）若函数y＝f（x）可导，则“f′(x)＝0有实根”是“f(x)有极值”的 ()．A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案A2．(2013·济南模拟）曲线f(x)＝x2(x－2）＋1在点(1,f（1))处的切线方程为（)．A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0C．x－y＋1＝0 D．x＋y－1＝0解析∵f(x）＝x2（x－2)＋1＝x3－2x2＋1，∴f′(x)＝3x2－4x，∴f′(1）＝－1，∵f（1)＝0，∴曲线在点（1,0）处的切线方程为y＝－(x－1），即x＋y－1＝0.答案D3．(2013·石家庄质检）函数f（x)满足f（0)＝0,其导函数f′（x）的图象如图，则f（x)在［－2，1]上的最小值为 （)．A．2 B．0C．－1 D．3解析由函数f(x)的导函数f′(x）的图象可知,函数f（x)为一元二次函数，且其图象的对称轴为x＝－1，开口方向向上．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0），∵f（0)＝0，∴c＝0，f′(x）＝2ax＋b，又f′（x)的图象过点(－1,0）与点（0，2)，则有eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（2a×－1＋b＝0，2a×0＋b＝2))，∴a＝1，b＝2，∴f（x）＝x2＋2x,则f(x）在[－2，1]上的最小值为f(－1)＝－1.答案C4．（2013·山师大附中月考）如果函数y＝f(x）的图象如右图，那么导函数y＝f′(x）的图象可能是（)．解析由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正→负→正→负，只有答案A满足．答案A5．(2013·河北四校联考）定义在R上的函数y＝f(x）满足f（3－x)＝f（x)，eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（x－\f(3，2)))f′(x）>0，若x1<x2且x1＋x2〉3，则有 （）．A．f(x1)〉f（x2) B．f（x1）<f(x2）C．f（x1）＝f（x2） D．不确定解析依题意得，f(x1)＝f(3－x1）,当x〉eq\f(3,2）时，f′（x)>0，f（x）在eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（3，2），＋∞））上是增函数．若x1≥eq\f(3,2），则由已知有x2>x1≥eq\f（3，2)，f（x2)〉f(x1）；若x1<eq\f（3，2)，则由x1<x2及x1＋x2>3得x2>3－x1〉eq\f(3,2）.所以f(x2）〉f(3－x1）＝f(x1）．选B。答案B6．（2013·济宁模拟）曲线y＝eq\r(x）与x＝1,x＝4及x轴所围成的封闭图形的面积为（）．A.eq\f(14,3） B.eq\f(5，3) C。eq\f(10，3） D。eq\f(16,3)解析所求的封闭图形的面积S＝eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1（\i\in（1,4，)\r（x)dx＝\f(2,3）x\f（3，2）））eq\o\al（4,1）＝eq\f（14,3).答案A7．与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程是 （）．A．2x－y＋3＝0 B．2x－y－3＝0C．2x－y＋1＝0 D．2x－y－1＝0解析设切点坐标为(x0，xeq\o\al(2，0)），则切线斜率为2x0，由2x0＝2得x0＝1，故切线方程为y－1＝2（x－1），即2x－y－1＝0.答案D8．（2013·西安质检）已知直线y＝kx是曲线y＝lnx的切线，则k的值是()．A．e B．－e C。eq\f(1，e） D．－eq\f(1,e)解析依题意，设直线y＝kx与曲线y＝lnx切于点（x0，kx0)，则有eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（kx0＝lnx0,,k＝\f(1,x0)，)）由此得x0＝e，k＝eq\f（1，e).答案C9．已知函数f(x)的定义域为R，f′（x）为f(x）的导函数，函数y＝f′(x）的图象如图所示，且f(－2)＝1,f(3）＝1，则不等式f（x2－6)〉1的解集为 (）．A．(－3，－2)∪(2，3)B．（－eq\r（2），eq\r(2）)C．（2,3） D．（－∞，－eq\r（2))∪(eq\r（2）＋∞）解析由图知，f（x)在（－∞，0）上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，又f（－2)＝1，f（3）＝1,所以所求不等式等价于－2〈x2－6<3，解得2<x<3或－3〈x<－2。答案A10．已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在定义域x∈［－2，2］上表示的曲线过原点，且在x＝±1处的切线斜率均为－1.有以下命题:①f（x）是奇函数；②若f（x）在[s,t］内递减，则｜t－s｜的最大值为4；③若f（x)的最大值为M，最小值m，则M＋m＝0;④若对∀x∈［－2，2］,k≤f′(x）恒成立，则k的最大值为2.其中正确命题的个数为 (）．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解析由题意，得函数过原点，则c＝0.又f′（x）＝3x2＋2ax＋b。则必有eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（f′1＝3＋2a＋b＝－1，,f′－1＝3－2a＋b＝－1.)）解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝0，，b＝－4.））所以f（x）＝x3－4x。令f′（x)＝3x2－4＝0得x＝±eq\f(2\r(3），3).则函数在［－2,2］上的最小值是负数．由此得函数图象大致如图：得出结论是：①③正确；②④错误．故选B.答案B二、填空题（每小题5分，共25分）11．已知f（x)＝3x2＋2x＋1。若eq\i\in（,1,)－1f(x)dx＝2f(a），则a＝________。解析eq\i\in（，1，)－1f(x)dx＝eq\i\in（,1，)－1（3x2＋2x＋1)dx＝(x3＋x2＋x)eq\b\lc\|\rc\（\a\vs4\al\co1（1，－1)）＝4＝2f（a)，f(a）＝3a2＋2a＋1＝2,解得a＝－1或eq\f（1,3).答案－1或eq\f（1，3)12．已知M是曲线y＝lnx＋eq\f(1，2）x2＋(1－a）x上的一点，若曲线在M处的切线的倾斜角是均不小于eq\f（π，4）的锐角，则实数a的取值范围是________．解析依题意，得y′＝eq\f（1，x)＋x＋(1－a)，其中x>0。由曲线在M处的切线的倾斜角是均不小于eq\f（π，4）的锐角得，对于任意正数x，均有eq\f（1,x）＋x＋（1－a)≥1，即a≤eq\f(1,x)＋x。注意到当x>0时，eq\f(1,x）＋x≥2eq\r(\f（1，x)·x)＝2，当且仅当eq\f（1,x)＝x，即x＝1时取等号，因此实数a的取值范围是(－∞，2]．答案(－∞,2］13．（2013·荆州中学月考）若曲线f(x）＝ax5＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．解析∵f′（x）＝5ax4＋eq\f(1，x)，x∈（0,＋∞），∴由题意，知5ax4＋eq\f（1,x）＝0在(0，＋∞）上有解．即a＝－eq\f(1，5x5)在（0，＋∞）上有解．∵x∈（0，＋∞），∴－eq\f（1,5x5)∈（－∞，0)．∴a∈（－∞,0)．答案(－∞，0)14．已知函数f（x)＝ax3－3x＋1对x∈（0,1]总有f(x)≥0成立,则实数a的取值范围是________．解析当x∈（0，1］时,不等式ax3－3x＋1≥0可化为a≥eq\f(3x－1，x3)，设g（x)＝eq\f（3x－1,x3)，x∈（0，1]，g′（x）＝eq\f（3x3－3x－13x2,x6）＝－eq\f（6\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（x－\f(1,2))）,x4)，g′(x）与g（x）随x变化情况如下表：xeq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2）））eq\f（1，2)eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1,2)，1）)f′（x)＋0－f(x)4因此g(x）的最大值为4，则实数a的取值范围是［4,＋∞）．答案[4，＋∞）15．（2013·洛阳统考）如图，矩形ABCD内的阴影部分是由曲线f(x）＝2x2－2x及直线y＝2x围成的，现向矩形ABCD内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为________．解析曲线f（x）＝2x2－2x与直线y＝2x的交点为（0，0)和（2，4），曲线f（x）＝2x2－2x与x轴的交点为（0，0)和(1,0），其顶点为eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1，2)，－\f（1,2）)）。因为矩形ABCD的面积为eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1