新疆兵团地州学校2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题

兵团地州学校2023~2024学年第一学期期中联考高二数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名，考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一章至第三章3.1。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.l.已知向量，，若，则（）A.， B.，C.， D.，2.“，”是“方程表示的曲线为椭圆”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.平行直线与之间的距离为（）A.5 B. C. D.4.已知原点O在圆的外部，则k的取值范围是（）A. B. C. D.5.经过的直线l在x轴上的截距的取值范围为，则直线l的斜率k的取值范围为（）A. B.C. D.6.如图，在三棱柱中，，，，，与的交点为M，则AM=（）A. B. C. D.7.在生活中，有一个常见的现象：用手电筒斜照地面上的篮球，留下的影子会形成椭圆.如图，在地面的某个点正上方有一个点光源，将小球放置在地面上，使得与小球相切.若地面上的影子形成的椭圆的离心率为，，小球与地面的接触点（切点）就是影子椭圆的焦点，则光源与地面的距离为（）A.2 B. C. D.8.已知直线与圆交于A，B两点，当最小时，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则（）A. B. C. D.二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知，直线经过第一、二、四象限，则（）A. B. C. D.10.，为椭圆C的两个焦点，椭圆C上存在点P，使得，则椭圆C的方程可以是（）A. B.C. D.11.圆和圆的交点为A，B，则（）A.公共弦所在直线方程为B.线段的中垂线方程为C.公共弦的长为D.P为圆上一动点，则P到直线的距离的最大值为12.已知正方体的棱长为2，P是正方体所在空间内一点，下列结论正确的是（）A.若，则的最小值为B.若，则平面截正方体所得截面积的最大值为C.若，则三棱锥的表面积为D.若，则直线与BP所成角的最小值为三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.在空间直角坐标系中，点关于xOy平面对称的点的坐标为.14.经过点且与圆相切的直线的一般方程为.15.已知为直线上的一点，则的最小值为.16.已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，P为C上异于A，B的一点，直线PA，PB与直线分别交于M，N两点，则的最小值为.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知直线.（1）求过点，且与直线l垂直的直线m的方程；（2）在（1）的条件下，直线m与圆相交于A，B两点，求线段的长.18.（12分）已知，是椭圆的两个焦点，，为C上一点.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若P为C上一点，且，求的面积.19.（12分）如图，在所有棱长均为1的平行六面体中，，侧棱与，均成角，为侧面的中心.（1）若N为的中点，证明：，B，D，N四点共面.（2）求异面直线与所成角的余弦值.20.（12分）如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，E，F，M分别是，，的中点.（1）证明：平面.（2）求平面与平面的夹角的余弦值.21.（12分）如图，某湿地公园的形状是长方形，，E为的中点，线段为公园内部的人行道（1）记的外接圆为圆M，以为直径的圆为圆N，判断圆M与圆N的位置关系，并说明理由；（2）今欲在人行步道（线段）上设一观景台P，已知当观景台P在过A，B两点的圆与线段相切的切点处时，有最佳观赏和拍摄的效果，若该圆的半径小于50，问观景台P设在何处时，观赏和拍摄的效果最佳？22.（12分）动点P与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，记点P的轨迹为E.（1）求E的方程；（2）已知，过点的直线与曲线E交于不同的两点A，B，点A在第二象限，点B在x轴的下方，直线，分别与x轴交于C，D两点，求四边形面积的最大值.兵团地州学校2023~2024学年第一学期期中联考高二数学试卷参考答案1.A因为，所以，.2.B由，，可得，；由方程表示的曲线为椭圆可得，，.故“，”是“方程表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件.3.C因为，所以，则，之间的距离为.4.D由，得，则，解得，又原点O在圆的外部，所以，故.5.C由直线l在x轴上的截距的取值范围为，得l过点的斜率，l过点的斜率，故直线l的斜率k的取值范围为.6.C由题意得，所以.7.D设为椭圆的左焦点，在中，内切圆与的三边相切于点D，E，，因为椭圆的离心率为，，所以，.设，则，，，，所以，解得，所以光源A与地面的距离为3.8.C如图，由题意得，由得所以l过定点.设l与x轴交于点E，当最小时，，，，则，.因为，所以.在中，，在中，，所以.9.ABC将直线l的方程转化为，因为l经过第一、二、四象限，所以即，，.10.AD设椭圆C的方程为，设椭圆上顶点为B，椭圆C上存在点P，使得，则需，所以，即，因为，，则，检验可得选项A，D满足.11.ACD对于A，由与两式作差可得，所以公共弦所在直线方程为，故A正确；对于B，圆的圆心，圆的圆心，直线的方程为，所以的中垂线方程为，故B错误；对于C，圆心到直线的距离，由弦长公式得，故C正确；对于D，P为圆上一动点，圆心到直线的距离为，则P到直线的距离的最大值为，故D正确.12.ABD对于A选项，在上取点H（图略），使得，在上取点K，使得，则由，得，即，故P是线段上一点.将平面沿展开至与平面共面，此时，当，P，D三点共线时，取得最小值，A正确.对于B选项，由，可知P是线段上一点.连接并与交于点Z（图略）.当P与D重合时，平面与平面重合，不符合题意.当P在线段（不含点D）上时，平面截正方体所得截面为三角形，且当P与Z重合时，截面面积最大，最大值为.当P在线段（不含点B，Z）上时，延长并与交于点W，作并与交于点R（图略），则截面为等腰梯形，设，则，，梯形的高，面积为.当P与B重合时，截面为矩形，面积为.故平面截正方体所得截面积的最大值为，B正确.对于C选项，因为，所以P为的中点，三棱锥的表面积为，C不正确.对于D选项，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，则，，.因为，所以，所以直线与所成角的最小值为，D正确.13. 点关于xOy平面对称的点的坐标为.14. 由，可得，则圆心，且点在该圆上，，则切线的斜率为，故所求的切线方程为，即.15. 如图，为点到原点O和y到点的距离之和，即.设关于直线对称的点为，则得即，易得，当A，P，B三点共线时，取得最小值，且最小值为.16.6 设，则，易知，，直线和直线的斜率之积，设直线的方程为，则，直线的方程为，则，所以.17.解：（1）∵，∴直线m的方程为，∵直线m过点，∴，∴.∴直线m的方程为.（2）将圆化为标准方程，得，则圆心为（1，0），半径，∴圆心到直线m的距离，∴.18.解：（1）设椭圆C的焦距为2c.由题意有，，，所以，，故椭圆C的标准方程为.（2）由题意可知，且，所以.所以的面积.19.解：（1），所以，因为，所以，B，D，N四点共面.（2），即.，，即异面直线与所成角的余弦值为.20.（1）证明：取的中点N，连接，，因为E是的中点，所以，.又底面为正方形，F是的中点，所以，，所以四边形为平行四边形，所以.因为平面，平面，所以平面.（2）解：以A为坐标原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，令，则，，，，.从而，，.设平面的法向量为，则令，得.设平面的法向量为，则令，得..故平面与平面的夹角的余弦值为.21.解：（1）以A为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，则，，，.因为，所以圆M的圆心为的中点，即圆心M的坐标为，圆M的半径为，圆N的圆心N的坐标为，半径为10，，所以圆M与圆N外离.（2）所在的直线方程为，因