2023-2024学年西藏自治区昌都市第三高级中学数学高二上期末质量跟踪监视模拟试题含解析

2023-2024学年西藏自治区昌都市第三高级中学数学高二上期末质量跟踪监视模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．某工厂节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据如下表，现发现表中有个数据看不清，已知回归直线方程为=6.3x+6.8，下列说法正确的是（）x23456y1925★4044A.看不清的数据★的值为33B.回归系数6.3的含义是产量每增加1吨，相应的生产能耗实际增加6.3吨C.据此模型预测产量为8吨时，相应的生产能耗为50.9吨D.回归直线=6.3x+6.8恰好经过样本点（4，★）2．已知数列满足，，在（）A.25 B.30C.32 D.643．圆与直线的位置关系为（）A.相切 B.相离C.相交 D.无法确定4．总体有编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取3个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第3个个体的编号为（）7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A.08 B.02C.63 D.145．若直线与直线垂直，则a的值为（）A.2 B.1C. D.6．已知直线与直线平行，则实数a的值为（）A.1 B.C.1或 D.7．从编号分别为,,,,的五个大小完全相同的小球中,随机取出三个小球,则恰有两个小球编号相邻的概率为()A. B.C. D.8．已知等比数列{an}中，，，则（）A. B.1C. D.49．若点是函数图象上的动点（其中的自然对数的底数），则到直线的距离最小值为（）A. B.C. D.10．抛物线的焦点到准线的距离为（）A. B.C. D.11．已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，为坐标原点，且，则（）A.4 B.2C. D.12．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一.指的是：已知动点与两定点的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，其中，定点为轴上一点，定点的坐标为，若点，则的最小值为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求的单调区间；14．已知圆，过点作圆O的切线，则切线方程为___________.15．若圆C的方程为，点P是圆C上的动点，点O为坐标原点，则的最大值为______16．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马再回到军营,怎样走才能使总路程最短?在如图所示的直角坐标系xOy中,设军营所在平面区域为{(x,y)|x2+y2≤},河岸线所在直线方程为x+2y-4=0.假定将军从点P(,)处出发,只要到达军营所在区域即回到军营,当将军选择最短路程时,饮马点A的纵坐标为______.最短总路程为______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知公差不为0的等差数列满足：且成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）记为数列的前n项和，求证是等差数列18．（12分）已知椭圆长轴长为4，A，B分别为左、右顶点，P为椭圆上不同于A，B的动点，且点在椭圆上，其中e为椭圆的离心率（1）求椭圆的标准方程；（2）直线AP与直线（m为常数）交于点Q，①当时，设直线OQ的斜率为，直线BP的斜率为．求证：为定值；②过Q与PB垂直的直线l是否过定点？如果是，请求出定点坐标；如果不是，请说明理由19．（12分）已知椭圆的左焦点与抛物线的焦点重合，椭圆的离心率为，过点作斜率不为0的直线，交椭圆于两点，点，且为定值（1）求椭圆的方程；（2）求面积的最大值20．（12分）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，且，，.（1）求证：平面PAC；（2）已知点M是线段PD上的一点，且，当三棱锥的体积为1时，求实数的值.21．（12分）已知点，点为直线上的动点，过作直线的垂线，线段的中垂线与交于点.（1）求点的轨迹的方程；（2）若过点直线与曲线交于，两点，求与面积之和的最小值.（为坐标原点）22．（10分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，平面平面，，.（1）证明：平面；（2）已知，，，且直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】根据回归直线方程的性质和应用，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A：因为，将代入，故，∴，故A错误；对，回归系数6.3的含义是产量每增加1吨，相应的生产能耗大约增加6.3吨，故错误；对，当时，，故错误；对，因为，故必经过，故正确.故选：.2、A【解析】根据题中条件，得出数列公差，进而可求出结果.【详解】由得，所以数列是以为公差的等差数列，又，所以.故选：A.【点睛】本题主要考查等差数列的基本量运算，属于基础题型.3、C【解析】先计算出直线恒过定点，而点在圆内，所以圆与直线相交.【详解】直线可化为，所以恒过定点.把代入，有：，所以在圆内，所以圆与直线的位置关系为相交.故选：C4、D【解析】由随机数表法抽样原理即可求出答案.【详解】根据题意，依次读出的数据为65（舍去）,72（舍去）,08,02,63（舍去）,14，即第三个个体编号为14.故选：D.5、A【解析】根据两条直线垂直的条件列方程，解方程求得的值.【详解】由于直线与直线垂直，所以，解得.故选：A6、A【解析】根据两直线平行的条件列方程，化简求得，检验后确定正确答案.【详解】由于直线与直线平行，所以，或，当时，两直线方程都为，即两直线重合，所以不符合题意.经检验可知符合题意.故选：A7、C【解析】利用古典概型计算公式计算即可【详解】从编号分别为,,,,的五个大小完全相同的小球中,随机取出三个小球共有种不同的取法,恰好有两个小球编号相邻的有:,共有6种所以概率为故选:C8、D【解析】设公比为，然后由已知条件结合等比数列的通项公式列方程求出，从而可求出，【详解】设公比为，因为等比数列{an}中，，，所以，所以，解得，所以，得故选：D9、A【解析】设，，设与平行且与相切的直线与切于，由导数的几何意义可求出点的坐标，则到直线的距离最小值为点到直线的距离，再求解即可.【详解】解：设，，设与平行且与相切的直线与切于所以所以则到直线的距离为，即到直线的距离最小值为，故选：A10、B【解析】根据抛物线的几何性质可得选项.【详解】由得，所以，所以抛物线的焦点到准线的距离为1，故选：B.11、B【解析】依题意可得，设，根据可得，，根据为抛物线上一点，可得.【详解】依题意可得，设，由得，所以，，所以，，因为为抛物线上一点，所以，解得.故选：B.【点睛】本题考查了平面向量加法的坐标运算，考查了求抛物线方程，属于基础题.12、D【解析】设，，根据和求出a的值，由，两点之间直线最短，可得的最小值为，根据坐标求出即可.【详解】设，，所以，由，所以，因为且，所以，整理可得，又动点M的轨迹是，所以，解得，所以，又，所以，因为，所以的最小值，当M在位置或时等号成立.故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、（1）（2）详见解析【解析】（1）分别求得和，从而得到切线方程；（2）求导后，令求得两根，分别在、和三种情况下根据导函数的正负得到函数的单调区间.【详解】（1），，，，又，在处的切线方程为.（2），令，解得：，.①当时，若和时，；若时，；的单调递增区间为，；单调递减区间为；②当时，在上恒成立，的单调递增区间为，无单调递减区间；③当时，若和时，；若时，；的单调递增区间为，；单调递减区间为；综上所述：当时，的单调递增区间为，；单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，；单调递减区间为.【点睛】本题考查利用导数的几何意义求解曲线在某一点处的切线方程、利用导数讨论含参数函数的单调区间的问题，属于常考题型.14、或【解析】首先判断点圆位置关系，再设切线方程并联立圆的方程，根据所得方程求参数k，即可写出切线方程.【详解】由题设，，故在圆外，根据圆及，知：过作圆O的切线斜率一定存在，∴可设切线为，联立圆的方程，整理得，∴，解得或.∴切线方程为或.故答案为：或.15、##【解析】根据点与圆的位置关系求得正确答案.【详解】圆的方程可化为，所以圆心为，半径.由于，所以原点在圆外，所以最大值为.故答案为：16、①.②.【解析】求出P(,)关于直线x+2y4=0对称点P'的坐标，再求出线段OP'与直线x+2y-4=0的交点A,再利用圆的几何性质可得结果.【详解】设P(,)关于直线x+2y4=0的对称点为P'(m,n),则解得因为从点P到军营总路程最短,所以A为线段OP'与直线x+2y4=0的交点,联立得y=(42y),解得y=.所以“将军饮马”的最短总路程为=，故答案为，.【点睛】本题主要考查对称问题以及圆的几何性质，属于中档题.解析几何中点对称问题，主要有以下三种题型：（1）点关于直线对称，关于直线的对称点，利用，且点在对称轴上，列方程组求解即可；（2）直线关于直线对称，利用已知直线与对称轴的交点以及直线上特殊点的对称点（利用（1）求解），两点式求对称直线方程；（3）曲线关于直线对称，结合方法（1）利用逆代法求解.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）证明见解析.【解析】(1)根据等比中项的应用可得，结合等差数列的定义和求出公差，进而得出通项公式；(2)根据等差数列前n项求和公式可得，结合等差数列定义即可证明.【小问1详解】设等差数列的公差为()，由成等比数列，得，又，所以，解得，所以；【小问2详解】由(1)可得，所以，有，故，又，所以数列是以2为首项，以2为公差的等差数列.18、（1）（2）①证明见解析；②直线过定点；【解析】（1）依题意得到方程组，解得，即可求出椭圆方程；（2）①由（1）可得，，设，，表示出直线的方程，即可求出点坐标，从而得到、，即可求出；②在直线方程中令，即可得到的坐标，再求出直线的斜率，即可得到直线的方程，从而求出定点坐标；【小问1详解】解：依题意可得，即，解得或（舍去），所以，所以椭圆方程为【小问2详解】解：①由（1）可得，，设，，则直线的方程为，令则，所以，，所以，又点在椭圆上，所以，即，所以，即为定值；②因为直线的方程为，令则，因为，所以，所以直线的方程为，即又，所以，令，解得，所以直线过定点；19、(1)（2）【解析】（1）由抛物线焦点可得c，再根据离心率可得a，即得b；（2）先设直线方程x=ty+m，根据向量数量积表示，将直线方程与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理代入化简可得为定值的条件，解出m；根据点到直线距离得三角形的高，利用弦公式可得底，根据面积公式可得关于t的函数，最后根据基本不等式求最值【详解】试题解析：解：（1）设F1（﹣c，0），∵抛物线y2=﹣4x的焦点坐标为（﹣1，0），且椭圆E的左焦点F与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，∴c=1，又椭圆E的离心率为，得a=，于是有b2=a2﹣c2=1．故椭圆Γ的标准方程为：（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为：x=ty+m，由整理得（t2+2）y2+2tmy+m2﹣2=0，，，==（t2+1）y1y2+（tm﹣t）（y1+y2）+m2﹣要使为定值，则，解得m=1或m=（舍）当m=1时，|AB|=|y1﹣y2|=，点O到直线AB的距离d=，△OAB面积S=∴当t=0，△OAB面积的最大值为.20、（1）证明见解析（2）3【解析】（1）证明出，且，从而证明出线面垂直；（2）先用椎体体积公式求出，利用体积之比得到线段之比，从而得到的值.【小问1详解】证明：∵平面ABCD，且平面ABCD，∴.又因为，且，∴四边形ABCD为直角梯形.又因为，，易得，，∴，∴.又因为AC，PA是平面PAC的两条相交直线，∴平面PAC.【小问2详解】由（1）知且，∴.又∵平面ABCD，.又∵，∴，∴点M到平面ABC的距离为，∴，∴.21、（1）（2