2023-2024学年山东省青岛市城阳一中高二上数学期末联考模拟试题含解析

2023-2024学年山东省青岛市城阳一中高二上数学期末联考模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．双曲线的渐近线方程和离心率分别是A. B.C. D.2．若直线l的倾斜角是钝角，则l的方程可能是（）A. B.C. D.3．已知直线过点，且与直线垂直，则直线的方程是（）A. B.C. D.4．双曲线C：的渐近线方程为（）A. B.C. D.5．胡萝卜中含有大量的胡萝卜素，摄入人体消化器官后，可以转化为维生素，现从，两个品种的胡萝卜所含的胡萝卜素（单位：）得到茎叶图如图所示，则下列说法不正确的是A. B.的方差大于的方差C.品种的众数为 D.品种的中位数为6．命题“”的否定是（）A. B.C. D.7．已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为()A. B.C.1 D.28．在数列中，若，，则（）A.16 B.32C.64 D.1289．已知椭圆的离心率，为椭圆上的一个动点，若定点，则的最大值为A. B.C. D.10．函数的最小值是（）A.3 B.4C.5 D.611．如图是等轴双曲线形拱桥，现拱顶距离水面6米，水面宽米，若水面下降6米，则水面宽()A.米 B.米C.米 D.米12．已知抛物线，过点作抛物线的两条切线，点为切点.若的面积不大于，则的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．方程()所表示的直线恒过定点________14．已知数列是公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求.15．曲线在处的切线方程为______16．莱昂哈德·欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共线．后来人们称这条直线为该三角形的欧拉线．已知的三个顶点坐标分别是，，，则的垂心坐标为______，的欧拉线方程为______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知等差数列中，首项，公差，且数列的前项和为（1）求和；（2）设，求数列的前项和18．（12分）已知等差数列满足：成等差数列，成等比数列.（1）求的通项公式：（2）在数列的每相邻两项与间插入个，使它们和原数列的项构成一个新数列，数列的前项和记为，求及.19．（12分）已知抛物线的焦点为，且为圆的圆心．过点的直线交抛物线与圆分别为，，，（从上到下）（1）求抛物线方程并证明是定值；（2）若，的面积比是，求直线的方程20．（12分）已知O为坐标原点，双曲线C：（，）的离心率为，点P在双曲线C上，点，分别为双曲线C的左右焦点，.（1）求双曲线C的标准方程；（2）已知点，，设直线PA，PB的斜率分别为，.证明：为定值.21．（12分）已知等差数列的前三项依次为，4，，前项和为，且.（1）求的通项公式及的值；（2）设数列的通项，求证是等比数列，并求的前项和.22．（10分）如图，在正四棱柱中，是上的点，满足为等边三角形.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】先根据双曲线的标准方程，求得其特征参数的值，再利用双曲线渐近线方程公式和离心率定义分别计算即可.【详解】双曲线的，双曲线的渐近线方程为，离心率为，故选A.【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线及离心率，属于简单题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解2、A【解析】根据直线方程，求得直线斜率，再根据倾斜角和斜率的关系，即可判断和选择.【详解】若直线的倾斜角为，则，当时，为钝角，当，，当，为锐角；当不存在时，倾斜角为，对A：，显然倾斜角为钝角；对B：，倾斜角为锐角；对C：，倾斜角为锐角；对D：不存在，此时倾斜角为直角.故选：A.3、D【解析】由题意设直线方程为，然后将点坐标代入求出，从而可求出直线方程【详解】因为直线与直线垂直，所以设直线方程为，因为直线过点，所以，得，所以直线方程为，故选：D4、D【解析】根据给定的双曲线方程直接求出其渐近线方程作答.【详解】双曲线C：的实半轴长，虚半轴长，即有，而双曲线C的焦点在y轴上，所以双曲线C的渐近线的方程为，即.故选：D5、C【解析】读懂茎叶图，分别计算出众数、中位数、方差，然后对各选项进行判断【详解】由茎叶图知，品种所含胡萝卜素普遍高于品种，所以，故A正确；品种的数据波动比品种的数据波动大，所以的方差大于的方差，故B正确；品种的众数为与，故C错误；品种的数据的中位数为，故D正确.故选.【点睛】本题主要考查了对数据的分析，首先要读懂茎叶图，然后计算出众数、中位数、方差，即可对各选项进行判断，较为基础6、C【解析】特称命题的否定，先把存在量词改为全称量词，再把结论进行否定即可.【详解】命题“”的否定是“”.故选：C7、D【解析】由题意知，抛物线的准线l：y＝－1，过A作AA1⊥l于A1，过B作BB1⊥l于B1，设弦AB的中点为M，过M作MM1⊥l于M1.则|MM1|＝.|AB|≤|AF|＋|BF|(F为抛物线的焦点)，即|AF|＋|BF|≥6，|AA1|＋|BB1|≥6,2|MM1|≥6，|MM1|≥3，故M到x轴的距离d≥2.8、C【解析】根据题意，为等比数列，用基本量求解即可.【详解】因为，故是首项为2，公比为2的等比数列，故.故选：C9、C【解析】首先求得椭圆方程，然后确定的最大值即可.【详解】由题意可得：，据此可得：，椭圆方程为，设椭圆上点的坐标为，则，故：，当时，.本题选择C选项.【点睛】本题主要考查椭圆方程问题，椭圆中的最值问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10、D【解析】先判断函数的单调性，再利用其单调性求最小值【详解】由，得，因为，所以，所以在上单调递增，所以，故选：D11、B【解析】以双曲线的对称中心为原点，焦点所在对称轴为y轴建立直角坐标系，求出双曲线方程，数形结合即可求解.【详解】如图所示，以双曲线的对称中心为原点，焦点所在对称轴为y轴建立直角坐标系，设双曲线标准方程为：(a＞0)，则顶点，，将A点代入双曲线方程得，，当水面下降6米后，，代入双曲线方程得，，∴水面宽：米.故选：B.12、C【解析】由题意，设，直线方程为，则由点到直线的距离公式求出点到直线的距离，再联立直线与抛物线方程，由韦达定理及弦长公式求出，进而可得，结合即可得答案.【详解】解：因为抛物线的性质：在抛物线上任意一点处的切线方程为，设，所以在点处的切线方程为，在点B处的切线方程为，因为两条切线都经过点，所以，，所以直线的方程为，即，点到直线的距离为，联立直线与抛物线方程有，消去得，由得，，由韦达定理得，所以弦长，所以，整理得，即，解得，又所以.故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】将方程化为，令得系数等于0，即可得到答案.【详解】方程可化为，由，得，所以方程()所表示的直线恒过定点.故答案为：.【点睛】本题考查了直线恒过定点问题，属于基础题.14、（1）；（2）.【解析】（1）根据，且，，成等比数列，利用等比中项由，求得公差即可.（2）由（1）得到，再利用裂项相消法求解.【详解】（1）设数列的公差为d，因为，且，，成等比数列，所以，即，解得或（舍去），所以数列的通项公式；（2）由（1）知：，所以.【点睛】方法点睛：求数列的前n项和的方法(1)公式法：①等差数列的前n项和公式，②等比数列的前n项和公式；(2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n项和用错位相减法求解.(6)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解15、【解析】求得的导数，可得切线的斜率和切点，由斜截式方程可得切线方程【详解】解：的导数为，可得曲线在处的切线斜率为，切点为，即有切线方程为故答案为【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程，考查导数的几何意义，直线方程的运用，考查方程思想，属于基础题16、①.##(0,1.5)②.【解析】由高线联立可得垂心，由垂心与重心可得欧拉线方程.【详解】由，可知边上的高所在的直线为，又，因此边上的高所在的直线的斜率为，所以边上的高所在的直线为：，即，所以，所以的垂心坐标为，由重心坐标公式可得的重心坐标为，所以的欧拉线方程为：，化简得.故答案为：；三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），；（2）.【解析】（1）根据题意，结合等差数列的通项公式与求和公式，即可求解；（2）根据题意，求出，结合等差数列求和公式，即可求解.【小问1详解】根据题意，易知；.【小问2详解】根据题意，易知，因为，所以数列是首项为2，公差为的等差数列，故18、（1）；（2），.【解析】（1）根据等差数列和等比数列的通项公式进行求解即可；（2）根据等差数列的通项公式，结合等比数列的前项和公式进行求解即可.【小问1详解】设等差数列的公差为，因为成等差数列，所以有，因成等比数列，所以，所以；【小问2详解】由题意可知：在和之间插入个，在和之间插入个，，在和之间插入个，此时共插入的个数为：，在和之间插入个，此时共插入的个数为：，因此.19、（1），证明见解析（2）【解析】（1）根据，结合韦达定理即可获解（2），再结合焦点弦公式即可获解【小问1详解】由题知，故，抛物线方程为，设直线的方程为，，，，，，得，，，，【小问2详解】，由（1）知，可求得，，故的方程为，即【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是要把面积的比例关系转为为边的比例关系20、（1）（2）证明见解析【解析】(1)根据题意和双曲线的定义求出，结合离心率求出b，即可得出双曲线的标准方程；(2)设，根据两点的坐标即可求出、，化简计算即可.【小问1详解】由题知：由双曲线的定义知：，又因为，所以，所以所以，双曲线C的标准方程为小问2详解】设，则因为，，所以，所以21、（1），（2）证明见解析，【解析】(1)直接利用等差中项的应用求出的值，进一步求出数列的通项公式和的值；(2)利用等比数列的定义即可证明数列为等比数列，进一步求出数列的和.【小问1详解】等差数列的前三项依次为，4，，∴，解得；故首项为2，公差为2，故，前项和为，且，整理得，解得或－11(负值舍去).∴，k＝10.【小问2详解】由(1)得：，故(常数)，故数列是等比数列；∴.22、（1）证明见解析（