2023-2024学年山东省济南市外国语学校高二数学第一学期期末复习检测模拟试题含解析

2023-2024学年山东省济南市外国语学校高二数学第一学期期末复习检测模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．给出如下四个命题正确的是（）①方程表示的图形是圆；②椭圆的离心率；③抛物线的准线方程是；④双曲线的渐近线方程是A.③ B.①③C.①④ D.②③④2．已知、，则直线的倾斜角为（）A. B.C. D.3．已知数列通项公式，则（）A.6 B.13C.21 D.314．已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.5．已知、、、是直线，、是平面，、、是点（、不重合），下列叙述错误的是（）A.若，，，，则B.若，，，则C.若，，则D.若，，则6．的展开式中，常数项为（）A. B.C. D.7．若数列是等比数列，且，则（）A.1 B.2C.4 D.88．设a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若，，依次成公差不为0的等差数列，则（）A.a，b，c依次成等差数列 B.，，依次成等差数列C.，，依次成等比数列 D.，，依次成等比数列9．在等差数列中，已知，则数列的前6项之和为（）A.12 B.32C.36 D.3710．过，两点的直线的一个方向向量为，则（）A.2 B.2C.1 D.111．过两点和的直线的斜率为（）A. B.C. D.12．已知等比数列的前n项和为，且满足公比0＜q＜1，＜0，则下列说法不正确的是（）A.一定单调递减 B.一定单调递增C.式子-≥0恒成立 D.可能满足=，且k≠1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中抽取一道题，抽出的题不再放回，在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为________.14．过直线上一动点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB面积的最小值为______15．设点是双曲线上的一点，、分别是双曲线的左、右焦点，已知，且，则双曲线的离心率为________16．若过点作圆的切线，则切线方程为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）中国共产党建党100周年华诞之际，某高校积极响应党和国家的号召，通过“增强防疫意识，激发爱国情怀”知识竞赛活动，来回顾中国共产党从成立到发展壮大的心路历程，表达对建党100周年以来的丰功伟绩的传颂．教务处为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取了100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如下样本频率分布直方图（1）求值并估计中位数所在区间（2）需要从参赛选手中选出6人代表学校参与省里的此类比赛，你认为怎么选最合理，并说明理由18．（12分）已知数列的前n项和（1）证明是等比数列，并求的通项公式；（2）在和之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前n项和19．（12分）已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与轴的正半轴重合，直线的极坐标方程为，曲线的参数方程是（是参数）（1）求直线的直角坐标方程及曲线的普通方程；（2）求曲线上的点到直线的距离的最大值20．（12分）已知椭圆的离心率为，以坐标原点为圆心，以椭圆M的短半轴长为半径的圆与直线有且只有一个公共点（1）求椭圆M的标准方程；（2）过椭圆M的右焦点F的直线交椭圆M于A，B两点，过F且垂直于直线的直线交椭圆M于C，D两点，则是否存在实数使成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由21．（12分）已知椭圆C对称中心在原点，对称轴为坐标轴，且，两点（1）求椭圆C的方程；（2）设M、N分别为椭圆与x轴负半轴、y轴负半轴的交点，P为椭圆上在第一象限内一点，直线PM与y轴交于点S，直线PN与x轴交于点T，求证：四边形MSTN的面积为定值22．（10分）如图，五边形为东京奥运会公路自行车比赛赛道平面设计图，根据比赛需要，在赛道设计时需预留出，两条服务通道（不考虑宽度），，，，，为赛道．现已知，，千米，千米（1）求服务通道的长（2）在上述条件下，如何设计才能使折线赛道（即）的长度最大，并求最大值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】对选项①，根据圆一般方程求解即可判断①错误，对选项②，求出椭圆离心率即可判断②错误，对③，求出抛物线渐近线即可判断③正确，对④，求出双曲线渐近线方程即可判断④错误。【详解】对于①选项，，，故①错误；对于②选项，由题知，所以，所以离心率，故②错误；对于③选项，抛物线化为标准形式得抛物线，故准线方程是，故③正确；对于④选项，双曲线化为标准形式得，所以，焦点在轴上，故渐近线方程是，故④错误.故选：A2、B【解析】设直线的倾斜角为，利用直线的斜率公式求出直线的斜率，进而可得出直线的倾斜角.【详解】设直线的倾斜角为，由斜率公式可得，，因此，.故选：B.3、C【解析】令即得解.【详解】解：令得.故选：C4、C【解析】由题意得出，构造函数，可知函数在区间上单调递增，可得出对任意的恒成立，利用参变量分离法可得出，利用导数求得函数在区间上的最大值，由此可求得实数的取值范围.【详解】函数的定义域为，当时，恒成立，即，构造函数，则，所以，函数在区间上为增函数，则对任意的恒成立，，令，其中，则.，所以函数在上单调递减；又，所以.因此，实数的取值范围是.故选：C.5、D【解析】由公理2可判断A选项；由公理3可判断B选项；利用平行线的传递性可判断C选项；直接判断线线位置关系，可判断D选项.【详解】对于A选项，由公理2可知，若，，，，则，A对；对于B选项，由公理3可知，若，，，则，B对；对于C选项，由空间中平行线的传递性可知，若，，则，C对；对于D选项，若，，则与平行、相交或异面，D错.故选：D.6、A【解析】写出展开式通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项计算即可得解.【详解】的展开式通项为，令，可得，因此，展开式中常数项为.故选：A.7、C【解析】根据等比数列的性质，由题中条件，求出，即可得出结果.【详解】因为数列是等比数列，由，得，所以，因此.故选：C.8、B【解析】由等差数列的性质得，利用正弦定理、余弦定理推导出，从而，，依次成等差数列.【详解】解：∵a，b，c分别是内角A，B，C的对边，，，依次成公差不为0的等差数列，∴，根据正弦定理可得，∴，∴，∴，∴，，依次成等差数列.故选：B.【点睛】本题考查三个数成等差数列或等比数列的判断，考查等差数列、等比数列的性质、正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题.9、C【解析】直接按照等差数列项数性质求解即可.【详解】数列的前6项之和为.故选：C.10、C【解析】应用向量的坐标表示求的坐标，由且列方程求y值.【详解】由题设，，则且，所以，即，可得.故选：C11、D【解析】应用两点式求直线斜率即可.【详解】由已知坐标，直线的斜率为.故选：D12、D【解析】根据等比数列的通项公式，前n项和的意义，可逐项分析求解.【详解】因为等比数列的前n项和为，且满足公比0＜q＜1，＜0，所以当时，由可得，故数列为增函数，故B正确；由0＜q＜1，＜0知，所以，故一定单调递减，故A正确；因为当时，，，所以，即-，当时，，综上，故C正确；若=，且k≠1，则，即，因为，故，故矛盾，所以D不正确.故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、.【解析】设事件：第1次抽到代数题，事件：第2次抽到几何题，求得,结合条件概率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，从5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中抽取一道题，抽出不再放回，设事件：第1次抽到代数题，事件：第2次抽到几何题，则，，所以在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为:.故答案为：.14、【解析】当圆心与点的距离最小时，切线长，最小，则四边形的面积最小，此时是点到已知直线的垂线段.然后利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再结合弦长公式和面积公式进行计算即可.【详解】解：根据题意可知：当圆心与点的距离最小时，切线长，最小，则四边形的面积最小，此时是点到已知直线的垂线段.圆心到直线的距离为四边形面积的最小值为故答案为：15、【解析】由双曲线的定义可求得、，利用勾股定理可得出关于、的齐次等式，进而可求得该双曲线的离心率.【详解】由双曲线定义可得，故，由勾股定理可得，即，可得，因此，该双曲线的离心率为.故答案为：.16、或【解析】根据圆心到切线的距离等于圆的半径即可求解.【详解】由题意可知，，故在圆外，则过点做圆的切线有两条，且切线斜率必存在，设切线为，即，则圆心到直线的距离，解得或，故切线方程为或故答案为：或三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；中位数所在区间（2）选90分以上的人去参赛；答案见解析【解析】（1）根据频率分布直方图中，所有小矩形面积和为1，即可求得a值，根据各组的频率，即可分析中位数所在区间.（2）计算可得之间共有6人，满足题意，分析即可得答案.【小问1详解】，解得成绩在区间上的频率为，，所以中位数所在区间，【小问2详解】选成绩最好的同学去参赛，分数在之间共有人，所以选90分以上的人去参赛．（其它方案如果合理也可以给分）18、（1）证明见解析，（2）【解析】（1）利用及已知即可得到证明，从而求得通项公式；（2）先求出通项，再利用错位相减法求和即可.【小问1详解】因，当时，，所以，当时，，又，解得，所以是以2为首项，2为公比的等比数列，故【小问2详解】因为，所以，，，，所以，所以19、（1）直线的直角坐标方程是，曲线的普通方程是（2）【解析】（1）利用极坐标与直角坐标互化的公式进行求解，消去参数求出普通方程；（2）设曲线上任一点以，利用点到直线距离公式和辅助角公式进行求解.【小问1详解】因为，所以，即，将，代入，得直线的直角坐标方程是由得曲线的普通方程是【小问2详解】设曲线上任一点以，则点到直线的距离当时，，故曲线上的点到直线的距离的最大值为20、（1）（2）存在，【解析】（1）求出后可得椭圆的标准方程.（2）设直线，联立直线方程和椭圆方程，消元后利用韦达定理可用表示，从而可求的值.【小问1详解】据题意，得，∴，∴所求椭圆M的标准方程为【小问2详解】据（1）求解知，点F坐标为若直线的斜率存在，且不等于0，设直线据得设，则，∴同理可求知，∴，∴，即此时存满足题设；若直线的斜率不存在，则；若直线的斜率为0，则，此时若，则综上，存在实数，且使21、（1）（2）证明见解析【解析】（1）设椭圆方程为，利用待定系数法求得的值，即可得出答案；（2）设，，，易得，分别求出直线PM和直线PN的方程，从而可求出的坐标，再根据即可得出答案.【小问1详解】解：依题意设椭圆方程为，将，代入得，解得得，，∴所求椭圆方程为；【小问2